Forza elettrostatica e campo elettrico

Forza elettrostatica e campo elettrico

Testo di riferimento:

•  “Elementi di Fisica”, Mazzoldi, Nigro, Voci

a.a. 2017-2018

Dal programma

o  Carica elettrica. Struttura elettrica della materia. Forza di Coulomb. Campo

elettrostatico. Linee di forza del campo

Elettrostatico. Moto di una carica in campo elettrostatico. Sistemi di cariche puntiformi.

Esperienza di Millikan. Lavoro elettrico e

Potenziale Elettrostatico: Lavoro della forza elettrica: definizione di tensione e differenza di potenziale. Potenziale elettrostatico. Energia potenziale elettrostatica. Il campo come

gradiente del potenziale. Superfici

equipotenziali. Dipolo elettrico e forza su un

Carica elettrica

o  Prime esperienze relative alla forza elettrica note già dall’antichità:

n  ambra, ebanite ed altri materiali, strofinati con panno di lana acquistano la proprietà di attrarre corpuscoli leggeri quali granelli di polvere e pagliuzze (es. di ferro).

o  Oggi conosciamo la struttura elettrica della materia

n  elettroni e nuclei, costituiti da protoni (e neutroni, senza carica)

Leggete con attenzione i paragrafi 1.1 ed 1.2 del Mazzoldi

Due tipi di carica elettrica

Elettroscopio a foglie

o  primo strumento per rilevare e

riconoscere lo stato (relativo) di carica elettrica

n  se viene “calibrato” à elettrometro

o  equivalente alla “bilancia” (massa) o dinamometro (forza)

Conduttori ed isolanti

o  studieremo meglio più avanti le proprietà dei coonduttori e degli isolanti

(“dielettrici”).

Induzione elettrostatica

avviciniamo un corpo carico (positivamente) ad un

elettroscopio

o  le cariche negative

(elettroni) del metallo si avvicinano al corpo carico o  all’altra estremità resta un

difetto di elettroni (carica netta positiva)

Questo processo di separazione di carica, proprio dei

conduttori, è noto come

induzione elettrostatica

Induzione elettrostatica

Possiamo facilmente rendere carico (positivamente o negativamente) un

conduttore grazie al fenomeno dell’induzione elettrostatica

o  processo della figura in basso, nella sequenza a,b, c, d

- - - - - -

La legge di Coulomb

o  già spiegata quando abbiamo studiato la legge di Newton della gravitazione universale

o  La legge di Coulomb ha stessa identica forma

n  differenza: due tipi di cariche elettriche (mentre la massa è solo “positiva”)

F = − ! γ ^m

^m r

u !

!

F = k q

q r

u !

G(P) = − ! γ ^m r

u !

F = −! γ ^mM r²

u!_r

E(P) = k ! Q r

u !

gravitazione elettrostatica

forza

campo

La legge di Coulomb

o  molto più semplice testare la legge di Coulomb in laboratorio rispetto alla legge di gravitazione

universale (esperienza di Cavendish)

o  La forza elettrica è molto più intensa della forza gravitazionale

F = k ! q

q

r

u !

Unità di misura

o  Per descrive i fenomeni elettrici (e magnetici) bisogna introdurre una nuova unità di misura fondamentale

o  A noi ora servirebbe l’unità di carica elettrica.

o  Come in meccanica (es. Forza e massa), la scelta non è univoca.

o  Nel sistema internazionale si introduce, per ragioni pratiche (di riproducibilità), l’unità di misura della corrente elettrica: l’Ampere (A)

o  Per ragioni didattiche, definiremo la corrente elettrica più avanti.

o  La carica elettrica diventa una unità derivata.

o  In ogni caso all’unità di carica elettrica, nel sistema internazionale, si da un nome: il Coulomb (C)

o  il Coulomb è la carica trasporta da una corrente di un Ampere in un secondo

La legge di Coulomb

F = k ! q

q r

u !

!

E(P) = k Q r

u !

k = 1 4 πε

F = ! 1 4 πε

q

q r

u !

!

E(P) = 1 4 πε

Q r

u !

