ESERCIZIO 4

(1)

ESERCIZIO 4

L’esercizio 4 tratta lo studio del medesimo telaio presentato nell’esercizio 3 introducendo un controvento concentrico capace di limitarne gli spostamenti orizzontali e di conseguenza la diminuzione dei profili utilizzati.

Figura 1: Telaio piano incernierato alla base

Scopo

L’esempio comprende:

• Determinazione della matrice di rigidezza del telaio:

• Controllo degli spostamenti orizzontali

• Determinazione delle azioni n

• Determinazione delle caratteristiche di sollecitazione:

• Effetti delle Deformazioni:

• Validazione del Calcolo con “Telai” di Gelfi:

L’esercizio 4 tratta lo studio del medesimo telaio presentato nell’esercizio 3 introducendo un controvento concentrico capace di limitarne gli spostamenti orizzontali e di conseguenza la diminuzione dei profili utilizzati.

Telaio piano incernierato alla base e controventato

Determinazione della matrice di rigidezza del telaio: - Controllo degli spostamenti orizzontali: §2.5.3

Determinazione delle azioni nodali: -

Determinazione delle caratteristiche di sollecitazione: §3.1

Effetti delle Deformazioni: §4.2.3.4

Validazione del Calcolo con “Telai” di Gelfi: -

L’esercizio 4 tratta lo studio del medesimo telaio presentato nell’esercizio 3 introducendo un controvento concentrico capace di limitarne gli spostamenti orizzontali e di conseguenza la

§2.5.3 NTC2008

§3.1 NTC2008

§4.2.3.4 NTC2008

(2)

Sistema “a nodi fissi”

Si definisce “sistema a nodi fissi” quello in cui tutti i nodi costituenti il telaio sono assunti come

“bloccati”; ciò implica che gli spostamenti nodali risultano “nulli” e dovute ai soli carichi esterni applicati lungo l

riconducibili a quelle staticamente determinate per travi vincolate “perfettamente” alle loro estremità.

Figura 2: Soluzione del traverso nel sistema a nodi fissi

Sistemi “a nodi spostabili”

L’applicazione di spostamenti unitari (rotazioni o traslazioni) a ciascun singolo nodo, mantenendo gli altri nodi fissi, genera forze e momenti alle estremità delle aste convergenti in esso, in ragi delle rigidezze dei singoli elementi.

Figura 3: For

definisce “sistema a nodi fissi” quello in cui tutti i nodi costituenti il telaio sono assunti come gli spostamenti nodali risultano “nulli” e le caratteristiche di sollecitazione applicati lungo l’asse delle aste (e non applicati ai nodi) sono a quelle staticamente determinate per travi vincolate “perfettamente” alle loro

Soluzione del traverso nel sistema a nodi fissi (trave incastrata perfettamente)

L’applicazione di spostamenti unitari (rotazioni o traslazioni) a ciascun singolo nodo, mantenendo gli altri nodi fissi, genera forze e momenti alle estremità delle aste convergenti in esso, in ragi delle rigidezze dei singoli elementi.

rze e momenti generati a seguito di uno spostamento unitario applicato al nodo

QT-2

definisce “sistema a nodi fissi” quello in cui tutti i nodi costituenti il telaio sono assunti come le caratteristiche di sollecitazione non applicati ai nodi) sono a quelle staticamente determinate per travi vincolate “perfettamente” alle loro

incastrata perfettamente)

L’applicazione di spostamenti unitari (rotazioni o traslazioni) a ciascun singolo nodo, mantenendo gli altri nodi fissi, genera forze e momenti alle estremità delle aste convergenti in esso, in ragione

ze e momenti generati a seguito di uno spostamento unitario applicato al nodo

(3)

1° Sistema “a nodi spostabili” (rotazione del nodo 2)

Figura 4: Applicazione di una rotazione unitaria al nodo 2

Figura 5: Forze e momenti nodali generati dall'applicazione della rotazione unitaria al nodo 2

2° Sistema “a nodi spostabili” (rotazione del nodo 3)

Figura 6: Applicazione di una rotazione unitaria al nodo 3

(4)

3° Sistema “a nodi spostabili” (traslazione orizzontale del nodo 2)

Figura 8: Applicazione di una traslazione unitaria al nodo 2

Figura 9: Forze e momenti nodali generati dall'applicazione della traslazione unitaria al nodo 2

(5)

4° Sistema “a nodi spostabili” (traslazione orizzontale del nodo 3)

5° Sistema “a nodi spostabili” (traslazione verticale del nodo 2)

