Problemi : forza di Coulomb

Problemi ^: forza di Coulomb

1.

Due particelle fisse di carica q₁= + 8q e q₂=-2q sono poste rispettivamente nell’origine dell’asse x ed in un punto di coordinata x = L.

In che punto, a distanza finita, si può collocare un protone p in modo che resti in equilibrio ?

Idea chiave:

Per avere equilibrio, la forza netta sul protone deve essere nulla, cioè

con F₁= forza esercitata da q₁su p F₂= forza esercitata da q₂ su p da cui

Il punto di equilibrio può essere solo sull’asse x. Ne determino la posizione con il seguente ragionamento:

1) il punto di equilibrio NONpuò trovarsi tra le cariche, dato che F₁ed F₂avrebbero versi concordi (vedi figura b));

2) NONpuò trovarsi a sinistradi q₁: sebbene in tale zona F₁ed F₂abbiano versi discordi, F₁è sempre maggiore di F₂, essendo generata da carica maggioreposta a distanza minore 3) alla destra di q₂le forze hanno ancora versi opposti e posso quindi cercare in tale

regione una posizione di equilibrio, essendo la carica maggiore più lontana:

2

0

1

+ F = F r r

2 1

2

1

F F F

F r = − r ⇒ =

2 0

2 0 2

1

( )

2 4

8 1 4

1

L x

qq x

F qq

F

^{p p}

= −

⇒

= πε πε ^N.B. le cariche appaiono

qui in modulo

L x x

L x x

L x

2 2 1 4

2

1

=

⇒

− =

 =



 



 −

2.

Tre cariche puntiformi sono poste ai vertici di un triangolo equilatero, come mostrato in figura. Calcolare la forza elettrica risultante sulla carica di 7.00 µC

N j i

F F

F r r

₁

r

₂

( 0 . 755 r 0 . 436 r )

−

= +

=

La forza netta sulla carica di 7.00 µC è data dalla somma vettoriale delle forze F₁ed F₂ dovute rispettivamente alle cariche di 2.00 µC e -4.00 µC.

Tali forze valgono in modulo:

Proietto tali forze su x ed y:

La forza totale è quindi:

Posso anche scriverla come:

x asse sotto F tg

tg F

N N

N F

F F

x y

y x

0 1

1

2 2

2 2

0 . 755 30

. 0

436 . 0

872 . 0 ) 436 . 0 ( ) 755 . 0 (

=



 



= 



 



= 

= +

= +

=

−

φ

−

r

3.

Due piccole sfere di massa m sono appese a delle funicelle di lunghezza l che sono collegate in un punto comune, come mostrato in figura.

Una sfera ha carica Q e l’altra ha carica 2Q. Si assuma che gli angoli θ₁e θ₂ che le funicelle formano con la verticale siano piccoli.

a) come sono correlati θ₁e θ₂ ?

b) dimostrare che la distanza e fra le sfere è data da:

c) quanto vale Q se l= 120 cm, m =10 g e r = 5.0 cm ?

3 / 2 1

4 

 



≅

mg l Q r k^e

a)

Le sfere hanno cariche diverse,

ma ciascuna esercita una forza uguale e contraria sull’altra di modulo:

ove r è la distanza fra esse.

Dato che le masse sono uguali deve essere

θ

₁

= θ

₂

2

2 r

Q k Q

F_e = _e ×

θ

₁

θ

₂

r

2Q Q

mg F_e T Tcosθ Tsinθ

b)

Perché ci sia equilibrio per ogni sfera il bilancio delle forze deve essere nullo:

a piccoli angoli quinditgθ ≈sinθ = θ θ

θ θ

θ θ

tg mg mg

F

mg T T

F F

mg T

F

T F F F

e e x y

g e

=

=

⇒ =





=

−

=

=

−

=

= + +

=

cos sin

cos / 0

sin

0 cos

r 0 r r r

l r

2 2 1/3

3 2

2

2 4

2 4

sin 2 



 



≅

⇒

≅

⇒

=

=

≅ mg

l Q r k

mgr l

Q r k

k Q l mg r mg

F _{e e} ^e

e θ def

c)

Esplicito Q:

m C C

Nm

m s

m kg

l k Q mgr

mgr l

Q k

e e

8 2

/ 1 2

2 2 9

3 2 2

2 3 / 3 1 3 2

10 68 . ) 1

10 120 )(

/ 10

9 ( 4

) 10 0 . 5 )(

/ 8 . 9 )(

10 10 ( 4

4

−

−

−

−  = ×



 





×

×

×

= ×



 



≅

≅

Problemi ^: campi elettrici

4.