ε

= 1

4 π ^k = 8.8542 ⋅10

C

Nm

Campo elettrostatico

o  Useremo molto il concetto di campo

n  forza sentita da una carica di prova q₀ diviso il valore della carica di prova

o  vale anche per la forza

elettrostatica, e quindi per il campo elettrostatico, il principio di sovrapposizione

F =! ! F_i

∑

0

q₀q_i r_i²

u!_i

∑

0

q_i r_i²

u!_i

∑

E =! F!

q₀ = 1 4πε₀

q_i r_i²

u!_i

∑

Campo elettrostatico

F =! ! F_i

∑

0

q₀q_i r_i²

u!_i

∑

0

q_i r_i²

u!_i

∑

F!

q₀ = 1 4πε₀

q_i r_i²

u!_i

∑

Unità di misura di E

E =! F!

q₀ = 1 4πε₀

q_i r_i²

u!_i

∑ _[E]=N/C

Più avanti vedremo che spesso si può usare un’altra unità di misura:

[E]=V / m

V=Volt (unità di misura del potenziale elettrico)

Distribuzioni continue di carica

o  La carica elettrica può essere distribuita continuamente

n  in un volume: ρ = dq/dV [C/m³]

o  densità volumetrica di carica

n  su una superfice: σ = dq/dS [C/m²]

o  densità superficiale di carica

n  su una linea: λ = dq/dl [C/m]

o  densità lineare di carica

Esempio 1.6

o  Campo elettrostatico di un anello carico

dE_x(x) = λ^dl

4πε₀^{r2 cos}θ

E(x) =! λ ^cosθ^u!_x

4πε₀^r2 ₀ ^dl

l

∫

0r² 2π^Ru!_x

r²=R²+x² e cos θ= x /√(R²+x² )

E(x) =! q 4πε₀

x R² + x²

( )

3 2

u!_x Considerare il limite per x >> R

Esempio 1.7

o  Campo elettrostatico di un disco carico

d !

E(x) = σ ^x 2ε₀

rdr r² + x²

( )

u!_x =

= qx 2πε₀^R2

rdr r² + x²

( )

u!_x

E(x) =! σ x! u_x 2ε₀

rdr r² + x²

( )

0 R

∫

0

1− x

x² + R²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟! u_x

x>0:

Esempio 1.8

o  Campo elettrostatico di due piani indefiniti

Linee di forza del campo elettrico

o  le linee di un campo di forza sono quelle linee che, in ogni loro punto, danno la direzione della forza in quel punto

o  le linee di un campo sono quelle linee che, in ogni loro punto, danno la

direzione del campo in quel punto

o  inoltre, la densità delle linee (intorno ad un punto) esprime l’intensità della forza o del campo in prossimità di quel punto

Una linea di forza, in ogni suo punto, è tangente e concorde al campo (elettrostatico) in quel punto

Linee di forza del campo elettrico

Una linea di forza, in ogni suo punto, è tangente e concorde al campo (elettrostatico) in quel punto Le linee di forza si addensano dove l’intensità del campo è maggiore

Le linee di forza non si incrociano mai

Le linee di forza hanno origine nelle cariche positive e terminano sulle cariche negative

Linee di forza del campo elettrico

Linee di forza del campo elettrico

Linee di forza del campo elettrico

Moto di una carica in campo elettrostatico

o  F = m a à qE = ma à

a=dr

/dt

=q/m E

Esempio 1.9

Esperienza di Millikan

o  solo cenni

v

= v

− ΔqE 6 πη ^r

v₀ è la velocità di caduta per sola gravità, quindi in assenza di

campo o di carica elettrica

η rappresenta la viscosità del mezzo

Δq rappresenta la carica

catturata dalla gocciolina Si trova che Δq = ne

Lavoro elettrico, tensione, potenziale

o  E=F/q

à F=q

E

o  Il lavoro elementare vale

dW = FŸds = q

EŸds =q

E cosθ o  Il lavoro per uno spostamento

finito vale:

W = dW

C1

∫

C1

∫

Concetto di “Potenziale”

o  Anziché usare la forza, conviene servirsi del campo E o  Anche per il campo si può introdurre il concetto di

“campo conservativo”

o  Il campo elettrostatico è conservativo

n  ovvio: tra forza e campo, l’unica differenza è la costante q₀

o  La quantità corrispondente all’energia potenziale è detta potenziale e si misura in Volt

F = ! 1 4 πε

q

q r

u !

E

= U

= 1 4 πε

q

q r

V

= 1 4 πε

q r E = ! 1

4 πε

q r

u !

Forza [N]

Campo

elettrostat.

[N/C=Vm]

Energia potenziale [J]

Potenziale elettrostat.

[J/C=V]

Forza elettrostatica

o  Nota: abbiamo dimostrato che la forza (od il campo) elettrostatico è conservativo riferendoci alla carica

F = ! 1 4 πε

q

q r

u !

U

= 1

4 πε

q

q r

Forza [N]

Energia potenziale [J]

W = !

F ⋅ d ! s

A B

∫ = −ΔU = − U (

−U

) ^{= U}

^−U

Potenziale elettrostatico

o  Il campo elettrico è di tipo conservativo solo in condizioni statiche

n  cariche ferme à elettrostatica

o  In generale, il campo elettrico non è conservativo

V

= 1 4 πε

q r E = ! 1

4 πε

q r

u !

