ESERCIZIO 4: ELIMINAZIONE GAUSSIANA

ESERCIZIO 4: ELIMINAZIONE GAUSSIANA

Risolvi il seguente sistema lineare di 2 equazioni in 4 incognite:

1 x1 -1 x2 +1 x3 -1 x4 = 3 1 x1 +2 x2 +1 x3 +1 x4 = 4

SOLUZIONE

• Step 1: Trasforma la matrice completa alla forma ridotta

• Step 2: Interpreta la forma ridotta

Step 1: Trasforma la matrice completa alla forma ridotta

Operazione 1:

1 -1 1 -1 3 1 2 1 1 4

R2=R2 -1 R1 1 -1 1 -1 3 0 3 0 2 1

Operazione 2:

1 -1 1 -1 3 0 3 0 2 1

R2=R2/3

1 -1 1 -1 3 0 1 0

2 3

1 3

Operazione 3:

1 -1 1 -1 3 0 1 0

2 3

1 3

R1=R2+R1

1 0 1 -1 3

10 3

0 1 0 2 3

1 3

Step 2: Interpreta la forma ridotta della matrice completa

1 -1 1 -1

3

0 1 0 2 3

1

3

Per cui:

r(A)= 2 r(A|b)= 2 n=4

Per cui il sistema è possibile con ∞² soluzioni.

Il sistema ridotto è dato da:

1 x1 -1 x2 +1 x3 -1 x4 = 3 1 x2 +(2/3) x4 = (1/3)

Scegliendo in modo arbitrario x4 e x2 è possibile determinare tutte le soluzioni. Si ha infatti:

x1 = -1 t +(1/3) k +(10/3) x2 = +(-2/3) k4 +(1/3)

x3 = t x4 = k