Un dipolo elettrico è costituito da una carica puntiforme positiva q ed una negativa –q separate da una distanza 2a.

a)

trovare il campo elettrico E docuto al dipolo lungo l’asse y nel punto P a distanza y dall’origine.

b) trovare il campo nei punti y >> a lontani dal dipolo.

2 2 2 2

1 a y

k q r k q E

E _{e e}

= +

=

=

a)

In P i campi E₁ed E₂generati dalle cariche

hanno uguale intensità, essendo le cariche poste alla stessa distanza da P:

il campo totale

ha componente y nulla, dato che i campi dovuti

alle due cariche hanno componenti y uguali ed opposte.

La componente x del campo E totale è invece pari al doppio della componente x di ciascun campo:

b)

A grandi distanze dal dipolo posso trascurare il termine a²nel denominatore, ottenendo:

a grandi distanze il campo del dipolo va ha zero più

velocementedel campo prodotto da una carica puntiforme (E ≈ 1/y²) , dato che i campi prodotti dalle singole cariche (positiva e negativa) tendono ad elidersi

2

1 E

E Er r r

+

=

(

^{2 2}

)

^3/2

2 2 2

2 2

2

2 2 2 2

2 2 cos 2

/ /

cos

cos 2

y a k qa y

a a y

a k q y

a k q E

y a a r a

y a k q E

e e

e e

= + + +

+ =

=

+

=

=

= +

θ θ

θ

3 3

1 2

y y

k qa

E =

_e

≈

N.B.molte molecole, come HCl, possono essere descritte come dipoli permanenti: uno ione positivo (H⁺) è infatti combinato con uno ione negativo (Cl^-).

Inoltre atomi e molecole, quando posti in campi elettrici, si comportano come dipoli.

5.

Un anello di raggio a ha una densità lineare di carica positiva uniforme, con carica totale Q. Calcolare il campo elettrico lungo l’asse dell’anello, in un punto P posto a distanza x dal centro dell’anello stesso.

r

2

k dq dE =

_e

Idea chiave:

• calcolo il campo dE prodotto

da un elemento infinitesimo di carica dq, che posso supporre puntiforme

• sommo i contributi dovute alle cariche dq distribuite sull’anello

Tale campo ha componenti

delle quali la componente y si cancella con la

componente y dell’elemento di carica dq posta sul lato opposto dell’anello.

Il campo E in P avrà quindi solo componente x.

Sapendo che

Integro ora su tutto l’anello:

θ θ sin cos dE dE

dE dE

y x

=

=

a dq x

k x r x r k dq dE

dE

r x a

x r

e e

x 2 2 2 3/2

2 / 1 2 2

) cos (

/ cos

, ) (

= +

=

=

= +

=

θ

θ

a Q x k x E

a dq x

k x a dq

x k x dE

E

e x

e e

x x

2 / 3 2 2

2 / 3 2 2 2

/ 3 2 2

) (

) (

) (

= +

= +

= +

=

∫ ∫ ∫

N.B. A grandi distanze E≈1/x

²

(carica puntiforme)

6.

Una bacchetta di lunghezza l = 14.0 cm, uniformemente carica, è piegata a forma di semicerchio, come mostrato in figura. Se la bacchetta possiede una carica totale Q = .7.50µC, trovare modilo, direzione e verso del campo elettrico nel centro del semicerchio.

r

2

k dq dE =

_e

Idea chiave:

• calcolo il campo dE prodotto

da un elemento infinitesimo di carica dq, che posso supporre puntiforme

• sommo i contributi dovute alle cariche dq distribuite sull’anello

ove

Le componenti y del campo prodotto da elementi di carica dq simmetrici rispetto all’asse x si annullano, mentre le componenti x si sommano:

Integro ora su tutto la bacchetta:

Sapendo che:

Vettorialmente:

θ λ λ ds r d dq = =

r d k

r d k

r k r

dE

E

_{x x e}

λ θ θ

^e

λ θ θ

^e

λ

π

π

cos 2

cos

²

2

2

= =

=

= ∫ ∫ ∫

−

θ cos 0

dE dE

E

x y

=

=

) / 10 16 . 2 ) (

140 . 0 (

) 10 50 . 7 )(

/ 10

99 . 8 ( 2 2

/ ,

7 2

6 2

2 9

2

N C

m

C C

Nm l

Q E k

l r l Q

e

x

= = × − × = − ×

=

=

π

−

π

π λ

i C N

E r r

) / 10 16 . 2

( − ×

⁷

=

r

dq

dθ

7.

Un disco di raggio R possiede una densità di carica positiva uniforme

σ.

