Ricordiamo innanzitutto che dato un numero complesso z = x + iy, il suo coniugato, indicato con z `e il numero complesso z = x−iy. Risulta allora che

Esercizi sui numeri complessi per il dodicesimo foglio di esercizi

6 dicembre 2010

1 Numeri complessi radici ed equazioni

Ricordiamo innanzitutto che dato un numero complesso z = x + iy, il suo coniugato, indicato con z `e il numero complesso z = x−iy. Risulta allora che

|z| ² = zz, e che z ⁻¹ = z/|z| ² . Ricordiamo anche che, se z = x + iy, il numero reale x si chiama la parte reale di z, in simboli, <z = x, mentre il numero reale y si chiama parte immaginaria di z, in simboli =z = y. Ricordiamo infine che ogni numero complesso pu`o essere espresso nella forma

z = ρ(cos θ + i sin θ),

dove ρ = |z| `e la distanza di z dall’origine e θ (determinato a meno della aggiunta di un multiplo intero di 2π) `e l’angolo (espresso in radianti) che il vettore di componenti <z e =z forma con l’asse delle x.

Esercizio 1 Calcolare il modulo dei seguenti numeri complessi:

1 − 2i, 1 − 2i

i − 2 , i

2i − 3 , i(1 + i) ² , i

i + 1 + i − 2

i − 1 , i

(i + 1)(2i − 1) Nell’ambito dello studio delle funzioni di variabile reale abbiamo definito, per ogni intero positivo n, la funzione, definita per valori non negativi di x, f (x) = x ^1/n = √

x, come il numero non negativo f (x) tale che (f (x)) ⁿ =

x. Questa funzione risulta definita per tutti i valori non negativi di x ed

assume solo valori non negativi. Queste restrizioni sono state adottate perch´e

eravamo interessati a definire e studiare una funzione e non a trovare tutti i

numeri t tali che t ⁿ = x (anche perch´e sapevamo che il problema di trovare

tutti i numeri t tali che t ⁿ = x non avrebbe avuto una soluzione completa

nei numeri reali, in quanto, ad esempio l’equazione t ² = −1 non ha soluzioni

reali.)

Una volta introdotti i numeri complessi vale invece la pena di porci il problema di trovare tutti i numeri (complessi) z che soddisfano all’equazione:

z ⁿ = w, (1)

dove n `e ancora una volta un intero positivo e w `e un numero complesso assegnato.

Per risolvere questo problema dobbiamo ricordare la formula che ci for- nisce la forma trigonometrica di z ⁿ a partire dalla forma trigonometrica di z. Ricordiamo cio`e che se

z = ρ(cosθ + i sin θ), allora

z ⁿ = ρ ⁿ (cos nθ + i sin nθ). (2) Questa formula `e una conseguenza delle formule di addizione di sin θ e cos θ, che ci permettono di dire che

(cos(α + β) + i sin(α + β)) = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β).

Una volta introdotta la notazione (cosiddetta formula di Eulero) e ^iθ = cos θ + i sin θ,

la stessa formula pu`o essere vista come una conseguenza della propriet`a dell’e- sponenziale di trasformare le somme in prodotti, e cio`e come una conseguenza della formula

e ^i(α+β) = e ^iα e ^iβ .

In ogni caso, tenuto conto della (2) e posto w = R(cos φ + i sin φ), la (1) diviene

ρ ⁿ (cos nθ + i sin nθ) = R(cos φ + i sin φ), (3) dalla quale si ricava

ρ = √

R, nθ = φ + 2kπ.

In altre parole le soluzioni della (1) o equivalentemente della (3) sono tutti i numeri z esprimibili come

z = √

R(cos θ + i sin θ), dove

θ = φ + 2kπ

n ,

per qualche intero k. Apparentemente al variare di k sui numeri interi si presentano infinite soluzioni perch´e sono infiniti i possibili valori di θ. Tut- tavia `e facile convincersi che se k varia su n valori consecutivi, ad esempio k = 0, 1, . . . n − 1 si esauriscono i valori di θ che danno luogo a valori diversi di cos θ + i sin θ. Possiamo quindi identificare n soluzioni diverse della (1) e precisamente, per k = 0, . . . , n − 1,

z k = √

R(cos φ + 2kπ

n + i sin φ + 2kπ n ).

In particolare, se n = 2, se cio`e siamo interessati alle radici quadrate del numero w = R(cos φ + i sin φ), avremo le due soluzioni

z ₁ = √

R(cos φ/2 + i sin φ/2), e z ₂ = √

R(cos(φ/2 + π) + i(sin(φ/2 + π)).

Si pu`o osservare a questo punto che z 1 = −z 2 , in quanto e ^iφ/2+π = e ^iφ/2 e ^iπ = −e ^iφ/2 .

