SSIS Scuola di Specializzazione per la formazione degli Insegnanti di Scuola secondaria

(1)

Università degli Studi di Perugia A.A. 2002-2003

SSIS

Scuola di Specializzazione per la formazione degli Insegnanti di Scuola secondaria

Indirizzo tecnologico - Classe 71/A - Tecnologie e disegno tecnico

Appunti di Fisica Generale

(2)

1 MISURE E GRANDEZZE FISICHE ...3

1.1INTRODUZIONE...3

1.2GRANDEZZE FISICHE FONDAMENTALI E DERIVATE...4

1.3EQUAZIONI DIMENSIONALI...4

1.4SISTEMI DI UNITÀ DI MISURA...5

1.5SISTEMA DI UNITÀ INTERNAZIONALE (SI) ...5

1.6CONVERSIONE DI UNITÀ DI MISURA TRA DIVERSI SISTEMI...8

1.7MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI...9

2 CENNI DI TEORIA DEGLI ERRORI...10

2.1ERRORI DI MISURA...10

Errori sistematici ...10

Errori casuali (o accidentali)...11

Cause di errore ...11

2.2CARATTERISTICHE DEGLI STRUMENTI DI MISURA...11

Portata ...11

Sensibilità...11

Precisione...11

Giustezza ...12

Prontezza...12

Fedeltà ...13

Stabilità ...13

2.3IL NONIO...13

2.4MEDIA E SCARTO QUADRATICO MEDIO...14

2.5PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI...15

Somma aritmetica delle grandezze...15

Differenza aritmetica delle grandezze...16

Prodotto delle grandezze...16

Potenza e radice...16

Quoziente delle grandezze...16

2.6CIFRE SIGNIFICATIVE ED ARROTONDAMENTI...16

(3)

1 MISURE E GRANDEZZE FISICHE

1.1 Introduzione

Nella descrizione dei fenomeni la fisica si serve di leggi, nelle quali intervengono grandezze fisiche quali: la lunghezza, il tempo, la forza etc. Alcune di tali grandezze hanno carattere scalare (lunghezza, tempo...), altre vettoriale (forza, velocità..). Le prime sono individuate da un numero (misura), le seconde da un numero, una direzione ed un verso (orientamento). Le grandezze fisiche, per avere significato devono essere definite operativamente, cioè deve essere indicato il procedimento della loro misura.

Nella deduzione delle leggi la fisica si serve del metodo scientifico (Galileo Galilei (1564-1642), che consiste nella seguente sequenza di passi logici:

a) - individuazione delle grandezze fisiche che influenzano il fenomeno che si vuole studiare;

b) - realizzazione di esperienze di laboratorio che riproducano il fenomeno in condizioni in cui le grandezze possano essere fatte variare in maniera indipendente e controllata;

c) - enunciazione di ipotesi e progettazione di esperienze di verifica;

d) - formulazione di teorie generali (leggi fisiche), che siano in grado di interpretare il massimo numero di osservazioni sperimentali disponibili

Il linguaggio matematico è lo strumento utilizzato nella formulazione delle leggi, le quali assumono l’aspetto di uguaglianze tra espressioni matematiche contenenti operatori che si applicano alle grandezze, siano esse vettoriali o scalari.

Un esempio di legge fisica è la seconda equazione della dinamica (Newton (1642-1727), la quale stabilisce che l’accelerazione aG

è proporzionale alla forza fG

agente su un elemento materiale, il coefficiente di proporzionalità essendo la massa m dell’elemento. In simboli si ha:

f ma mdv

= = dtG

G G

(1.1)

dove il simbolo dt

d rappresenta l’operatore di derivazione rispetto alla variabile temporale t, che applicato al vettore velocità vG

dà aG .

(4)

1.2 Grandezze fisiche fondamentali e derivate

Le grandezze fisiche vengono distinte in:

- fondamentali - derivate

Si chiamano grandezze fondamentali quelle che vengono misurate direttamente, per confronto con un’altra della stessa specie assunta come unità di misura (campione); sono derivate quelle grandezze che invece vengono misurate indirettamente, attraverso relazioni che esprimono la grandezza da misurare in funzione delle grandezze fondamentali. I principali requisiti delle grandezze fondamentali e dei relativi campioni sono:

- essere definite senza ambiguità;

- la riproducibilità, con grado di accuratezza adeguato alle esigenze della scienza e della tecnica;

- la invariabilità nel tempo e la uniformità nello spazio;

- la accessibilità;

- essere pratiche, ovvero non troppo grandi né troppo piccole rispetto ai valori delle grandezze che più frequentemente si devono misurare.