Qual è il campo elettrico nel punto P a distanza x dal disco lungo il suo asse?

2 / 3 2 2 0 2

/ 3 2 2 2

/ 3 2

2

( )

2 4

) (

) 2 ( )

( r x

rdr x

x r

dr r k x

x r k xdq

dE

_{e e}

= +

= +

= +

ε σ π

σ

Idea chiave:

• scompongo il disco in sottili anelli concentrici

• calcolo il campo dE prodotto da ciascun anello

• sommo i contributi dovuti a tutti gli anelli

Su un anello di raggio r e spessore radiale de è depositata una carica

la quale genera un campo sull’asse del disco pari a

Integro ora su tutto l’anello:

Tale integrale è della forma

da cui:

∫

∫ ^{= +}

⁻

= x

^R

x r r dr

dE E

0

2 / 3 2 2 0

) 2 ( ) 4 ε (

σ

dr r dX

m r x X m con

dX X X

m

m , (2 )

2 ), 3

( 1,

2 2

1 = + =− =

= +⁺

∫

dr r dA

dq = σ = σ ( 2 π )

x

 

 

−

 =

 +

= x ( x

²

r

²

)

^{− 21/}

1 x E

R

σ

σ    +  

 

 −

_{0 0} ^{2 2}

0

1 / 2 2

4 ε ε x R

N.B. A grandi dimensioni (R>>x), il disco tende ad un piano infinito il cui campo è pari a

2 ε

0

= σ

E

8.

Due strati infiniti, non conduttori, sono paralleli fra loro, come in figura.

Calcolare il campo E a destra, al centro ed a sinistra dei due piani nel caso in cui:

a)

i due piani posseggano distribuzioni di carica superficiale uniformi e di segno opposto;

b)

i due piani posseggano distribuzioni di carica superficiale uniformi e di ugual segno.

Idea chiave:

• il campo E prodotto da un piano infinito vale

a seconda che la carica su di esso sia positiva o negativa.

• calcolo il campo E totale come somma vettoriale del campi E

₁

ed E

₂

, prodotti dalle singole

distribuzioni E

± σ

i r r

2 ε

0

± σ

=

a) Distribuzioni di segno opposto:

nella regione 1 e 3 i campi prodotti dal piano con densità di carica + σ e – σ sono diretti in direzioni opposte, quindi i contributi si cancellano.

Nella regione 2 i campi sono invece di verso concorde (lungo asse x) così che si ottiene un campo E di intensità totale

1 2 3

i i

E r r r

0

2

0

2 ε

σ ε

σ ₌

=

b) Distribuzioni di segno uguale:

regione 2 i campi prodotti dal piano con densità di carica + σ e – σ sono diretti in

direzioni opposte, quindi i contributi si cancellano.

Nelle regioni 1 e 3 i campi sono invece di verso concorde così che si ottiene un campo E di intensità totale:

1 2 3

i i

E i i

E r r r r r r

0 0

3 0

0

1

, 2 2

2 2

ε σ ε

σ ε

σ ε

σ _{= − = =}

−

=

Problemi ^: moto di cariche in campi elettrici

9.

In una stampante a getto d’inchiostro una goccia di massa m = 1.3 10^-10 kg e con carica negativa di modulo Q = 1.5 10^-13C penetra tra i piatti di deflessione, come mostrato in figura . Inizialmente la goccia si muove lungo l’asse x, con velocità v_0x= 18 m/s.

La lunghezza dei piatti è L = 1.6 cm. I piatti sono carichi e producono un campo elettrico uniforme di intensità E = 1.4 106 N/C, diretto verso il basso.

Quale è la deflessione verticale della goccia in corrispondenza dell’estremo di destra dei piatti ?

Si trascuri la forza di gravità.

Idea chiave:

• Dato che la goccia è carica negativamente ed il campo E è diretto verso il basso, sulla goccia agisce una forza elettrostatica QE diretta verso l’alto.

• La goccia accelera verso l’alto con accelerazione costante

m QE m a_y = F =

Le equazioni di moto, lungo x ed y sono:

Detto t’ il tempo di transito della goccia tra i piatti, gli spostamenti verticali ed Orizzontali in tale intervallo di tempo sono:

Ricavando t’ dalla seconda equazione e sostituendoli in 1) si ottiene:

0 2 0

1

2 0 1 2

1

2 0

2 0

2 0

+ +

= +

+

=

+ +

= +

+

=

t v t

a t v x x

t a y

t a t v y y

ox x

ox

y y

oy

L t v x

t a y y y

ox

y

=

=

∆

=

−

=

∆

' )

2

2 ' ) 1

1 ₀ ²

mm s m

m kg

m C

N C

v L m t QE a y

v t L

ox y

ox

64 . 0 10

4 . ) 6

/ 18 )(

10 3 . 1 ( 2

) 10 6 . 1 )(

/ 10 4 . 1 )(

10 5 . 1 ( 2

' 1 2 1 '

4 10

2 2 6

15 2

2 2 = × =

×

×

×

= ×

=

=

∆

=

−

−

−

−

10.