(6)

6° Sistema “a nodi spostabili” (traslazione verticale del nodo 3)

(7)

Equilibrio dei nodi

Figura 16: Equilibrio dei nodi

+H +V

+M

(8)

equazioni lineari indipendenti nelle sei incognite ϕ₂;ϕ₃; ∆₂; ∆₃; υ₂; υ₃

k

0 k k

i 1

0

=

= µ +

∑

µ ⋅δ

dove:

µ0 generica sollecitazione nodale nel sistema a nodi fissi µk generica sollecitazione nodale nel sistema a nodi spostabili δk generico spostamento nodale nel sistema a nodi spostabili

( )

2

C C

T T T T

2 3 2 2 2 2 2 3

2

C C

T T T T

2 3 2 3 2 2 2 3

C C T B 2

2 2 3

3 I 3 E I

4 I 2 E I 6 E I 6 E I

0 q L E

12 L H L H L L

3 I 3 E I

2 E I 4 I 6 E I 6 E I

0 q L E

12 L L H H L L

3 E I 3 I A A

0 F E cos

H H L s

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅  

= − + ⋅ + ⋅ϕ − ⋅ϕ − ⋅∆ + ⋅υ − ⋅υ

 

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅  

= + ⋅ϕ − ⋅ + ⋅ϕ − ⋅∆ + ⋅υ − ⋅υ

 

⋅ ⋅  ⋅ 

= + ⋅ϕ − ⋅ + + ⋅ α

 

( ) ( )

( ) ( ) ( )

T B

2 3 2

C T C T B 2 B

3 2 3 3

2 3

2

T T B T C B T

2 3 2 2

2 2 3 3

E A E A

cos sen

L s

3 E I E A 3 I A A E A

0 E cos cos sen

H L H L s s

A

6 E I 6 E I E A 12 I A 12 E I

0 q L cos sen E cos

2 L L s L H s L

⋅ ⋅

⋅∆ + ⋅∆ − ⋅ β ⋅ β ⋅υ



⋅ ⋅ ⋅  ⋅  ⋅

= − ⋅ϕ + ⋅∆ − ⋅ + + ⋅ α ⋅∆ + ⋅ β ⋅ β ⋅υ

 

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅  

= − + ⋅ϕ − ⋅ϕ + ⋅ α ⋅ α ⋅∆ + ⋅ + + ⋅ β ⋅υ − ⋅

 

( ) ( ) ( )

3

C 2

T T B T T B

2 3 3 2 3

2 2 3 3

A

6 E I 6 E I E A 12 E I 12 I A

0 q L cos sen E cos

2 L L s L L H s









 υ

 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  ⋅ 

= − − ⋅ϕ + ⋅ϕ − ⋅ α ⋅ α ⋅∆ − ⋅υ + ⋅ + + ⋅ β ⋅υ

  

 



Determinazione della matrice di rigidezza

Il sistema di equazioni lineari tra loro indipendenti si può scrivere nella seguente forma matriciale:

[ ] [ ] [ ]

^F ⁼ ^Κ ^⋅ ^δ

dove:

[ ]

^F vettore delle forze e dei momenti applicati al nodo e dovuti alle azioni esterne

[ ]

^K matrice delle rigidezze

[ ]

^δ vettore degli spostamenti incogniti

( )

C C

T T T T

2 2 2

2

C C

T T T T

2 2 2

2

C C T B

2 3

3 I 3 E I

4 I 2 E I 6 E I 6 E I

E 0

L H L H L L

q L 2 E I 4 I 3 I 3 E I 6 E I 6 E I

E 0

12 L L H H L L

q L 3 E I 3 I A A

0 E cos

12 H H L s

F 0 q L q L2 2

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

 

⋅ +  − − −

 

 

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

  ⋅ ⋅  ⋅  ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

− ⋅ +  − −

 

 

 

−⋅  ⋅ ⋅  ⋅ 

  − ⋅ + + ⋅ α

   

− =

 

 ⋅ 

 

⋅

 

 

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

T B

C T C T B 2 B

2 3

c 2

T T B T B T

2 2 3 3

T T B T

2 2 3

E A E A

cos sen 0

L s

3 E I E A 3 I A A E A

0 E cos 0 cos sen

L L s s

H H

A

6 E I 6 E I E A 12 I A 12 E I

cos sen 0 E cos

s H s

L L L L

6 E I 6 E I 0 E A cos sen 12 E I E

L L s L

⋅ − ⋅ ⋅ β ⋅ β



⋅ ⋅ ⋅  ⋅  ⋅

− − ⋅ + + ⋅ α ⋅ β ⋅ β

 

