Esercizio 1 Calcolare estremo superiore e inferiore, massimo e minimo limite e trovare i punti di accumulazione della successione

ANALISI MATEMATICA I (2008/09) Prova di esonero del 24 aprile 2009

(` E possibile consultare solo i libri di testo, Analisi matematica 1 e 2 di E. Giusti)

Esercizio 1 Calcolare estremo superiore e inferiore, massimo e minimo limite e trovare i punti di accumulazione della successione

a n = n + 1 n cos

 n π

4

 .

Esercizio 2 Si consideri nell’insieme (0, +∞) la funzione f (x) = sin x

√ x ; i) dire se f ` e uniformemente continua nell’intervallo (0, 1);

ii) dire se f ` e uniformemente continua e Lipschitziana in (1, +∞).

Esercizio 3 Calcolare

Z π/2 0

cos ³ x dx ,

Z π/2 0

cos ⁴ x dx .

Esercizio 4 Dire se la funzione

F (x) = Z x

1

arctan t

√

t ³ dt ,

`

e limitata in (0, +∞).

Esercizio 5 Studiare la convergenza puntuale e uniforme della successione di funzioni:

f _n (x) = nx ² + 1 nx + 1 nell’insieme [0, +∞).

Esercizio 6 Studiare l’insieme di convergenza puntuale e uniforme della serie

∞

X

n=0

e ^nx 2 ⁿ + 3 ⁿ .

1

SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI

Esercizio 1 La successione a n ha cinque punti di accumulazione e cio` e

−1, − √ 2/2, 0,

√ 2/2, 1.

Pertanto il massimo limite ` e 1 ed il minimo limite ` e −1. L’estremo superiore della successione che ` e anche il massimo valore ` e a 1 = √

2, l’estremo inferiore, che ` e anche il minimo valore ` e a 4 = −5/4.

Esercizio 2 La funzione

f (x) = sin x

√ x ,

`

e estendibile ad una funzione continua sull’intervallo chiuso [0, 1], che vale zero in zero, in quanto lim x→0 f (x) = 0. La funzione estesa ` e continua sull’intervallo chiuso e pertanto risulta uniforme- mente continua f nell’intervallo aperto (0, 1). La derivata di f ` e limitata sulla semiretta (1, +∞) e pertanto f ` e lipschitziana su questo insieme. Ne segue che f ` e uniformemente continua in (0, +∞).

Esercizio 3 Il primo integrale si calcola per sostituzione, osservando che cos ³ x = (1 − sin ² x) cos x

e che cos x ` e la derivata di sin x. Il risultato ` e 2/3. Il secondo integrale si calcola per parti scrivendo cos ⁴ x = cos ³ x cos x e osservando ancora che cos x ` e la derivata di sin x. Il risultato ` e 3π/16.

Esercizio 4 Per verificare la limitatezza della funzione F (x)

Z x 1

arctan t

√ t ³ dt,

nell’insieme (0, +∞) basta osservare che sono finiti i limiti lim x→0 F (x) e lim x→+∞ F (x). Per il primo limite osserviamo che in un intorno destro di zero la funzione

arctan t

√ t ³ , si comporta come 1/ √

t (perch´ e lim t→0 arctan t

t = 1). Poich´ e nell’intervallo [0, 1] esiste l’integrale improprio di 1/ √

t deve anche esistere il limite cercato (applicare il criterio del confronto). Per quanto riguarda il secondo limite osserviamo che la funzione ^{arctan t √}

t

` e maggiorata dalla funzione π ¹

2 √

t

che ammette un integrale improprio finito nella semiretta (1, +∞).

Esercizio 5 La successione f _n converge nell’insieme considerato alla funzione che vale 1 nel punto zero e vale x negli altri punti dell’insieme [0, +∞). La funzione limite non ` e continua e quindi non pu` o valere la convergenza uniforme su tutto l’insieme. Si osserva per` o che se a > 0,

sup

x≥a

|f _n (x) − x| = max

   

1 − a na + 1

, 1 n



→ 0.

Questo significa che la successione f _n converge uniformemente alla funzione f (x) = x, in ogni

semiretta chiusa [a, +∞), con a > 0.

Esercizio 6 Osserviamo innanzitutto che la serie data ` e a termini non negativi, pertanto la conver- genza semplice equivale alla convergenza assoluta. Applicando il criterio del rapporto, osserviamo che

lim n

2 ⁿ + 3 ⁿ 2 ⁿ⁺¹ + 3 ⁿ⁺¹

e ^(n+1)x e ^nx = e ^x

3 .

Pertanto la serie converge quando e ^x < 3, cio` e quando x < log 3. Inoltre se ρ < log 3 e x ≤ ρ,

risulta _∞

X

n=0

e ^nρ

2 ⁿ + 3 ⁿ < ∞,

e e ^nx

2 ⁿ + 3 ⁿ ≤ e ^nρ 2 ⁿ + 3 ⁿ . Pertanto la serie di funzioni

∞

X

n=0

e ^nx

2 ⁿ + 3 ⁿ ,

converge totalmente e quindi uniformemente per x ≤ ρ.