1.3 Equazioni dimensionali

Quando nelle leggi fisiche, oppure nelle equazioni di definizione di grandezze derivate, si prescinda dagli operatori matematici, dalle eventuali costanti numeriche, dalla natura scalare o vettoriale delle quantità fisiche ed, inoltre, si esprimano le grandezze derivate situate al secondo membro delle suddette uguaglianze in termini di quelle fondamentali, si ottengono relazioni simboliche di tipo polinomiale, i cui monomi sono simili fra loro. Ove si convenga, inoltre, di applicare le usuali regole del calcolo letterale, le grandezze derivate si costruiscono a partire dalle grandezze fondamentali attraverso relazioni del tipo:

1

( ) ⁱ ;

N

i i

i

D k F ^α i α

=

∏

∈^` ∈^{] (1.2)}

dove k è un fattore numerico (adimensionale), D ed F_i^αⁱ(i=1...N) rappresentano la grandezza derivata e quelle fondamentali, rispettivamente. Le ai sono numeri razionali, uguali a zero quando le corrispondenti Fk non compaiano nella (1.2); N rappresenta il numero delle grandezze fondamentali

(5)

e dei termini che intervengono nella legge fisica. Qualora nella (1.2) si elimini k e si adotti la convenzione di racchiudere fra parentesi quadre i simboli delle grandezze, si ottiene:

[ ]

^D ⁼^_^F¹^a¹^....^F^N^a^N^_{ (1.3)}

che rappresenta l’equazione dimensionale della grandezza derivata e viene chiamato dimensione fisica della grandezza D. (N.B.: la dimensione fisica di una grandezza fondamentale coincide con la grandezza stessa).

1.4 Sistemi di unità di misura

Un sistema di unità è definito quando siano state scelte le grandezze fondamentali ed individuati i relativi campioni (naturali od artificiali) chiamati unità di misura U(F_i). Il numero delle grandezze fondamentali deve essere sufficiente ad esprimere, tramite di esse, tutte le grandezze derivate.

L’insieme delle U(F_i) forma un Sistema di unità di misura.

Per le unità di misura delle grandezze derivate vale una relazione simile a quella per le grandezze:

se U(F_i) è l’unita di misura della i-esima grandezza fondamentale:

( ) [ ]

( ) ( ) , _i ⁱ _i

i

U D = k D

∏

U F ^α i α ∈ Z^(1.4)

Se k = 1 per qualunque U(D) il sistema di Unità di Misura è detto coerente.

1.5 Sistema di unità internazionale (SI)

Il Sistema Internazionale (S.I.) è stato adottato dalla Conferenza Generale di Pesi e Misure nel 1968. Le grandezze fondamentali del S.I. sono riportate nella Tabella 1. Le più recenti definizioni delle unità di misura sono invece riportate nella

Tabella 1: Grandezze fondamentali del S.I.

Grandezze fondamentali

Grandezza Nome Simbolo

Lunghezza metro m

Massa secondo s

Tempo chilogrammo kg

temperatura termodinamica Kelvin mole

quantità di materia mole K

corrente elettrica Ampere A

intensità luminosa candela cd

(6)

Grandezze supplementari

Grandezza Nome Simbolo

Angolo piano Radiante rad

Angolo solido Steradiante sr

Tabella 2: Unità di misura della grandezze fondamentali del S.I.

metro lunghezza pari al tragitto percorso dalla luce nel vuoto in un tempo di 1/299 792 458 di secondo

kilogrammo massa del prototipo artificiale, costituito da un cilindro di platino-iridio conservato nel laboratorio di pesi e misure di Sèvres

secondo intervallo di tempo pari a 9.192.631.770 volte il periodo della radiazione emessa nella transizione fra due livelli iperfini dello stato fondamentale dell’atomo di ¹³³₅₅Cs Kelvin unità di temperatura termodinamica che è uguale a 1/273,16 della temperatura del

punto triplo dell’acqua

mole quantità di sostanza che contiene un numero di entità: atomi, molecole, elettroni etc., uguale al numero di Avogadro, ovvero il numero degli atomi in 0.012 kg di ¹²C Ampere quantità di corrente che scorre all'interno di due fili paralleli e rettilinei, di