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  ⋅  ⋅ ⋅

− ⋅ α ⋅ α ⋅ + + ⋅ β −

 

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

− − ⋅ α ⋅ α − ( )

2 3 2 3 2 3

2 c

T B

3

A

12 I A cos

H s

L

 

 

   ϕ

   

   ϕ

   

 ⋅∆

   ∆

   υ

   

  υ

 

⋅

  

⋅ + + ⋅ β

 

 

 

La soluzione del sistema, posto che la matrice

[ ]

^K sia invertibile, risulta per tanto:

[ ] [ ] [ ]

^δ ⁼ ^Κ ⁻¹^⋅ ^F

(9)

Controllo degli spostamenti orizzontali

Si consideri, per ipotesi, di dover realizzare un capannone costituito da portali interessati 5 m l’uno dall’altro, aventi colonne di altezza pari a 10 m e traversi di luce pari a 15 m, soggetti ai sovraccarichi permanenti portati, al sovraccarico neve ed al carico orizzontale dovuto al vento, e si dimensionino gli elementi principali al fine di soddisfare il limite di spostamento orizzontale imposto dalle NTC 2008.

Carichi di progetto

• Pesi propri e sovraccarichi permanenti (Dead Load):

2

1

4.0 kN m

G 4.0 5.0 20 kN m

 =

 = ⋅ =

 DL

• Sovraccarico dovuto alla neve (Snow Load):

2

1

1.0 kN m

Q 1.0 5.0 5.0 kN m

 =

 = ⋅ =

 SL

• Sovraccarico dovuto al vento (Wind Load):

( )

2

1.50 kN m

Q 1.50 5.0 10 75 kN

 =



= ⋅ ⋅ =



WL

Combinazione di carico a Stato Limite di Servizio

Gli spostamenti orizzontali devono essere valutati utilizzando la Combinazione di Carico Rara

§2.5.3 e Tabella 2.5.I:

• Carichi verticali: q G= +ψ ⋅ = +₁ ₀₁ Q₁ 20 0.50 5.0 22.50 kN m⋅ =

• Carichi orizzontali: F Q= ₂ =75 kN Limiti di spostamento orizzontale

Lo spostamento orizzontale in sommità deve essere limitato secondo quanto specificato nella Tabella 4.2.XI:

max

H 10000

33 mm 300 300

δ = = =

Determinazione degli spostamenti e delle rotazioni dei nodi 2 e 3

Il calcolo degli spostamenti si attua considerando colonne HE 300 B, traversi HE 400 B e controventi Ø200/6:

• HE 300 B:

2 2

C

4 4

C

A 149.1 10 mm I 25170 10 mm

 = ⋅



= ⋅



• HE 400 B:

2 2

T

4 4

T

A 197.8 10 mm I 57680 10 mm

 = ⋅



= ⋅



• Ø200/6: A_B =3656.8 mm²

La lunghezza del controvento è pari a: s= H²+ =L² 18.028 m.

(10)

arctan H 33.69 L

α =   = °

 

arctan L 56.31 H

β =   = °

 

C 10 T 1

3 I

K E 4 I 4.816 10 Nmm

L H

⋅

 

= ⋅ + = ⋅

 

T 10 2

2 E I

K 1.615 10 Nmm

L

= ⋅ ⋅ = ⋅

C 6

3 2

3 E I

K 1.586 10 N

H

= ⋅ ⋅ = ⋅

( )

2 5

C T B

4 3

3 I A A

K E cos 3.066 10 N mm

H L s

⋅

 

= ⋅ + + ⋅ α = ⋅

 

T 5 5

K E A 2.769 10 N mm L

= ⋅ = ⋅

T 6

6 2

6 E I

K 3.230 10 N

L

= ⋅ ⋅ = ⋅

( ) ( )

⁴

B 7

K E A cos sen 1.966 10 N mm s

= ⋅ ⋅ β ⋅ β = ⋅

( ) ( )

⁴

B 8

K E A cos sen 1.966 10 N mm s

= ⋅ ⋅ α ⋅ α = ⋅

( )

2 5

C

T B

9 3

A

12 I A

K E cos 3.266 10 N mm

L H s

⋅

 

= ⋅ + + ⋅ β = ⋅

 

