Laboratorio Processi Stocastici

Laboratorio

Processi Stocastici

Annalisa Pascarella

Processi di Poisson

Processi di Poisson

)

! exp(

) ) (

) (

( t

k k t

t N P

k 

 _



 ) exp(

i 

X v.a. indipendenti che rappresentano il tempo intercorrente tra il verificarsi di due eventi consecutivi



 ⁿ

i

i

n X

S

1

v.a. che modellizza il tempo di arrivo dell’n- esimo evento

numero eventi che occorrono fino all’istante t; rappresenta un processo di Poisson omogeneo

} :

max{

)

(t n s t

N  _n 

Processi di Poisson



Il Processo di Poisson è un processo discreto di conteggio, continuo nel tempo

 è caratterizzato da una funzione N(t), definita per t>0 e detta processo di conteggio che rappresenta il numero degli eventi che si sono verificati nel periodo da 0 a t

 per t=0 intendiamo il momento in cui cominciamo ad osservare se gli eventi casuali specificati si verificano o meno

 N(t) è una v.a. a valori interi

come si genera una variabile di

Poisson?

Simulazione



Dato l’intervallo di tempo in cui voglio simulare il processo di Poisson di parametro , genero variabili esponenziali di parametro  fino a quando la loro somma non superi l’estremo superiore. Poi conto gli eventi occorsi

 campiono le variabili esponenziali X_i una alla volta e mi arresto quando

supera l’istante T

 il processo è interamente descritto dalla sequenza dei tempi di arrivo S_i, dal numero di eventi verificatesi tra 0 e gli istanti S_i (il numero di eventi è una funzione crescente che incrementa di 1 ogni qual volta si verifica un evento)



 ⁿ

i

i

n X

S

1

Simulazione



Simulare un processo di Poisson nell’intervallo [0,T] con  = 1 e T = 30

 memorizzare un vettore S contenente tutti i tempi di arrivo e un vettore N contenente il numero cumulativo di eventi

 scrivere una function



Verificare ripetendo un numero elevato di volte la simulazione del processo di Poisson che la v.a.

N(T) ha una distribuzione di Poisson con parametro 

 usare la function poisspdf e poisscdf

Simulazione



Si può dimostrare che condizionando a N(T) = n le n v.a. S

sono indipendenti e uniformemente distribuite in [0, T]. Si può sfruttare questo fatto per simulare un processo di Poisson nel modo seguente

 campionare la variabile N(T) ~ P(T)

 campionare N(T) variabili indipendenti uniformi in [0,T]

 ordinare i valori ottenuti al punto precedente; i valori cosi ottenuti rappresentano un campionamento delle variabili S_n ,n = 1, …, N(t)



Utilizzare questo metodo per simulare un

processo di Poisson di parametro  = 1 in [0,30]