lunghezza infinita e sezione trascurabile, immersi nel vuoto ad una distanza di un metro, induce in loro una forza di attrazione o repulsione di 2*10^-7 N per ogni metro di lunghezza

candela intensità luminosa di una sorgente che emette una radiazione monocromatica con frequenza 540*10¹² Hz e intensità energetica di 1/683 W/sr

radiante angolo al centro di una circonferenza che sottende un arco di lunghezza pari al raggio. 1rad =180°/π

steradiante angolo che su di una sfera con centro nel vertice dell' angolo intercetta una calotta di area uguale a quella di un quadrato avente lato uguale al raggio della sfera stessa

Tabella 3: Alcune unità di misura della grandezze derivate del S.I.

Grandezza Unità SI Espressione Altre unità

(anche non ammesse nel SI)

area m² ara, ettaro, barn

accelerazione angolare rad/s²

accelerazione m/s² gal

coefficiente dilatazione

lineare K^-1 °C

coefficiente trasmissione

termica W/(m² K) kcal/m²*h*°C

coefficiente di diffusione m²/s

capacità termica J/K kcal/°C

carica elettrica C (Coulomb) 1 C = 1 A*s Ah

capacità elettrica F (Farad) 1 F = 1 C/V

Entropia J/K kcal/K

Frequenza Hz (Hertz) 1 Hz = 1 s^-1 forza elettromotrice V (volt) 1 V = 1 W/A

(7)

intensità di campo

elettrico V/m

intensità di campo

magnetico A/m oersted

induzione magnetica T (tesla) 1 T = 1 Wb/m² gauss

Induttanza H (Henry) 1 H = 1 V*s/A

impedenza elettrica _Ω (Ohm) 1 Ω = 1 V/A

lavoro, energia J (Joule) 1 J = 1 N*m elettronvolt, kgf*m, CVh, kWh

momento della quantità

di moto kg*m²/s

momento d'inerzia kg*m² momento di una forza,

coppia N*m kgf*m

momento elettrico C*m momento di un dipolo

magnetico Wb*m

magnetizzazione A/m

numero d'onde m^-1

portata in massa kg/s portata in volume m³/s

pressione Pa (pascal) 1 Pa = 1 N/m²

bar, millibar, atm normale, atm tecnica, mmH2O, mmHg,

torr, kgf/m² potenza W (watt) 1 W = 1 N*m/s = 1 J/s kgf*m/s, cavallo vapore potenziale elettrico V (volt) 1 V = 1 W/A

quantità di moto kg*m/s

quantità di calore J cal, kcal, Cal, frigoria

quantità d'informazione bit byte, erlang, nat, nepit, nit

resistenza elettrica

reattanza elettrica W (ohm) 1 W = 1 V/A

resistività elettrica W*m W*mm²/m

tensione N/m² kgf/cm², kgf/mm²

temperatura °C grado Celsius °C = -273.15 K

volume m³ Litro, ettolitro, ecc..., stero

velocità angolare rad/s giro/s, giro/min

velocità m/s kmh, m/min, nodo

vettore di Poynting W/m²

velocità del flusso

d'informazione bit/s baud

(8)

1.6 Conversione di unità di misura tra diversi sistemi

Si incontrano due situazioni differenti:

1) le grandezze fondamentali sono le stesse (Esempio: SI⇔CGS);

2) le grandezze fondamentali sono differenti (Esempio: SI⇔Britannico).

Tralasciando il secondo caso, in quanto si presenta raramente, il primo si tratta nel seguente modo:

volendo passare da un sistema di unità di misura S ad secondo sistema S’, siano U(Fi) e U’(Fi) le unità di misura della i-esima grandezza fondamentale F_i nei due sistemi S ed S’ rispettivamente;

siano inoltre U(D) e U’(D) le unità di misura della grandezza derivata D, rispettivamente, nei sistemi S ed S’:

( ) [ ] ( ) [ ]

( ) ( ) , '( ) _i ⁱ '( )_i ⁱ

i i

U D = k D

∏

U F ^α U D = k D

∏

U F ^α

Definiamo i fattori di ragguaglio r_S→_S_'(F_i) tra le unità di misura delle grandezze F_i come i rapporti, per ciascuna grandezza fondamentale, tra le sue unità di misura nei due diversi sistemi:

