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Sia f (0) = 0. Dimostrare che f ` e una rotazione attorno all’origine.

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Academic year: 2021

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Analisi D - Scritto del 20/06/2011

1. Sia f : C → C olomorfa ed isometrica (i.e. tale che |f (z) − f (w)| = |z − w| per ogni z, w ∈ C).

Sia f (0) = 0. Dimostrare che f ` e una rotazione attorno all’origine.

2. Sia

f (z) = 3 i − z .

Trovarne le espansioni in serie di centro l’origine e di centro i. Determinarne i raggi di convergenza.

3. Sia µ una misura boreliana, positiva e finita su R. Si consideri la funzione m(x) = µ(−∞, x).

• Mostrare che se µ  L

1

allora m ` e continua.

• Trovare un esempio in cui m non sia continua.

4. Si consideri la successione di funzioni f

n

: (0, 1) → R definita da

f

n

(x) = sin(nx) nx . Studiarne la convergenza (q.o., q.u., in misura e in L

1

).

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