Analisi Matematica 2

Analisi Matematica 2

Corso di Laurea Triennale in Matematica - A.A. 2010/11 II anno, II semestre, CFU 6, codice F0058

Docente: P.Marcati

Sillabo

Introduzione alle equazioni differenziali lineari. Sviluppi di Taylor. Funzioni convesse. In- tegrali impropri e Funzioni integrali. Serie numeriche. Successioni per ricorrenza. Metodo di Newton e delle tangenti e secanti. Formula di Stirling. Successioni e serie di funzioni. Serie di potenze e funzioni reali analitiche. Serie di Fourier.

Programma dettagliato

Equazioni differenziali lineari del primo ordine,equazioni lineari del secondo ordine a coeffi- cienti costanti. [A]

Sviluppi di Taylor con resto di Lagrange, resto di Cauchy, applicazioni al calcolo dei limiti e al calcolo di valori numerici approssimati. Funzioni convesse, massimi, minimi, flessi. Studi di funzione. Integrali impropri. Formula di derivazione di Leibnitz, studio delle funzioni integrali.

[AB], [SP1]

Successioni definite per ricorrenza, punti fissi, stabilit´ a, instabilit´ a. Criterio di stabilit´ a lin- earizzata. Condizioni sufficienti di stabilit´ a. Metodo delle secanti e metodo di Newton. [ND]

Serie Numeriche, propriet´ a generali, criterio di Cauchy, serie a termini non negativi, criteri della radice e del rapporto. Criterio di condensazione di Cauchy. Convergenza assoluta. Serie di segno alterno. Formula di sommazione di Abel e criteri di Abel e Dirichlet. Applicazioni alle serie trigonometriche. [AB]

Successioni e serie di funzioni reali e complesse, convergenza uniforme, criterio di Cauchy, scambio dei limiti, continuit´ a del limite uniforme di funzioni continue, passaggio al limite sotto segno di integrale e derivata. Serie totalmente convergenti, M-test di Weierstrass. Teorema di Dirichlet per la convergenza uniforme. Serie di potenze e funzioni analitiche nel campo reale e complesso. Raggio di convergenza, convergenza puntuale e uniforme nel disco di convergenza,

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convergenza serie derivata e della serie integrata. Serie di Taylor. Comportamento al bordo del disco di convergenza. Serie di Taylor (1 + x)

. [Ru], [A].

Bibliografia [A] Apostol

[AB] Acerbi Buttazzo [ND] Note del Docente [Ru] Rudin

[SP1] Pagani - Salsa vol.1 - edizione vecchia

Modalit´ a di esame

Prova scritta con 5 problemi, durata 3 ore. La prova orale richiede una valutazione sufficiente allo scritto. La valutazione dello scritto decade con una prova orale insufficiente o con la consegna di uno scritto in una sessione di esame successiva. Gli studenti possono sostenere scritto e orale anche in appelli diversi e non ci sono restrizioni sulla partecipazione alle prove scritte.

Gli studenti di anni precedenti che desiderano sostenere l’ esame con il programma del corso svolto nell’ anno di immatricolazione, devono segnalarlo in anticipo al docente per e-mail.

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