Esercizio 2 Trovare tutte le soluzioni delle seguenti equazioni:

z ² = i, z ³ = −1, z ² = 2 − 2i, z ⁴ = 1 + i √

3, z ² = 1 z ³ = 1, z ⁴ = 1, z ⁸ = 1.

L’esistenza di n radici n-esime di ogni numero complesso diverso da zero si applica naturalmente anche alle radici quadrate. Questo ci permette di verificare che la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado continua a valere anche quando si tratta di un’equazione a coefficienti complessi. In altre parole possiamo considerare l’equazione

z ² + βz + γ = 0, (4)

dove β e γ sono numeri complessi, e verificare che le soluzioni sono fornite dalla formula

z = −β + p

β ² − 4γ

2 . (5)

Si parla di due soluzioni perch´e le radici quadrate di un numero complesso, diverso da zero sono due, una opposta dell’altra. Pertanto, se β ² − 4γ 6= 0 l’espressione p

β ² − 4γ corrisponde a due valori distinti. (Ricordiamo che

nel caso di equazioni a coeffienti reali questi due valori erano indicati esplici-

tamente con il simbolo ±, perch´e in ambito reale il simbolo √ . viene usato

per indicare la radice quadrata non negativa di un numero non negativo)

Esercizio 3 Trovare le soluzioni delle seguenti equazioni

z ² + 3iz + 4 = 0, z ² + 2z + 1 − i = 0, z ² + (1 + i)z + i = 0.

Esercizio 4 Dimostrare che se il polinomio

p(z) = z ⁿ + a _n−1 z ⁿ⁻¹ + · · · + a ₀ ,

ha coefficienti reali, ed il numero complesso α `e una radice del polinomioo (cio`e p(α) = 0) allora anche il numero coniugato α `e una radice dello stesso polinomio.

2 Una giustificazione sommaria della formula di Eulero

La formula di Eulero

e ^it = cos t + i sin t,

pu`o essere considerata come una forma suggestiva per indicare l’espressione cos t + i sin t,

giustificabile solo dal fatto che le formule di addizione di sin t e di cos t dimostrano che

e ^it e ^is = (cos t + i sin t)(cos s + i sin s) = cos(s + t) + i sin(s + t) = e ^i(s+t) . Nelle righe che seguono senza alcuna pretesa di completezza cercheremo di dare una giustificazione diretta della formula di Eulero.

Partiamo dalle espressioni di sin t e cos t come serie di potenze, cio`e come limiti dei corrispondenti polinomi di Taylor di punto iniziale 0. Queste sono:

cos t = X ∞

k=0

(−1) ^k t ^2k (2k)! , e

sin t = X ∞

k=0

(−1) ^k t ^2k+1 (2k + 1)!

Consideriamo ora i numeri complessi z n =

X n k=0

(it) ^k

k! ,

e osserviamo che i ^k assume solo quattro valori: il valore 1 quando k `e un multiplo di 4, il valore −1 quando k `e pari, ma non `e un multiplo di 4, il valore i quando k `e ottenuto da un multiplo di 4 aggiungendo uno, ed infine il valore −i quando k `e ottenuto da un multiplo di 4 aggiungendo 3. Ne segue che (it) <sup>k</sup> = i <sup>k</sup> t <sup>k</sup> assume valori reali ±t <sup>k</sup> quando k `e pari e valori immaginari

±it ^k quando k `e dispari, pertanto raccogliendo i termini reali ed i termini immaginari possiamo scrivere

z 2n = X n

k=0

(−1) ^k t ^2k (2k)! + i

X n−1 k=0

(−1) ^k t ^2k+1 (2k + 1)! .

Questo significa che la parte reale di z 2n `e il polinomio di Taylor di ordine 2n di cos t e la parte immaginaria di z <sub>2n</sub> `e il polinomio di Taylor di ordine 2n − 1 di sin t. Poich´e l’espressione del resto nella forma di Lagrange ci assicura che per ogni t reale i polinomi di Taylor di cos t e sin t convergono alle rispettive funzioni, possiamo concludere che la parte reale di z _2n converge a cos t e la parte immaginaria di z _2n converge a sin t. Questo ci autorizza a dire che la successione di numeri complessi z 2n converge al numero complesso cos t+i sin t. Non `e difficile convincersi che lo stesso ragionamento vale per la successione z <sub>n</sub> , indipendentemente dalla parit`a di n. Una notazione coerente per il lim n z n `e la serie

X ∞ k=0

(it) ^k k! = e ^it . A questo punto possiamo scrivere:

X ∞ k=0

(it) ^k k! =

X ∞ k=0

(−1) ^k t ^2k (2k)! + i

X ∞ k=0

(−1) ^k t ^2k+1 (2k + 1)!

Ne segue la formula di Eulero se, come `e naturale, attribuiamo il valore

e ^it al primo membro di questa uguaglianza.