Laboratorio
Processi Stocastici
Annalisa Pascarella
Istituto per le Applicazioni del Calcolo "M
. Picone"
Consiglio Nazionale delle Ricerche
Processi di Poisson
Processi di Poisson
)
! exp(
) ) (
) (
( t
k k t
t N P
k
) exp(
i
X v.a. indipendenti che rappresentano il tempo intercorrente tra il verificarsi di due eventi consecutivi
n
i
i
n X
S
1
v.a. che modellizza il tempo di arrivo dell’n- esimo evento. Sotto l’hp che due eventi non accadano simultaneamente si ha che
numero eventi che occorrono fino all’istante t; rappresenta un processo di Poisson omogeneo
} :
max{
)
(t n s t
N n
Processi di Poisson
Il Processo di Poisson è un processo discreto di conteggio, continuo nel tempo
è caratterizzato da una funzione N(t), definita per t>0 e detta processo di conteggio che rappresenta il numero degli eventi che si sono verificati nel periodo da 0 a t
per t=0 intendiamo il momento in cui cominciamo ad osservare se gli eventi casuali specificati si verificano o meno. Il tempo 0 è il tempo di inizio dell'osservazione, anche se in quel momento non vi è nessun arrivo.
N(t) è una v.a. a valori interi
come si simula un processo di Poisson?
Simulazione
Dato l’intervallo di tempo in cui voglio simulare il processo di Poisson di parametro il modo più semplice (ma meno efficiente in Matlab) per simulare tale processo consiste nel campionare le variabili esponenziali Xi, una alla volta e arrestarsi non appena superi l’estremo superiore; poi conto gli eventi occorsi
il processo è interamente descritto dalla sequenza dei tempi di arrivo Si, dal numero di eventi verificatesi tra 0 e gli istanti Si (il numero di eventi è una funzione crescente che incrementa di 1 ogni qual volta si verifica un evento)
T n
X
S n
i
i
n , 1,...,
1
Algoritmo
Occorre allora costruire un algoritmo che
genera valori i.i.d. con legge esponenziale
assume che quelli generati siano i tempi in cui si verificano gli eventi
Un primo modo di simulare è quello in cui si fissa a priori il numero di eventi
Altro approccio
fissiamo prima un orizzonte temporale T ad esempio 50.
generiamo un gran numero di tempi esponenziali
osserviamo i tempi in cui si verificano gli eventi fino a T.
Esempio: distribuzione esponenziale
La variabile X ~exp() ha funzione di ripartizione )
1 ( )
(x e x F
) 1 log(
) 1
1 log(
)
1(
U X
U U
F X
Generare numeri distribuiti secondo la legge esponenziale: se i numeri {ui} sono distribuiti secondo la legge uniforme, {F-1(ui)} hanno F come funzione di ripartizione.
La variabile X può essere ottenuta come trasformazione di una variabile uniforme
Simulazione
Simulare un processo di Poisson nell’intervallo [0,T] con = 1 e T = 30
memorizzare un vettore S contenente tutti i tempi di arrivo e un vettore N contenente il numero cumulativo di eventi
scrivere una function
Verificare ripetendo un numero elevato di volte la simulazione del processo di Poisson che la v.a.
N(T) ha una distribuzione di Poisson con parametro
usare la function poisspdf e poisscdf
Simulazione
Dato l’intervallo di tempo in cui voglio simulare il processo di Poisson di parametro il modo più semplice (ma meno efficiente in Matlab) per simulare tale processo consiste nel campionare le variabili esponenziali Xi, una alla volta e arrestarsi non appena superi l’estremo superiore; poi conto gli eventi occorsi
Simulare un processo di Poisson nell’intervallo [0,T] con = 1 e T = 30
memorizzare un vettore S contenente tutti i tempi di arrivo e un vettore N contenente il numero cumulativo di eventi
scrivere una function
T n
X
S n
i
i
n , 1,...,
1
) 1 log(
U X
Simulazione
Si può dimostrare che condizionando a N(T) = n le n v.a. Sn sono indipendenti e uniformemente distribuite in [0, T]. Si può sfruttare questo fatto per simulare un processo di Poisson nel modo seguente
campionare la variabile N(T) ~ P(T)
campionare N(T) variabili indipendenti uniformi in [0,T]
ordinare i valori ottenuti al punto precedente; i valori cosi ottenuti rappresentano un campionamento delle variabili Sn ,n = 1, …, N(t)
Utilizzare questo metodo per simulare un processo di Poisson di parametro = 1 in [0,30]