T 2

10 3

12 E I

K 4.307 10 N mm

L

= ⋅ ⋅ = ⋅

8 10 10 6 6 6

6 5 5

4.22 10 4.816 10 1.615 10 1.586 10 0 3.230 10 3.230 10 4.22 10 1.615 10 4.816 10 0 1.586 10 3.230 10 3.230 10

75000 1.586 10 0 3.066 10 2.769 10 1.96

0 168750 168750

+ ⋅  + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅

 

− ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅

 

 − = + ⋅ − ⋅ + ⋅ −

 

 

2

3 4

2

6 5 5 4

3

6 6 4 5 2

2

6 6 4 2 5

3

6 10 0

0 1.586 10 2.769 10 3.066 10 0 1.966 10

3.230 10 3.230 10 1.966 10 0 3.266 10 4.307 10 3.230 10 3.230 10 0 1.966 10 4.307 10 3.266 10

ϕ

   

   

  ϕ 

 ⋅  ⋅ ∆ 

   

− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ∆

   

+ ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅  υ

  

− ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ υ

   

 



 Il determinante Jacobiano della matrice di rigidezza è diverso da zero, ciò significa che la struttura è staticamente determinata e la matrice di rigidezza “invertibile”.

11 12 10 10 10 10

2

12 11 10 10 10 10

3

10 10 5

2 3 2 3

2.34 10 7.82 10 5.84 10 4.99 10 1.89 10 1.84 10 7.82 10 2.34 10 4.99 10 5.84 10 1.84 10 1.89 10 5.84 10 4.99 10 1.85 10 1.

− − − − − −

− − −

ϕ

  + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅

 

ϕ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅

 

∆ = + ⋅ + ⋅ − ⋅ −

 

∆ 

υ 

  υ

 

 

5 6 6

10 10 5 5 6 6

10 10 6 6 6 8

10 10 6 6

67 10 1.12 10 1.01 10 4.99 10 5.84 10 1.67 10 1.85 10 1.01 10 1.12 10 1.89 10 1.84 10 1.12 10 1.01 10 3.13 10 6.08 10 1.84 10 1.89 10 1.01 10 1.12 10 6.08 1

− − −

− − − − − −

− − − −

⋅ − ⋅ + ⋅

+ ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅

− ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅

+ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅

8 8

8 6

4.22 10 4.22 10 75000 0 168750 0⁻ 3.13 10⁻ 168750

 

  + ⋅

 

− ⋅

 

 ⋅ − 

 

+ ⋅

   

   

(11)

Risolvendo il prodotto tra la matrice inversa di rigidezza ed il vettore delle forze esterne si determinano gli spostamenti nodali:

• Nodo “2”:

2 2 2

0.013225 rad 1.4030 mm 0.4321 mm ϕ =



∆ =

υ =



• Nodo “3”:

3 3 3

0.013144 rad 1.2373 mm 0.5924 mm ϕ =



∆ =

υ =



Le traslazioni orizzontali dei nodi “2” e “3” sono entrambe inferiori del limite imposto da normativa.

L’introduzione del controvento concentrico ha limitato considerevolmente gli spostamenti orizzontali consentendo di impiegare profili molto più contenuti rispetto a quelli determinati nell’esercizio 3.

(12)

Se le azioni sui nodi hanno segno positivo significa che possiedono lo stesso verso della convenzione usata alla pagina 7, altrimenti se possiedono segno negativo significa che hanno verso opposto a quello della convenzione. L’azione sull’asta concorrente nel nodo sarà uguale in intensità ma agirà in verso opposto.

Trave 2 – 3:

Forze Assiali agenti sui nodi:

( )

T

2 3 3 2

N E A 45.9 kN

− L

= ⋅ ⋅ ∆ − ∆ = −

( )

T

3 2 2 3

N E A 45.9 kN

− L

= ⋅ ⋅ ∆ − ∆ =

Forze di Taglio agenti sui nodi:

( ) ( )

T

2 3 2 2 3 2 3

6 E I

q L 2

V 168.56 kN

2 L L

− ⋅ ⋅ ⋅  

= − +  ϕ −ϕ + ⋅ υ − υ = −

( ) ( )

T

3 2 2 3 2 3 2

6 E I

q L 2

V 168.94 kN

2 L L

−

⋅ ⋅ ⋅  

= − +  ϕ −ϕ + ⋅ υ − υ = −

Momenti Flettenti agenti sui nodi:

( ) ( )

2

T

2 3 2 3 2 3

2 E I

q L 3

M 2 207.49 kNm

12 L L

−

⋅ ⋅

⋅  

= − + ⋅ ⋅ϕ − ϕ + ⋅ υ − υ = −

( ) ( )

