Bilancia di Coulomb

(1)

Bilancia di Coulomb

(2)

Scopo dell’esperienza

• Verificare la legge di Coulomb

• dipendenza dall’inverso del quadrato della distanza

• dipendenza dal quadrato della carica

• Determinare il valore della costante dielettrica in aria

(3)

Legge di Coulomb

Il modulo |F| della forza che una carica puntiforme q₁ esercita su un’altra carica puntiforme q₂ è direttamente proporzionale al prodotto delle due quantità di carica ed inversamente proporzionale al quadrato della distanza

k è una costante di proporzionalità detta costante elettrostatica di Coulomb. La direzione della forza è quello della congiungente le due cariche puntiformi ed il verso è attrattivo per due cariche di segno opposto e repulsivo per due cariche dello stesso segno.

Due cariche puntiformi di 1 Coulomb poste ad 1 metro di distanza subiscono ciascuna una forza attrattiva/repulsiva pari a 8.99 10⁹ N

Attenzione: La forza di Coulomb è una forza Conservativa, quindi ammette una energia potenziale, etc etc ……..

2 2 1

r q k q F =

[ ][ ] [ ]

²

2 9

0

10 99 . 4 8

1 C m

⋅ N

πε =

(4)

Potenziale elettrico

Si definisce potenziale nel punto A V(A) il rapporto dell’energia potenziale con il valore della carica sonda q_0..

Nel caso in cui Q sia una sorgente puntiformeallora

Il potenziale è associato unicamente alla distribuzione di carica che genera il campo elettrico. Il potenziale di una carica puntiforme costituisce il mattone con cui, con un processo di integrazione, si costruisce il potenziale di una qualsiasi distribuzione di cariche

∫

> −>

−

⋅

−

⋅ =

=

A rif rif

a

ds q E

ds F q

A A U

V

0 0

) ) (

(



 



= 

=

A

A r

r Q Q V A V

4 0

) 1 , ( )

(

πε

[ ] [ ]

^V ⁼

[ ]

^C^J ⁼^Volt

P(x₀,y₀,z₀) r

dV z y x dq

z y x in carica di

Densità z

y x

r

dV z y z x

y x V

vol

) , , (

, , )

, , (

) , , ( 4

) 1 , , (

0 0

ρ ρ

ρ πε

=

∫

(5)

Capacità

Dato uno o più conduttori, si definisce capacità il rapporto tra la carica presente sulla superficie del conduttore e il potenziale del conduttore stesso

La capacità è una osservabile che dipende solamente dalle caratteristiche geometriche del conduttore. Se la forma è semplice (sfere, piani, cilindri) è possibile calcolare la capacità teoricamente.

P.es. La capacità di un conduttore sferico di raggio R è data da:

[ ] [ ]

[ ] ^Coul ^Volt ^farad

V C

C Q = =

= ∆

D

R

C = 4 πε ₀

(6)

Esperimento di Coulomb

Istruzioni

(7)

Qualche accorgimento prima di inziare

1. Mettere a terra l’uscita “-” dell’alimentatore, cortocircuitandola con la messa a terra dell’alimentatore stesso (sul retro). Collegare una delle due punte conduttrici in serie con la messa a terra. Collegare l’altra punta all’uscita “+” dell’alimentatore.

2. Prima di caricare le sferette toccarle con la punta messa a terra, per essere sicuri di scaricarle entrambe. Toccarle poi entrambe con la punta in tensione. In questo modo entrambe saranno caricate al potenziale indicato dall’indicatore dell’alimentatore.

3. Impugnare le punte conduttrici ben lontano dall’estremita’ metallica, per evitare di perturbare la carica che si deposita sulle sfere.

4. Spegnere sempre l’alimentatore immediatamente dopo aver caricato le sferette, per evitare correnti di dispersione.

5. Verificare che le due sfere siano di pari diametro 6. Verificare che le due sfere siano alla stessa altezza

7. Verificare che il bilanciere che tiene la sfera sia in equilibrio (in caso contrario spostate/aggiungete le spiralette di rame)

8. Verificate che la manopola sia sempre solidale con il goniometro

(8)

1

^a

parte dell’esperienza:

Verifica dell’andamento 1/R

²

1. Assicurarsi che le sfere siano scariche e posizionarle alla massima distanza 2. Azzerare la posizione della bilancia di torsione (con la manopola graduata

posizionata sullo zero, ruotare la base del filo finche’ la tacca sulla parte mobile della bilancia coincide con quella posizionata sulla parte fissa)

3. Caricare le sfere alla massima distanza con 5-6 kV, spegnere l’alimentatore e portare le sfere a distanza R. Attenzione: prendere nota del valore esatto del potenziale!