( )

¹

( )

²

( )

' 1 ' 2 '

1 2

U(F )

U(F ) U(F )

(F ) , (F ) ... (F )

U' F U' F U' F

n

S S S S S S n

n

r_→ = r_→ = r_→ =

Il fattore di ragguaglio r_S→_S_'(D) per la grandezza derivata D è dato da:

( )

( ) ( )

( ) [ ]

' '

( ) ( ) ( )

'( ) ' '

i

i i

S S i S S i

i i i

i i

k U F

U D U F

r D r F

U D k U F U F

α α

α

→ α →

 

   

= = =   =

   

 

∏ ∏ ∏

∏

^(1.5)

Esempio: sia S il Sistema Internazionale e S’ il sistema CGS. I fattori di ragguaglio per le grandezze fondamentali della meccanica sono:

1 2

( ) 10

SI CGS 1 r l m

→ = cm = ; 1 ³

( ) 10

SI CGS 1 r m kg

→ = g =

la grandezza derivata Lavoro (W) si ottiene dalla definizione W = ⋅∆fG sG

, con fG

data dalla (1.1). L’equazione dimensionale (1.3) è quindi

[ ] [ ] [ ][ ]

^W ⁼ ^l ² ^{m t} ⁻²

e le unità di misura nei due sistemi sono:

S.I.: unita: Joule; simbolo J, con 1J =1m²⋅1kg s⋅1 ⁻² C.G.S. unita: erg; simbolo erg, con 1erg=1cm²⋅ ⋅1 1g s⁻² Il fattore di ragguaglio è quindi:

(9)

[ ] [ ][ ]

²2 ^-2-2 ² ² ² ² ³

[ ]

² ⁷

( ) ( ) 10 10 1 10

SI CGS '( )

m kg s

U W m kg s

r W

U W cm g s cm g s

− −

→

 

       

= = =_ _ _ __{ } =_ _{ } _ =

    

Si ha sempre _'

'

( ) 1

S S ( )

S S

r D

→

=

1.7 Multipli e sottomultipli

Si usano delle abbreviazioni per semplificare la scrittura di numeri molto grandi o molto piccoli. I multipli e i sottomultipli più utilizzati sono:

Tabella 4: Multipli e sottomultipli

Fattore di Prefisso Fattore di Prefisso

moltiplicazione Nome Simbolo moltiplicazione Nome Simbolo 10

10² 10³ 10⁶ 10⁹ 10¹²

deca etto kilo Mega

Giga Tera

da h k M

T G

10^-1 10^-2 10^-3 10^-6 10^-9 10^-12 10^-15 10^-18

deci centi milli micro

nano pico femto

atto

d c m µ n p f a

(10)

2 Cenni di teoria degli errori

2.1 Errori di misura

Una misura non è mai esatta, se non per caso, ma sempre affetta da errori. Si osserva infatti che se la misura di una determinata grandezza viene ripetuta più di una volta, si trovano valori differenti;

inoltre, più lo strumento è preciso, più saranno evidenti le differenze tra le varie misure..

Tralasciando la eventualità che si commettano errori grossolani, ovvero veri e propri sbagli, errori di inesperienza e poca pratica (eliminabili riflettendo sui metodi usati), gli errori in una misura si distinguono in:

Errori sistematici

Sono errori sistematici quelli che influenzano il risultato della misura sempre nello stesso senso e non possono pertanto venire compensati facendo la media di più misurazioni. Questi errori non possono essere eliminati ripetendo le misurazioni, ma possono essere sempre determinati eseguendo un'accurata indagine critica del metodo impiegato e delle apparecchiature usate, cambiando metodo, confrontando i risultati con le previsioni. Non tutti gli errori sistematici possono essere eliminati, si può tentare di renderli ragionevolmente piccoli oppure usando molti metodi e strumenti differenti si cerca di farli rientrare nella categoria degli errori accidentali.

Tra gli errori sistematici più frequenti ricordiamo:

1) Difetti degli strumenti:

- Strumenti mal tarati o non azzerati

- Strumenti imprecisi per imperfetta riproduzione del campione primario - Scale imperfette (per deriva, spostamento o dilatazione, ecc.)

- Logoramento o invecchiamento, materiale scadente 2) Metodi sbagliati:

- Condizioni sperimentali non costanti

- Non si tengono in giusta considerazione alcuni fattori (dilatazione termica, variazioni di pressione, vibrazioni e oscillazioni, ecc. ...)

