Esercizi su successioni e serie
26 novembre 2010
Esercizio 1 Trovare successioni a
ndi numeri reali che soddisfano alle seguen- ti condizioni:
1. a
n`e limitata superiormente ma non inferiormente 2. a
n`e limitata inferiormente ma non superiormente 3. a
nnon `e limitata n´e superiormente, n´e inferiormente.
4. a
nnon `e limitata superiormente e ammette una sottosuccessione con- vergente a zero.
Esercizio 2 Trovare una successione limitata che ammette almeno tre sot- tosuccessioni convergenti a tre limiti diversi
Esercizio 3 Trovare una successione illimitata superiormente che ammette almeno tre sottosuccessioni convergenti a tre limiti diversi.
Esercizio 4 Dimostrare che se a
n`e una successione limitata che non con- verge, allora ammette almeno due sottosuccessioni convergenti a limiti diver- si.
Esercizio 5 Stabilire se convergono le seguenti serie:
X
∞n=1
2
n3
n− 1 ,
X
∞n=1
sin(1/n), X
∞n=1
sin(1/n)
n ,
X
∞n=1
(1 − cos(1/n)), X
∞n=1
n
nn! ,
X
∞n=1
n!
n
n, X
∞n=1
1 + √ n n
2,
X
∞n=1