Una sferetta carica positivamente di massa m = 1.0 g cade da ferma, nel vuoto, da una altezza h = 5.00 m, in un campo elettrico uniforme verticale, di intensità

E = 1.00 10⁴ N/C. La sferetta colpisce il suolo ad una velocità v = 21.0 m/s.

Determinare:

a) il verso del campo elettrico;

b) la carica sulla sferetta.

Idea chiave:

• La sferetta risente di una accelerazione verticale costante,

data dalla combinazione della accelerazione di gravità e dalla accelerazione

relativa al campo elettrico. Il moto della sferetta è quindi uniformemente accelerato.

Per la velocità della sferetta vale la relazione:

da cui si ricava l’accelerazione:

Questa è l’accelerazione complessiva della sferetta, che inserita nella seconda legge di Newton permette di calcolare il campo E:

a) Sapendo che la sola accelerazione di gravità fornirebbe una velocità finale

per raggiungere la velocità di 21.0 m/s è necessario che il campo E sia verticale e diretto verso il basso, dato che la carica è di segno positivo.

b)La carica q della sferetta vale quindi:

) ( 2 0

) (

2

2 2 2

h a v

x x a v v

f

i f i

f

− +

=

− +

=

h a v^f

2

2

−

=

h j mg mv E

q

h j j mv qE j mg F

F a m F

f

f e

g net

r r

r r

r r r r

r

2 ) (

2

2

2

−

=

−

= +

−

= +

=

=

s m m

s m gh

v

x x g v

v

f

i f i

f

/ 90 . 9 ) 00 . 5 )(

/ 8 . 9 ( 2 2

) (

2

2 2

2

=

=

=

−

−

=

C C

s s m

m g kg

m v

q ^f 1.00 10 (21.0 / ) 9.8 / 3.43 10 3.43µ )

( ^{3 2 2 6}

2

=

×

=

 

 −

= ×

−

= ^{− −}

y

0

h = 5 m

F_g E

m C

N h

E 2 1.0×10³ /  2(5.00 ) 

Problemi ^: teorema di Gauss

11.

Una sfera isolante di raggio a possiede una densità volumetrica uniforme ρ ed una carica totale Q positiva. Si calcoli:

a) intensità del campo E fuori dalla sfera;

b) intensità di E all’interno della sfera

Idea chiave:

• applico il teorema di Gauss,

sfruttando la simmetria sferica della distribuzione di carica.

• Utilizzo una superficie sferica di raggio r concentrica con la carica, sulla cui

superficie E è costante e perpendicolare in ogni punto.

a)

Calcolo

il flusso di E attraverso una superficie sferica concentrica con la carica ed esterna ad essa:

0 0

2

) 4

( π r ^q ε ε ^Q E

dA E EdA A

d

E

ⁱⁿ

E

= ⋅ = = = = =

Φ ∫ ^{r r} ∫ ∫

T. di Gauss )

4 ( 1

2 0

a r r per

E = Q >

πε il campo esterno è equivalente

a quello di carica puntiforme

b)

^Calcolo

il flusso di E attraverso una superficie sferica di raggio r

concentrica con la carica ed interna ad essa. Per applicare il T. di Gauss devo calcolare la carica q

_in

contenuta all’interno di tale sfera di volume V’:

3 ) ( 4

' r

³

V

q

_in

= ρ = ρ π

) 4 (

3

4 3 ) ( 4

4

) 4 (

3 0 0

2 0

3

2 0

0 2

a r per a r

r Q

r r r

E q

r q E dA E EdA A

d E

in

in E

<

=

=

=

=

=

=

=

=

⋅

=

Φ ∫ ∫ ∫

πε ε

ρ

πε π ρ πε

π ε r

r

T. di Gauss

12.

Calcolare il campo elettrico a distanza r generato da un filo uniformemente carico positivo di lunghezza infinita la cui densità lineare di carica è λ.

Idea chiave:

• applico il teorema di Gauss, sfruttando la simmetria cilindrica della

distribuzione di carica.

• Utilizzo una superficie cilindrica di raggio r e lunghezza l , coassiale con il filo carico

Per simmetria della distribuzione di carica, il campo E deve essere perpendicolare al filo e diretto nel verso uscente.

