Laboratorio Processi Stocastici

(1)

Laboratorio

Processi Stocastici

Annalisa Pascarella

(2)

Informazioni



e-mail:

 pascarella@dima.unige.it

 annalisa.pascarella@unipr.it



Giovedì 9 Dicembre 11-13 aula Mac



Lunedì 14 Dicembre 11-14 aula pc1



Martedì 15 Dicembre 11-14 aula Mac

(3)

Programma



MATLAB

 esercizi vari durante il laboratorio



Generazione di numeri casuali

 metodo Monte Carlo,

 algoritmi per la generazione di numeri pseudo-casuali



Simulazione processo di Poisson

(4)

MATLAB

(5)

MATLAB



MATrix LABoratory



Linguaggio di programmazione interpretato

 legge un comando per volta eseguendolo immediatamente



Per avviarlo ->

icona sul desktop

^command^window

workspace

(6)

MATLAB come calcolatrice

è possibile definire variabili e operare su esse

x = 9 -> invio 4 + 7

invio

Operatori aritmetici: + - * / ^

Caratteri speciali: ; % : Variabili predefinite: i, pi, NaN, Inf

Funzioni elementari: sin, cos, log, exp

help mean

(7)

Comandi utili



clear a

 per cancellare una variabile dal workspace



clear all

 per cancellare tutte le variabili dal workspace



ans

 ultima variabile memorizzata



clc

 pulisce lo schermo



help <nome_funzione>

(8)

Lavorare con MATLAB



In MATLAB tutte le variabili sono trattate come matrici

 scalari -> matrici 1 x 1

 vettori riga -> matrici 1 x n v = (v₁,…, v_n)

 vettori colonna -> matrici n x 1 v = (v₁,…, v_n)^T

 matrici -> matrici m x n



















mn m

n

a a

A







1

1 11

(9)

Vettori



Per definire un vettore riga



Per definire un vettore colonna



Usando :

a = [1 2 3 4 5]

a = [1, 2, 3, 4, 5]

a = [1; 2; 3; 4; 5]

a = [1 2 3 4 5] ’ a = 1:3:10

b = -5:5

(10)

Matrici



Per definire una matrice

² ²

2 1

0

3

_

 



 



  R

A A = [3 0; 1 2]

A = [3 0 1 2]

b1 = [3;1]

b2 = [0; 2]

b3 = [3; 0]

B = [b1, b2, b3]

3 2

0 2

1 3 0

3

_

 



 



  R

B

B(2,3)

B(2,3) = 1;

B

• per selezionare un elemento

• per modificare l’elemento

• per visualizzare B



size(A) -> dimensioni della matrice

 per memorizzare le dimensioni -> [r c] = size(A)

(11)

Il comando :



Importante per la manipolazione delle matrici

estrarre la riga R₂

estrarre la colonna C2

3 2

0 2

1 3 0

3

_

 



 



  R

B

B(2,:) B(:,2)

 generazione di vettori che siano delle progressione aritmetiche di passo costante

 a = [1:10] o a = 1:10

 b = 1: .2 : 4

 c = 3:0 -> non produce niente!!!!

 c = 3: -1: 1

 mediante : si possono estrarre righe e colonne

(12)

Identità-zero-uno

eye(n)

eye(3) _ ^







 









1 0 0

0 1 0

0 0 1 I



 



 

0 0 0

0 0 Z 0

zeros(m,n) zeros(2,3)



 



 

1 1 1

1 1 Z 1

ones(m,n) ones(2,3) identità di ordine n ->

matrice nulla m x n ->

matrice m x n di 1 ->

(13)

Operazioni

Somma / Differenza A+B, A-B

Trasposta A’

Prodotto A*B #C

_A

= #R

_B

Elemento per elemento

A.*B size(A) = size(B) Prodotto per uno

scalare

A*k

size(A)= size(B)

(14)

Script e funzioni



Script

 parametri in ingresso non modificabili

 le variabili usate sono messe nella memoria di lavoro di MATLAB



Funzioni

 script al quale si possono passare parametri in ingresso ed ottenerne in uscita

 sintassi

 y1,…,yn -> parametri in uscita

 x1,…,xn –> parametri in entrata

 le variabili usate all’interno sono locali

function [y1,…,yn] = nome_funzione(x1,…,xn)

(15)

Script



E’ possibile scrivere degli script in Matlab

 cliccando su new

 File -> New -> M-file

(16)

Le funzioni



L’m file va salvato col nome nome_funzione.m

 il nome del file deve essere identico a quello della funzione



La funzione può essere richiamata

 dalla finestra di comando

 all’interno di uno script

 da altre funzioni

digitando [y1,…,yn]=nome_funzione(x1,…,xn)



Per poter richiamare la funzione dobbiamo essere nella directory

nella quale è salvata la funzione oppure “settare” nel path di

Matlab la directory nella quale la funzione è salvata.

