1. Data la successione {a n }, lim

ANALISI MATEMATICA A - PARTE I - ING. DELL’INFORMAZIONE 2 novembre 2001 Compito 1

1. Data la successione {a n }, lim

n→+∞ a _n = 1 significa

Risp.: A : ∀ε > 0 ∃m ∈ N : ∀n ≥ m |a n − 1| > ε B : ∃ε > 0 : ∃m ∈ N : ∀n ≥ m |a n − 1| ≤ ε C : ∀ε > 0 ∀m ∈ N ∃n ≥ m : |a n − 1| > ε D : ∀ε > 0 ∃m ∈ N : ∀n ≥ m |a n | ≤ ε E : ∀ε > 0 ∃m ∈ N : ∀n ≥ m a n − 1 ≤ ε F : ∀ε > 0 ∃m ∈ N : ∀n ≥ m |a n − 1| ≤ ε

2. Dei seguenti sottoinsiemi di R

S 1 = R \ Z ⁺ ; S 2 = R \ [−1, 0[; S ³ = {x ∈ R : x ² − 1 ≥ 0}; S ⁴ = {x ∈ R : 2 < x < 3}; S ⁵ = {x ∈ R : | sin x| ≤ 2}

sono intorni di x = 2

Risp.: A : S 2 , S 3 , S 5 B : S 2 , S 4 C : S 1 , S 2 , S 5 D : S 1 , S 3 , S 4 E : S 1 , S 4 , S 5 F : S 2 , S 5

3. L’insieme degli z ∈ C tali che Re(z ² + |z| ² + 7z + i7z) = 0 `e rappresentato

Risp.: A : dall’unione di due rette B : dall’unione di un punto e una circonferenza C : da una parabola D : da una circonferenza E : da una semicirconferenza F : da una parabola privata di un punto

4. Sia {a n } una successione infinitesima. Dire quale delle seguenti affermazioni `e falsa.

Risp.: A : {a ⁿ } `e limitata B : {a <sup>n</sup> } `e di Cauchy C : ogni sottosuccessione di {a ⁿ } `e infinitesima D : se {b ⁿ }

`e positivamente divergente, {a n + b n } `e positivamente divergente E : se {b n } `e limitata, {a n · b n } `e oscillante F : se {b n } `e negativamente divergente, {a n · b n } d`a origine ad una forma indeterminata

5. Sia {a n } la successione definita da: a 0 = 3, a n+1 = a n 1 2 + a n

, ∀n ∈ N. Allora

Risp.: A : a n `e crescente e lim n a <sub>n</sub> = <sup>1</sup> <sub>2</sub> B : a n `e decrescente e lim n a _n = ¹ ₂ C : a n `e decrescente e lim n a <sub>n</sub> = 0 D : a n `e crescente e lim n a n = +∞ E : a n non `e monotona F : a n oscilla

6. Il limite lim

n→+∞

µ n ² + 2n + 7 n ² − n

¶ ⁿ vale

Risp.: A : 7 B : e ⁻⁴ C : 2 D : e ³ E : +∞ F : 0

7. Il numero complesso 1 3 ( √

3 + i) ¹¹ vale

Risp.: A : ²

₃ ( √

3 − i) B : ¹ ₃ (i √

3 + 1) C : −32( √

3 + i) D : ¹ ₃ ( √

3 − i) E : ₃ ⁱ F : 3( √ 3 − i)

8. Sia A =

½

cos(nπ) + cos(2nπ)

n + 2 , n ∈ N

¾

. Allora

Risp.: A : min A = −1, max A = 1 B : min A = −1, sup A = +∞ C : inf A = −1, max A = 2 D : min A =

− ¹ 2 , max A = ³ ₂ E : inf A = −∞, max A = ³ 2 F : inf A = −1, max A = ³ 2