2

T

3 2 2 2 2 3

2 E I

q L 3

M 2 210.38 kNm

12 L L

−

⋅ ⋅

⋅  

= + + ⋅ ϕ − ⋅ϕ + ⋅ υ − υ =

Colonna 1 – 2:

C

2 1 2

N E A 135.31 kN

− H

= ⋅ ⋅υ =

C 2

2 1 2 2

3 E I

V 20.75 kN

H H

−

⋅ ⋅  ∆ 

= ⋅ ϕ − =

 

C 2

2 1 2

3 E I

M 207.49 kNm

H H

−

⋅ ⋅  ∆ 

= ⋅ ϕ − =

 

(13)

Colonna 4 – 3:

C

3 4 3

N E A 185.50 kN

− H

= ⋅ ⋅υ =

C 3

3 4 2 3

3 E I

V 21.04 kN

H H

−

⋅ ⋅  ∆ 

= − ⋅ ϕ − = −

 

C 2

3 4 3

3 E I

M 210.38 kNm

H H

− ⋅ ⋅  ∆ 

= − ⋅ ϕ + = −

 

Controventi:

( ) ( )

( )

B

3 1 3 3

N E A cos cos 29.85 kN

− s

= ⋅ ⋅ ∆ ⋅ α − υ ⋅ β =

( ) ( )

( )

B

2 4 2 2

N E A cos cos 59.95 kN

− s

= − ⋅ ⋅ ∆ ⋅ α + υ ⋅ β =

(14)

Figura 17: Azioni Assiali

Figura 18: Azioni di Taglio

Figura 19: Momenti Flettenti

(15)

Reazioni vincolari:

( ) ( )

1 1

V 135.31 29.85 sen 118.75 kN H 29.85 cos 20.75 4.09 kN

 = − ⋅ α =



= − ⋅ α + = −



( ) ( )

2 2

V 185.50 59.95 sen 218.75 kN H 59.95 cos 21.04 70.91 kN

 = + ⋅ α =



= − ⋅ α − = −



Verifica di equilibrio con i carichi esterni:

1 2

F H= + =H 75 kN

1

q L F H 22.5 15 75 10

V 118.75 kN

2 L 2 15

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= − = − =

2

q L F H 22.5 15 75 10

V 218.75 kN

2 L 2 15

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= + = + =

(16)

Nel paragrafo 4.2.3.4 delle NTC 2008 si stabilisce che l’analisi globale della struttura può essere eseguita con la teoria del primo ordine quando il moltiplicatore dei carichi α_crche induce l’instabilità della struttura è maggiore o uguale a 10 se si esegue un’analisi elastica lineare.

In assenza di opportune analisi di Buckling, il moltiplicatore dei carichi può essere stimato nel seguente modo:

( )

( ) ( )

3 Ed,orizzontali

cr

medio Ed,verticali 3

H R 10000 4.09 70.91 10

1683 10 1.4030 1.2373

R 118.75 218.75 10

2

⋅ ⋅ + ⋅

α = = ≅ >

∆ ⋅ + ⋅ + ⋅

∑

dove:

H altezza di interpiano

medio

∆ spostamento medio di interpiano

Ed,orizzontali

∑

R somma delle azioni di taglio alla base delle colonne del piano considerato

Ed,verticali

∑

R somma delle azioni verticali alla base colonne del piano considerato

Il moltiplicatore critico ottenuto con l’analisi di buckling risulta leggermente superiore a quello determinato con la formula approssimata:

cr ,FEM 1698 cr 1683

α = > α =

Il moltiplicatore critico determinato con l’analisi manuale e validato con l’analisi FEM, non rappresenta in questo caso l’instabilità della colonna più caricata, ma l’instabilità globale del telaio, pertanto tale risultato non può essere utilizzato per determinare la lunghezza critica di inflessione della colonna come fatto per l’esercizio 3, ma unicamente per valutare la suscettibilità della struttura agli effetti del secondo ordine.

(17)

Validazione del calcolo con “Telai” di Gelfi

Di seguito si riporteranno le videate dell’analisi del telaio eseguite con il software gratuito “Telai”

realizzato dal Prof. P.Gelfi scaricabile dal sito: http://dicata.ing.unibs.it/gelfi/

Figura 20: Schema Statico agli Elementi Finiti

Figura21: Deformata Qualitativa

(18)

Figura 24: Forza di Taglio

Figura 25: Momento Flettente