Continuit` a, derivabilit` a e differenziabilit` a di funzioni di due variabili

Analisi Mat. Ing. Civile (Canale A-K e L-Z) Silvia Marconi - 21 Novembre 2012 -

 Continuit` a, derivabilit` a e differenziabilit` a di funzioni di due variabili

Studiare la continuit`a, derivabilit`a e differenziabilit`a delle seguenti funzioni:

• f (x, y) = x√³ y

• f (x, y) =

( _xy−x

√

x²+y²−2y+1 (x, y) 6= (0, 1)

λ (x, y) = (0, 1) λ ∈ R

• f (x, y) =

( √_x−y

x²+y² ln(1 + |y|^α) (x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0) α ∈ R⁺

• f (x, y) =

( _(e^|xy|₋₁₎α

√

x²+y² (x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0) α ∈ R

 Curve nel piano

Curva, equazioni parametriche, curva regolare, curva generalmente regolare, vettore tangente, grafico di una funzione di una variabile. Lunghezza di un arco di curva regolare.

Esempi

• γ(t) = (t³, t²), t ∈ [−1, 1], `e generalmente regolare;

• parametrizzazione di una circonferenza;

• parametrizzazione di un segmento;

• parametrizzazione di una spezzata costituita da segmenti paralleli agli assi;

• calcolare la lunghezza dell’arco di curva

γ(t) = (sin t − t cos t, t sin t + cos t) t ∈h 0,π

2 i

[Risp.: ^π₈²].