- Perturbazioni che lo strumento può dare sulla grandezza che misura (capacità di un termometro, resistenza interna di un amperometro ...)

- Errori di parallasse 3) Difetti dello sperimentatore:

- Daltonismo

- Riflessi poco pronti 4) Errori psicologici:

(11)

- Illusioni ottiche - Principio di autorità

- Ritardi di reazione o percezione Errori casuali (o accidentali)

Sono errori accidentali quelli dovuti a cause che si possono immaginare in linea di principio ma di cui non si possono prevedere gli effetti. In genere sono conseguenza dell'incertezza con cui sono poste determinate condizioni di misura che vengono invece considerate come se fossero attuate esattamente. Gli errori accidentali hanno la proprietà di essere variabili sia in valore che in segno e si individuano ripetendo una misura diverse volte con gli stessi strumenti e in condizioni che, per quanto sta nelle facoltà dell'operatore, possono essere ritenute costanti. L'eventuale discordanza dei risultati, supposto nullo ogni errore sistematico, sarà dovuta alla presenza di errori accidentali.

Cause di errore

Gli errori che possono essere commessi nelle misurazioni possono dipendere da numerosi fattori.

Strumento Ambiente Operatore

2.2 Caratteristiche degli strumenti di misura

Portata

Il fondo scala rappresenta il limite superiore del campo di misura e prende anche il nome di portata dello strumento: insieme alla sensibilità ne delimita l'intervallo di funzionamento.

Sensibilità

La sensibilità di uno strumento è costituita dalla più piccola grandezza in grado di generare uno spostamento apprezzabile rispetto all'inizio della scala dello strumento. Così definita, la sensibilità determina il limite inferiore del campo di misura dello strumento, mentre il limite superiore è dato dal fondo scala: i due determinano insieme l'intervallo di funzionamento.

Precisione

La precisione di uno strumento è legata alla riproducibilità del risultato della misura di una stessa grandezza. Esso può variare per difetti dello strumento dovuti alla costruzione, o al logoramento, oppure per la presenza di altre cause di disturbo ineliminabili. La precisione si può definire come il reciproco dell’incertezza sul valore della grandezza che viene determinata dall’insieme di questi fattori.

(12)

Giustezza

La giustezza è l’assenza di errori sistematici. Nel caso di strumenti tarati tale caratteristica implica necessariamente la bontà della taratura.

Prontezza

La prontezza è una caratteristica dello strumento legata al tempo necessario affinchè questo risponda ad una variazione della grandezza in esame. Per alcuni, quanto minore è questo tempo, detto tempo caratteristico, tanto maggiore è la prontezza, mentre per altri la prontezza è rappresentata dal tempo impegato dallo strumento per dare la risposta, cioè il risultato.

In generale la prontezza rappresenta la rapidità con cui è lo strumento è in grado di fornire il risultato di una misura.

Per chiarire quanto detto finora vediamo un esempio: consideriamo un termometro a mercurio, quello che si può trovare in un comune laboratorio, che sia inizialmente alla temperatura ambiente di 20^oC. Se ora lo immergiamo in un bagno di liquido alla temperatura di 120^oC osserviamo che il mercurio comincia a salire lungo la scala prima velocemente poi più lentamente fino ad arrivare al valore di temperatura corrispondente: approssimativamente il tempo impiegato affinchè il mercurio raggiunga la posizione relativa alla temperatura misurata è dell'ordine di qualche decina di secondi (diciamo 40). Questo intervallo di tempo ci da un'indicazione sulla prontezza dello strumento: in particolare se riportiamo su di un grafico l'andamento della temperatura misurata rispetto al tempo, il fenomeno descritto appare ancora più chiaro.

C'è anche chi definisce la prontezza come il tempo impiegato dall'indice dello strumento (nel nostro caso il livello della colonnina di mercurio) ad effettuare il 63.2 % dell'escursione che esso deve compiere, partendo dalla posizione iniziale di riposo fino a raggiungere il valore effettivo della grandezza: tale tempo è definito come coefficiente di ritardo.

Attraverso questa definizione si potrebbe avere un coefficiente di ritardo variabile con il valore

(13)

della grandezza applicata: per ovviare a questo inconveniente occorre fissare un valore di riferimento della grandezza, le modalità d'uso e tutte le altre caratteristiche strumentali in modo tale che la prontezza così definita rispecchi un'effettiva caratteristica dell'apparecchio.