Tornera’ utile nella terza parte dell’esperienza.

4. Ruotare la manopola graduata fino all’equilibrio tra la forza elettrostatica e la torsione del filo, e leggere l’angolo ϑ

vista dall’alto

(9)

1

^a

parte dell’esperienza (segue):

Verifica dell’andamento 1/R

²

5. Allontanare di nuovo le sfere e scaricarle con la punta messa a terra 6. Ripetere piu’ volte la misura per lo stesso valore di R

7. Ripetere la misura per diversi valori di R.

All’equilibrio tra forza di torsione e forza elettrostatica vale (in modulo)

e dunque

Verificare se le misure efettuate rispettano questo andamento riportando in grafico ϑ in funzione di R o logϑ in funzione di logR (piu’ facile da fittare p.e. in Excel).

2 2 1

2 2

R k q K

F F

tor

tor el

tor

=

−

=

⇒

=

ϑ

log ϑ = Alog R + B.

F

_el

K

_tor

ϑ

vista dall’alto

(10)

1

^a

parte dell’esperienza (segue):

Verifica dell’andamento 1/R

²

Attenzione: finora abbiamo supposto che le sfere cariche si comportassero come cariche puntiformi, mentre hanno entrambe raggio a=1.9cm. Puo’ essere opportuno apportare una correzione all’angolo di torsione che tenga conto della dimensione finita delle sfere cariche. Si puo’ dimostrare che questa correzione e’ data da

Sostituire i valori di ϑ misurati in precedenza con ϑ

_corr

e verificare se la qualita’ dei dati migliora.

 In quale range di valori di R ci si aspetta un netto miglioramento? Per quale motivo?

. 4

1

3

 

 



− 

=

R

corr

a

ϑ ϑ

(11)

2

^a

parte dell’esperienza:

Verifica dell’andamento q

²

1. Assicurarsi che le sfere siano scariche, e portarle ad una distanza fissata (tra 7 e 10 cm preferibilmente)

2. Caricare le sfere a potenziali diversi V (tra 1 e 7 kV) e misurare per ogni potenziale l’angolo di torsione necessario per equlibrare la bilancia (vedere punto 4 della 1a parte dell’esperienza). Attenzione: ricordarsi di spegnere ogni volta l’alimentatore immediatamente dopo aver caricato le sfere per evitare correnti di dispersione.

Di nuovo, possiamo scrivere che all’equilibrio vale

e dunque

Assumendo che le sfere siano due conduttori sferici di raggio a, possiamo scrivere

e quindi

F

_tor

= F

_el

ϑ

_corr

= K

_tor⁻¹

k q

²

R

²

log ϑ = Alogq + B.

q = CV = (4 πε

₀

a)V

log ϑ = A'logV + B'.

(12)

2

^a

parte dell’esperienza:

Verifica dell’andamento q

²

Verificare se le misure efettuate rispettano questo andamento riportando in grafico ϑ

in funzione di V o logϑ in funzione di logV.

(13)

3

^a

parte dell’esperienza:

Misura della costante di Coulomb k

In questa parte dell’esperienza misureremo la costante di Coulomb, definita dalla relazione

Per ottenere il valore di k, dovremo conoscere simultaneamente I valori assoluti della distanza tra le sfere cariche, la loro carica e la forza elettrostaica che si esercita tra di esse.

Una particolare attenzione merita la determinazione del valore assoluto della forza elettrostatica, che noi misuriamo tramite la forza di torsione da applicare alla bilancia per stabilire un equilbrio allo zero della scala graduata. La forza elettrostatica (in modulo) e’ dunque data da

Ci occorre quindi conoscere il valore della costante di torsione del filo, che e’ l’oggetto della prima misura da effettuare.

F

_el

= k q

²

R

²

.

F

_el

= F

_tor

= K

_tor

ϑ

_corr

.