(17)

Cicli



Ciclo incondizionato



Ciclo condizionato



Test condizionale

for i = n1:passo:n2 blocco di istruzioni end

while condizione

blocco di istruzioni end

if condizione1

blocco di istruzioni elseif condizione2 blocco di istruzioni else

blocco di istruzioni end

(18)

Operatori



Operatori relazionali:

 < , <= , > , >= , == , = , =

 si usano per confrontare tra di loro gli elementi di 2 matrici; il risultato dell’operazione sarà

 0 se la relazione è falsa

 1 se la relazione è vera



Operatori logici:

 & , | , 

 si usano per combinare tra loro gli operatori relazionali



Nota

 = serve per assegnare valore ad una variabile

 == per verificare se una variabile assume un determinato valore

(19)

Input\output



input



sprintf

n = input(‘inserisci un intero ’);

disp(sprintf(‘n = %d’,n))

disp(‘stringa di caratteri’)

(20)



Il comando si usa:

 per rappresentare punti nel piano

 per disegnare il grafico di una funzione



x e y devono essere vettori di ugual misura

Grafica



In MATLAB è possibile

 disegnare funzioni in 2D e 3D

 rappresentare graficamente dei dati

plot(x,y)

(21)

Esempio - I



Per rappresentare dei punti nel piano

x = [1 2 3 7 -9 2];

y = [-2 -6 1 5 7 2];

plot(x,y) figure(2) plot(x,y,'*')

(22)

Esempio - II



Per “plottare” la funzione y=sin(x)

x = [-pi:.01:pi];

y = sin(x);

plot(x,y)

definiamo

l’intervallo in cui vogliamo disegnare la funzione

definiamo la funzione disegniamo la funzione

figure(2)

plot(x,y, '-g') è possibile

inserire un terzo parametro di

input

(23)

Sintassi del comando

“plot”



 x e y sono i vettori dei dati (ascisse e ordinate dei punti)



 x e y come sopra; opzioni è una stringa opzionale che definisce il tipo di colore, di simbolo e di linea usato nel grafico.

 help plot per vedere quali sono le varie opzioni



 realizza il grafico del vettore y rispetto ai propri indici plot(x, y)

plot(x, y, 'opzioni')

plot(y)

(24)

Comandi utili - I



per creare (richiamare) una finestra grafica



per avere più grafici nella stessa finestra

 hold off per disattivare la funzione



per riscalare il grafico



per creare diversi grafici separati

in una stessa finestra



esistono diversi comandi per “abbellire” i grafici

 title, xlabel, ylabel, legend figure(num)

hold on

axis([xmin xmax ymin ymax])

sublot(righe, colonne, sottofinestra)

(25)

Risultati

usando hold on

usando subplot figure(1); hold on; grid on

y2 = cos(x);

plot(x,y2,’r’)

title(‘seno e coseno’)

% creiamo delle sottofinestre

figure(3); subplot(1,2,1); plot(x,y); title('seno') subplot(1,2,2); plot(x,y2); title('coseno')

(26)

Esercizio

Caricare il vettore dei dati nella variabile “data”:

data = load(‘dato_per_istogramma.dat’);

size(data)

Osserviamo i dati plot(data)

plot(data, ones(size(data)) , ’ . ’)

Creare l’istogramma di un

vettore

(27)

Algoritmo istogramma

Scelta degli estremi e della larghezza intervallo

INF DELTA SUP

Contiamo quanti elementi del vettore cadono in ogni intervallo:

creiamo un vettore il cui valore i- esimo rappresenti il numero di conteggi nell’i-esimo intervallo

(28)

Algoritmo istogramma

Per ogni elemento del vettore data(i) Per ogni intervallo

Se data(i) è compreso nei valori dell’intervallo Incrementare il contatore relativo a

quell’intervallo

Il j-esimo intervallo ha come estremi INF+(j-1)*DELTA e INF+j*DELTA

INF DELTA SUP