Sui punti della superficie lateraledel cilindro, E è costante in modulo ed è perpendicolare

alla superficie in ogni punto.

Sulle basi E è parallelo e quindi perpendicolare a dA, dando così flusso nullo.

Il flusso di E è diverso da 0 solo attraverso la superficie laterale, di area A:

0

0

ε

λ ε

l EA q

dA E EdA A

d

E

ⁱⁿ

E

= ⋅ = = = = =

Φ ∫ ^{r r} ∫ ∫

T. di Gauss

r E r

rl l E

A E

1 2

) 2 (

0

0

≈

=

=

= πε

λ

ε π λ

il campo esterno varia più lentamente (≈1/r)

che non ne caso di una distribuzione sferica (≈1/r

²

)

13.

Trovare il campo elettrico creato da un piano isolante infinito con densità di carica superficiale σ.

Idea chiave:

• applico il teorema di Gauss, sfruttando la simmetria della distribuzione di carica.

• Utilizzo una superficie cilindrica con asse perpendicolare al piano e che attraversa simmetricamente la distribuzione piana.

Per simmetria della distribuzione di carica, il campo E deve essere perpendicolare al piano con verso uscente

Sui punti della basidel cilindro,

E è costantein modulo ed è perpendicolare alla superficie delle basi in ogni punto.

Sulla superficie laterale E è parallelo e quindi perpendicolare a dA, dando così flusso nullo.

Il flusso di E è diverso da 0 solo attraverso le basi del cilindro, ciascuna di area A:

0 0

2 2

2 ε

σ ε

A EA q

dA E

EdA A

d

E

ⁱⁿ

base base

E

= ⋅ = = = = =

Φ ∫ ^{r r} ∫ ∫

T. di Gauss

0 0

2 2

ε σ ε σ

=

= E

A A E

il campo esterno è costante in ogni punto, indipendentemente dalla distanza dal piano

E è uniforme

Problemi ^: potenziale elettrico

14.

Si calcoli il potenziale nel punto P, al centro del quadrato di cariche puntiformi mostrate in figura.

Si assuma d = 1.3 m, q₁= +12nC, q₂= -24 nC, q₃= +31 nC, q₄= +17 nC.

Idea chiave:

• calcolo il potenziale elettrostatico in P come somma algebrica dei potenziali creati dalle quattro cariche.

 

 



 + + +

=

= ∑

=

r q r q r q r q V V

ⁿ

i i

4 3

2 1

0 1

4 1 πε

Essendo r la distanza fra le cariche, pari a

si ottiene:

2 2 /

2 2

2 2 2

2

d d d r d

r  = ⇒ =



 

 + 

 

 



= 

m V C C

Nm d

q q q V q

2 352 /

3 . 1

10 ) 17 31 24 12 ) ( / 10

99 . 8 (

2 /

) (

4 1

2 9 2 9

4 3 2 1 0

× = +

+

× −

=

+ +

= +

−

πε

15.

Le tre cariche in figura sono ai vertici di un triangolo isoscele di base 2.00 cm e lati uguali di 4.00 cm.

a)

Calcolare il potenziale al centro della base, assumendo q = 7.00 µC.

b)

Calcolare il campo elettrico nello stesso punto.

=q

₁

q

₂

q

₃

a) Il potenziale in P è dato da:

ove le distanze della cariche da P sono:

da cui si ottiene:

 

 



 − −

 =



 



 + +

=

= ∑

=

3 2 1 0 3

3 2

2 1

1 0 1

1 1 1 4

4 1

r r r q r

q r q r q V V

ⁿ

i i

πε πε

m r

r

m m

m r

2 3

2

2 2

2 2

2 1

10 00 . 1

10 87 . 3 )

10 00 . 1 ( ) 10 00 . 4 (

−

−

−

−

×

=

=

×

=

×

−

×

=

V

m m

C m C

Nm r r r V q

6

2 2

2 6

2 2 9

3 2 1 0

10 0 . 11

10 1 10

1 10

87 . 3 ) 1 10 00 . 7 )(

/ 10

99 . 8 (

1 1 1 4

×

−

=

 

 



 − −

× ×

×

=

 

 



 − −

=

−

−

−

−

πε Idea chiave:

• calcolo il potenziale elettrostatico in P come somma algebrica dei potenziali creati dalle quattro cariche.

• calcolo E come somma dei campi prodotti dalle singole cariche

b) Le cariche negative producono in P campi E di verso opposto che quindi si annullano. Il campo in P è dato solo dalla carica q

₁

:

( ^m ) ^{j C N j}

C C

Nm r j

E

_P

q

r r

r r

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