Campo

elettrostat.

[N/C=Vm]

Potenziale elettrostat.

[J/C=V]

E ⋅ d ! ! s

A B

∫ = −ΔV = − V (

−V

) ^{= V}

^−V

Circuitazione

o  L’integrale di linea, lungo una linea

chiusa, di un campo vettoriale è detto circuitazione

Esempio: circuitazione del campo elettrico

E ⋅ d ! !

"∫ s

Circuitazione di forza

o  Nel caso di una forza, possiamo

ovviamente considerare la circuitazione

o  Se la forza è conservativa, la sua circuitazione è zero per qualunque

percorso chiuso (parto da un punto e ritorno nello stesso punto)

F ⋅ d ! ! s

"∫

^{= dW}

"∫

^{= W}

F ⋅ d ! ! s

"∫

^{= dW}

"∫

^{= −ΔE}

^{= 0}

Forza elettromotrice

o  torniamo al caso più generale (non siamo in condizioni statiche)

o  definiamo la forza elettromotrice (f.e.m.), lungo un dato percorso chiuso C, il risultato della circuitazione del campo E lungo C

ε = !

E ⋅ d ! s

"∫

La relazione equivalente, usando la forza anziché il campo è:

[ε]=V

! ! ! !

Campo elettrostatico: sommario

E ⋅ d ! ! s

A B

∫ = −ΔV = − V (

−V

) ^{= V}

^−V

E ⋅ d ! ! s

"∫

^{= 0}

W = !

F ⋅ d ! s

A B

∫ = −ΔU = − U (

−U

) ^{= U}

^−U

^{F ⋅ d ! s !}

"∫

^{= 0}

ΔU = q

ΔV

[V]=V = J/C

Potenziale elettrostatico

o  Per la carica puntiforme q, conosciamo già il risultato,

perché abbiamo fatto il conto analogo nel caso della forza gravitazionale

n  differenze: màq ; m₀à q₀ ; γ à k=1/4πε₀

V_B −V_A = q

4πε₀^r_B ⁻

q 4πε₀^r_A E =! q

4πε₀^r2 u!

Potenziale elettrostatico

V_B −V_A = q

4πε₀^r_B ⁻

q 4πε₀^r_A E =! q

4πε₀^r2 u!

U_e(B) −U_e(A) = q₀q

4πε₀^r_B ⁻

q₀q 4πε₀^r_A

V (r) = − !

∞E

∫

∞E

∫

Potenziale elettrostatico

V_B −V_A = q_i 4πε₀^r_B,i

i

∑

0r_A,i

i

∑

o  l’estensione al caso di n cariche puntiformi è immediato

n  principio di sovrapposizione

W = −q₀

(

)

∑

∑

⎟⎟ = −.ΔU^e

Potenziale elettrostatico

o  l’estensione al caso di carica distribuita con continuità è anch’essa ovvia (dq=ρ dV)

n  principio di sovrapposizione

V (P) =

∫

0

dq

∫

Energia potenziale elettrostatica

o  Sino ad ora abbiamo considerato l’energia potenziale della sola carica q₀

o  Ha senso chiedersi qual è l’energia dell’intero sistema di cariche

o  Consideriamo prima 2 sole cariche

L’energia potenziale del sistema è pari al lavoro che deve compiere una forza esterna per portare una delle due cariche da una grande distanza

Energia potenziale elettrostatica

o  Sino ad ora abbiamo considerato l’energia potenziale della sola carica q₀

o  Ha senso chiedersi qual è l’energia dell’intero sistema di cariche

o  Consideriamo n cariche:

U_e(sistema) = 1 2

q_iq_j 4πε₀^r_{i, j}

i≠ j

∑

Se aggiungiamo la carica di prova q₀, l’energia potenziale di q₀ è

U_e(q₀) = ^q0qi

4πε₀r_i

i=1 n

∑

L’energia totale è U (sistema) +U (q )

Esempio 2.2

o  Calcolare l’energia potenziale

elettrostatica delle tre cariche q

, q

e q

o  Calcolare il lavoro W necessario per

portare q

(inizialmente all’infinito) al

centro del triangolo

Moto di una carica (q

)

o  Il campo elettrostatico è conservativo

o  si conserva l’energia

ΔE_k = ¹₂ mv_B² − ¹₂ mv_A² = W

W = −ΔU_e = −[U_e(B) −U_e(A)] = −(q₀V_B − q₀V_A)