Fedeltà

Attitudine a fornire misure poco differenti se eseguite nelle stesse condizioni e a brevi intervalli di tempo.

Stabilità

Attitudine a fornire misure poco differenti se eseguite nelle stesse condizioni e a lunghi intervalli di tempo.

2.3 Il nonio

Talvolta negli strumenti di buona precisione, può accadere che non sia possibile costruire una scala della sensibilità adatta. In tal caso può essere utile l’uso del nonio che permette di apprezzare una frazione (1/10, 1/20 fino a 1/100) del minimo intervallo segnato sulla scala.

Il nonio è un regolo che può scorrere lungo la scala, graduato in modo che N divisioni del nonio corrispondano a (kN-1) divisioni della scala. Chiamate d la divisione del nonio e D quella della scala, si ha quindi

(

¹

)

Nd = kN− D (2.1)

da cui:

d kD 1 D

= −N (2.2)

Ciò significa che se lo 0 del nonio coincide con l’i-esimo tratto della scala, il primo tratto del nonio si trova 1

N D prima del tratto (i+k)-esimo della scala, il secondo tratto del nonio si trova 2 N D prima del tratto (i+2k)-esimo. La misura si effettua facendo coincidere lo zero del nonio con il valore x da misurare, e si individua il tratto del nonio che è più vicino, tanto da poter essere

Schema di nonio decimale

(14)

considerato coincidente, con uno qualsiasi dei tratti della scala. Se tale tratto e l’r-simo del nonio, il valore di x è quello corrispondente al tratto della scala che lo precede immediatamente, aumentato di r

ND

2.4 Media e scarto quadratico medio

Ricordiamo solo che, ripetendo n volte la misura della stessa grandezza, se xi è il risultato della prova i-esima, il valore più probabile della grandezza in misura è la media aritmetica dei risultati:

1 N

i i m

x

X N

=

∑

=

Si definisce scarto della misura i-esima rispetto al valore medio la differenza xi - Xm con:

( )

1 N 0

i m

i

x X

=

− =

∑

Il valore dell'errore assoluto da associare al valore medio è lo scarto quadratico medio:

( )

2 1

1

N

i m

i

x X

X n n

=

−

∆ = −

∑

Nella pratica normale delle misure elettriche accade che gli errori sistematici che non si riesce a correggere, chiamati errori sistematici residui, prevalgono nettamente sugli errori accidentali così che prove ripetute sulla medesima grandezza danno tutte gli stessi risultati. Si assume pertanto

Lettura: 6.45

(15)

come misura della grandezza il valore ottenuto da un'unica prova e come errore l'errore massimo (somma di tutti gli errori sistematici residui).

Si definisce errore assoluto la differenza tra il valore misurato ed il valore vero di una grandezza:

m V

X X X

∆ = −

Si definisce errore relativo il rapporto fra l'errore assoluto ed il valore vero, considerando però che

∆X è di solito piccolo, al valore vero si può sostituire il valore misurato:

X

V m

X X

e X X

∆ ∆

= ≅ ^, _X% 100 100

V m

X X

e X X

∆ ∆

= ⋅ ≅ ⋅

Se l'errore assoluto ∆X è noto nel valore e nel segno si può calcolare il valore vero, noto che sia quello misurato:

V m

X =X − ∆X

Più spesso si hanno errori noti in ampiezza ma non nel segno, quindi si potrà solo determinare l'intervallo di valori entro il quale certamente è contenuto il valore vero:

V m

X = X ± ∆X

Risulta così definita l'incertezza (imprecisione) con la quale si conosce il risultato della misurazione, esprimibile in valore assoluto ±∆X od in valore relativo percentuale ±e_X_%.

2.5 Propagazione degli errori

Spesso è necessario ricavare il valore di una grandezza sviluppando operazioni di calcolo sui valori misurati di altre grandezze. Chiamiamo con Am, ∆A, eA, Bm, ∆B, eB i valori misurati e gli errori assoluto e relativo di due grandezze, di tali errori si immagina di non conoscerne il segno e quindi di assumerli nei calcoli ponendosi sempre nelle condizioni più sfavorevoli.

