Programma Geometria A Prof. Marco Andreatta
Il programma del corso copre il libro Geometria 1 di Edoardo Sernesi; l’esame verte sugli argomenti trattati nel libro. Si è utilizzato anche materiale dei primi tre capitoli Algebraic Curves di R. Walker.
Nel seguito vengono elencati i principali temi trattati.
Spazi vettoriali su un campo. Vettori linearmente indipendenti, generatori di uno spazio e basi.
Teorema sulla dimensione di uno spazio vettoriale.
Matrici. Rango e determinanti. Inversa di una matrice.
Sistemi di equazioni lineari. Metodo di eliminazione di Gauss. Teorema di Rouche-Capelli e di Cramer.
Spazi affini e sottospazi affini. Geometria affine in dimensione due e tre.
Trasformazioni affini e loro proprietà.
Forme bilineari. Forme quadratiche e loro diagonalizzazione.
Prodotti scalari; procedimenti di ortonormalizzazione.
Spazi euclidei, sottospazi e distanze tra di essi.
Operatori unitari e isometrie e loro proprietà. Caratterizzazione delle isometrie in uno spazio euclideo.
Teorema spettrale.
Spazi proiettivi, sottospazi, riferimenti proiettivi, trasformazioni proiettive.
Formula di Grassmann. Relazioni tra spazi affini e proiettivi.
Ipersuperfici algebriche: classificazione proiettiva delle quadriche.
Curve piane. Classificazione affine ed euclidea delle curve piane di grado due.
Classificazione delle quartiche euclidee non degeneri.
(Teoria della fattorizzazione nell'anello dei polinomi) Il risultante.
Intersezione tra curve piane; teorema di Bezout e sue applicazioni.
Proprietà locali delle curve piane. Molteplicità di intersezione lungo una retta. Punti singolari.
Flessi e Hessiano.
Classificazione delle cubiche e loro proprietà.
Complementi:
Classificazione dei solidi platonici. Teorema di Diofanto sulle terne pitagoriche.
Esempi di curve trascendenti (cicloide-brachistocrona-tautocrona).
Visualizzazione di superfici algebriche nello spazio con software dedicati (Surfer).
I teoremi di Pappo, Desargues, Pascal, Brianchon.