12 mv_A² + q₀V_A = ¹₂ mv_B² + q₀V_B

l’energia vale dunque e si conserva E = E_k +U_e = ¹₂ mv² + q₀V

Il campo come gradiente del potenziale

o  Noto il campo, posso calcolare il potenziale (o meglio, le differenze di potenziale):

o  È vero anche il viceversa: noto il potenziale (e le sue derivate rispetto allo spazio), posso

ricavarmi il potenziale.

n  Per dimostrarlo rigorosamente ci vuole la matematica che farete l’anno prossimo

o  derivate parziali E ⋅ d! !

r

A B

∫

“spostamento” tra due punti A e B molto vicini: dr = dx u_x +dy u_y + dz u_z

E ⋅ d! !

r = −dV

Il campo come gradiente del potenziale

E ⋅ d! ! r

A B

∫

E_x = −∂V

∂x , E_y = −∂V

∂y , E_z = −∂V

∂z !

E ⋅ d!

r = −dV

Si introduce un simbolo (operatore “nabla”) che permette di

scrivere le tre relazioni di sopra in modo più compatto: il “gradiente”

∇ = (! ∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z) componenti cartesiane

∇ =! ! u_x ∂

∂x + ! u_y ∂

∂y + ! u_z ∂

∂z somma coi versori

E=-! !

∇V = (−∂V

∂x , − ∂V

∂y , − ∂V

∂z ) Altro modo: E = - grad V

Il campo come gradiente del potenziale

E ⋅ d! ! r

A B

∫

E ⋅ d! !

r = −dV

E=-! !

∇V = (−∂V

∂x , − ∂V

∂y , − ∂V

∂z )

E = - grad V

dV = −!

E ⋅ d! r=!

∇V ⋅ d! r V_B −V_A = − !

E ⋅ d!

A r

∫

∫

Potenziale di un anello carico

o  Esempio 2.6

V = λ 4πε₀

dl

∫

0r = q

4πε₀ R² + x²

E_x = −∂V

∂x = qx

4πε₀

(

)

E_y = −∂V

∂y = 0 , E_z = −∂V

∂z = 0

Potenziale di un disco carico

o  Esempio 2.7

dV (x) = dq

4πε₀ ^r2 + x² = 2πσ^rdr

2ε₀ ^r2 + x² = σ 2ε₀

rdr r² + x² V (x) = dV

0

∫

rdr

r² + x² =

0

∫

R² + x² − x

( )

∂V σ ^{⎛ x ⎞}

V (x >> R) = q 4πε₀^x

Potenziale tra due piani infiniti

o  Esempio 2.8

V (x) = V₁ − σ

ε₀ ^{(x − x1)} V₁ −V₂ = ΔV = σ

ε₀ ^h

V₁ V₂

Superfici equipotenziali

o  Superficie equipotenziale è una superfice dello spazio nei cui punti il potenziale elettrostatico ha lo stesso valore: V(x,y,z)=cost

n  per un punto passa una ed una sola superficie equipotenziale

n  le linee di forza sono in ogni loro punto ortogonali alle superfici equipotenziali

Il dipolo elettrico

o  si definisce “momento del dipolo elettrico” il vettore p=qa

n  a va dalla carica negativa a quella positiva

V (P) = q 4πε₀

1 r₁ − 1

r₂

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = q 4πε₀

r₂ − r₁ r₁r₂ r₂ − r₁ = a cosθ ^{, r}₁^r₂ = r²

se r>>a

V (P) = qa cosθ 4πε₀^{r2 =}

p cosθ 4πε₀^{r2 =}

p ⋅! ! u_r 4πε₀^r2

E_x = −∂V

∂r = 2 p cosθ 4πε₀^r3 E_θ = −1

r

∂V

∂θ ⁼

psinθ 4πε ^r3

E =! p

4πε₀^r3

(

)

Il dipolo elettrico

o  Sull’asse del dipolo:

E =! p

4πε₀^r3

(

)

E =! 2 ! p 4πε₀^r3

o  Nel piano mediano: ^{E =! −}

p! 4πε₀^r3

La forza sul dipolo elettrico

o  Consideriamo un campo uniforme:

n  le due forze formano una coppia

! F

= −q !

E , !

F

= q !

! E

M = !

r

× !

F

+ !

r

× !

F

= !

r

− ! r

( ) ^{× F !}

⁼

= q !

a × !

E = !

p × ! E

Il lavoro del campo per ruotare il dipolo dall’angolo θ_i all’angolo θ_f vale:

W = M d θ

θ_i θ_f

∫ ^{= − pE}

^{sin θ d θ}

∫ ^{= pE cos θ}

^{− pE cos θ}

M = −pE sin ! θ ^{u !}

W = pE cos θ

− pE cos θ

= −[U

( θ

) −U

( θ

^)]

U

( θ ) = −pE cos θ