Somma aritmetica delle grandezze

Sm = Am + Bm , ∆S = ± (∆A + ∆B), _S

m

e S S

= ±∆

Si può osservare che nel caso di somma di più termini, se uno di essi è molto piccolo rispetto agli altri, l'importanza dell'errore che ad esso compete è piccola anche se tale errore è relativamente elevato. Inoltre l'errore relativo della somma è sempre più piccolo dell'errore relativo massimo commesso nelle misure delle singole grandezze.

(16)

Differenza aritmetica delle grandezze

Dm = Am - Bm , ∆D = ± (∆A + ∆B), _D

m

e D

D

= ±∆

Il risultato della differenza è affetto da un errore relativo sempre maggiore degli errori relativi delle singole grandezze sulle quali si è operato. Tale errore relativo è tanto più grande quanto più le grandezze misurate sono tra di loro vicine, addirittura tende ad infinito se Bm tende ad Am. Quindi bisogna evitare metodi di misura che prevedano calcoli di differenza tra due grandezze.

Prodotto delle grandezze

· , ( · · · ) ( · · )

m m m m m m m

P = A B ∆ = ± ∆P A B + ∆B A + ∆ ∆ ± ∆A B A B + ∆B A

( )

P A B

m

e P e e

P

= ±∆ ≅ ± +

Essendo l'errore relativo del prodotto pari alla somma degli errori relativi delle singole grandezze misurate, queste devono essere tutte misurate con la stessa cura.

Potenza e radice

Potenza e radice possono essere trattati come sottocasi del prodotto.

( )

ⁿ

m m

W = A ^,e_W ≅ ± ⋅n e_A

m n m

R = A ^, _R e^A e ≅ ± n

Quoziente delle grandezze

m m

m

Q A

= B ^,

( ) (

m ^m² ¹ B

)

^m

( )

^m m ² ^m

A B B A A B B A

Q B e B

∆ ⋅ + ∆ ⋅ ∆ ⋅ + ∆ ⋅

∆ = ± ≅ ±

⋅ +

( )

Q A B

m

e Q e e

Q

=∆ ≅ ± +

Valgono le stesse considerazioni fatte sul prodotto.

f) coseno:

cos _m

C= ϕ ^,e_C ≅ ±∆ ⋅ϕ ϕtg _m^,∆ = ± ⋅C e C_C

dove ϕ_m è il valore misurato dell'angolo e ∆ il corrispondente errore assoluto. ϕ

2.6 Cifre significative ed arrotondamenti

Nell'esprimere il risultato di una misura per mezzo del corrispondente valore numerico occorre tenere presente che, a causa della imprecisione della misura, tale valore numerico potrebbe contenere una o più cifre prive di significato.

(17)

Ad esempio supponiamo di leggere sulla scala di un certo strumento, il valore V in unità u, sia ad esempio V = 156,4 u. Se l'incertezza della misura, espressa in valore assoluto, vale ∆V = 5 u risulta evidente che non ha nessun senso trascrivere anche l'ultima cifra del valore misurato e cioè i 4 decimi di u.

In linea generale i risultati di una misura debbono essere rappresentati in modo da limitare il numero di cifre significative a quelle che sono prive di incertezza, fatta eccezione per l'ultima che deve essere arrotondata in relazione alle cifre seguenti. Una regola pratica che può essere adottata è la seguente: nel riportare il risultato di una misura possono essere trascurate tutte quelle cifre che comportano una variazione minore di un decimo dell'errore assoluto della misura stessa.

Osservazione: le cifre significative sono quelle che si incontrano nel numero a partire dalla prima cifra di sinistra diversa dallo zero. Ad esempio il valore 0,00201 ha tre cifre significative, il valore 0,002010 ha quattro cifre significative.

Osservazione: gli esempi seguenti mostrano come arrotondare a due cifre significative alcuni valori:

0,1245 ≈ 0,12 , 0,12501 ≈ 0,13 , 0,1205 ≈ 0,12 , 0,125 ≈ 0,12 , 0,135 ≈ 0,14

In definitiva, la cifra da approssimare si lascia inalterata (arrotondamento per difetto) se quella che segue è minore di 5, si aggiunge una unità (arrotondamento per eccesso) se quella che segue è maggiore di 5 (oppure 5 seguito da altre cifre non tutte nulle), è indifferente come si approssima se quella che segue è 5 seguito eventualmente da tutti zeri anche se è in uso lasciare la cifra inalterata se è pari e aggiungere una unità se è dispari.