(14)

3

^a

parte dell’esperienza:

Misura della costante di Coulomb k Misura della costante di torsione

Separare la bilancia dall’asta graduata della sfera scorrevole, e posizionarla in orizzontale sul tavolo di lavoro. Metterla in posizione aiutandosi con l’apposita barretta di supporto.

barra di supporto

vista laterale

(15)

3

^a

parte dell’esperienza:

Misura della costante di Coulomb k Misura della costante di torsione

tubo di supporto

Appoggiare la sfera mobile sul tubo di supporto.

Fate in modo che le tacche della parte mobile e di quella fissa combacino, bilanciate cioe il peso della pallina aggiungendo/spostando sul bilanciere le molle di rame. NON torcete eccessivamente il filo (non superate cioe’ i 360 gradi per metterla in equilibrio)

Dovete raggiungere una situazione in cui la sfera mobile e’ appena sollevata dal tubo di supporto, senza piu’ appoggiarvisi. Prendere nota dell’angolo segnato dalla scala graduata,ϑ₀.

(16)

3

^a

parte dell’esperienza:

Misura della costante di Coulomb k Misura della costante di torsione

tubo di supporto massa m

Appoggiare le masse sul centro della sfera; la sfera si appoggera’ di nuovo al tubo di supporto per effetto della forza peso. Ruotare la manopola graduata finche’ le tacche della bilancia coincideranno di nuovo (la sfera dovrebbe di nuovo posizionarsi appena al di sopra del tubo di supporto.

Usate pesi di massa tale che riproducano lo stesso range di rotazioni che avete misurato con la forza di Coulomb (in altre parole non caricate troppo la bilancia, richiate di rompere il filo e di rifare tutto)

Prendere nota dell’angolo θ e ripetere la misura due o tre volte Usate piu’ masse anche combinandole tra loro

(17)

3

^a

parte dell’esperienza:

Misura della costante di Coulomb k Misura della costante di torsione

Usare la relazione

per determinare la costante di torsione del filo.

mg = K

_tor

( ϑ − ϑ

₀

)

mg

K

_tor

(ϑ-ϑ

₀

)

(18)

3

^a

parte dell’esperienza:

Misura della costante di Coulomb k

Una volta in possesso della costante di torsione del filo, possiamo sfruttare le misure ottenute nella prima parte dell’esperienza (verifica dell’andamento 1/R

²

) per determinare la costante di Coulomb.

Prima pero’ occorre stimare la carica presente sulle sfere. Come nella seconda parte dell’esperienza, assumeremo che le sfere siano due condensatori sferici cavi di raggio a=1.9cm. Si puo’ dunque stimare la carica depositatavi mediante la relazione

con (ma non è da usare)

Usare questa relazione per determinare la carica sulle sfere nella prima parte dell’esperienza.

q = CV = (4 πε

₀

a)V

ε

₀

= 8.85 ×10

⁻¹²

F/m.

(19)

3

^a

parte dell’esperienza:

Misura della costante di Coulomb k

A questo punto, la costante di Coulomb k puo’ essere estratta dalla relazione

per ogni set di dati relativi a diverse distanze R.

 Lo stesso procedimento puo’ essere applicato alle misure ottenute nella seconda parte dell’esperienza, in cui la carica sulle sfere varia mentre la distanza R rimane fissata.

( ) ( )

2

2 2 0

2 2 2 0 0

2 2

0 2 2

4 )

( 4

4 1 )

( 4

1 V

a R R

V a R

K CV

R k q K

corr tor

πε πε

πε ϑ πε

ϑ

=

(20)

NOTA:

Un aspetto che può introdurre un importante errore sistematico è la riduzione della carica depositata sulla pallina da parte di una atmosfera ‘umida’, quindi:

1) Dopo aver caricato le sferette verificate se la torsione della bilancia rimane

costante per almeno 1 minuto. Se questo non è il caso avete una dispersione di carica e quindi bisogna tentare di ridurre questa dispersione (caso 2 o 3) 2) Caricate una prima volta le vostra sferette, rimettete in equilibrio la bilancia,

caricate di nuovo le sferette se la bilancia si sposta dall’equilibrio riassestatela e via così fino a quando non è più necessario un riassestamento. E’

consigliabile fare sempre questa procedura

3) Costruite una curva di calibrazione per ogni tensione. In altre parole caricate le

sferette e fate un plot angolo di torsione verso tempo. Usate questo plot per

correggere i vostri dati.

(21)

Bilancia di Coulomb