Forza elettrostatica e campo elettrico
Testo di riferimento:
• “Elementi di Fisica”, Mazzoldi, Nigro, Voci
a.a. 2017-2018
Dal programma
o Carica elettrica. Struttura elettrica della materia. Forza di Coulomb. Campo
elettrostatico. Linee di forza del campo
Elettrostatico. Moto di una carica in campo elettrostatico. Sistemi di cariche puntiformi.
Esperienza di Millikan. Lavoro elettrico e
Potenziale Elettrostatico: Lavoro della forza elettrica: definizione di tensione e differenza di potenziale. Potenziale elettrostatico. Energia potenziale elettrostatica. Il campo come
gradiente del potenziale. Superfici
equipotenziali. Dipolo elettrico e forza su un
Carica elettrica
o Prime esperienze relative alla forza elettrica note già dall’antichità:
n ambra, ebanite ed altri materiali, strofinati con panno di lana acquistano la proprietà di attrarre corpuscoli leggeri quali granelli di polvere e pagliuzze (es. di ferro).
o Oggi conosciamo la struttura elettrica della materia
n elettroni e nuclei, costituiti da protoni (e neutroni, senza carica)
Leggete con attenzione i paragrafi 1.1 ed 1.2 del Mazzoldi
Due tipi di carica elettrica
Elettroscopio a foglie
o primo strumento per rilevare e
riconoscere lo stato (relativo) di carica elettrica
n se viene “calibrato” à elettrometro
o equivalente alla “bilancia” (massa) o dinamometro (forza)
Conduttori ed isolanti
o studieremo meglio più avanti le proprietà dei coonduttori e degli isolanti
(“dielettrici”).
Induzione elettrostatica
avviciniamo un corpo carico (positivamente) ad un
elettroscopio
o le cariche negative
(elettroni) del metallo si avvicinano al corpo carico o all’altra estremità resta un
difetto di elettroni (carica netta positiva)
Questo processo di separazione di carica, proprio dei
conduttori, è noto come
induzione elettrostatica
Induzione elettrostatica
Possiamo facilmente rendere carico (positivamente o negativamente) un
conduttore grazie al fenomeno dell’induzione elettrostatica
o processo della figura in basso, nella sequenza a,b, c, d
- - - - - -
La legge di Coulomb
o già spiegata quando abbiamo studiato la legge di Newton della gravitazione universale
o La legge di Coulomb ha stessa identica forma
n differenza: due tipi di cariche elettriche (mentre la massa è solo “positiva”)
F = − ! γ m
0m r
2u !
r!
F = k q
0q r
2u !
rG(P) = − ! γ m r
2u !
rF = −! γ mM r2
u!r
E(P) = k ! Q r
2u !
rgravitazione elettrostatica
forza
campo
La legge di Coulomb
o molto più semplice testare la legge di Coulomb in laboratorio rispetto alla legge di gravitazione
universale (esperienza di Cavendish)
o La forza elettrica è molto più intensa della forza gravitazionale
F = k ! q
1q
2r
2u !
rUnità di misura
o Per descrive i fenomeni elettrici (e magnetici) bisogna introdurre una nuova unità di misura fondamentale
o A noi ora servirebbe l’unità di carica elettrica.
o Come in meccanica (es. Forza e massa), la scelta non è univoca.
o Nel sistema internazionale si introduce, per ragioni pratiche (di riproducibilità), l’unità di misura della corrente elettrica: l’Ampere (A)
o Per ragioni didattiche, definiremo la corrente elettrica più avanti.
o La carica elettrica diventa una unità derivata.
o In ogni caso all’unità di carica elettrica, nel sistema internazionale, si da un nome: il Coulomb (C)
o il Coulomb è la carica trasporta da una corrente di un Ampere in un secondo
La legge di Coulomb
F = k ! q
0q r
2u !
r!
E(P) = k Q r
2u !
r k=8.9875109 N m2/C2k = 1 4 πε
0F = ! 1 4 πε
0q
0q r
2u !
r!
E(P) = 1 4 πε
0Q r
2u !
rε
0= 1
4 π k = 8.8542 ⋅10
−12C
2Nm
2Campo elettrostatico
o Useremo molto il concetto di campo
n forza sentita da una carica di prova q0 diviso il valore della carica di prova
o vale anche per la forza
elettrostatica, e quindi per il campo elettrostatico, il principio di sovrapposizione
F =! ! Fi
∑
= 4πε10
q0qi ri2
u!i
∑
= q0 4πε10
qi ri2
u!i
∑
E =! F!
q0 = 1 4πε0
qi ri2
u!i
∑
Campo elettrostatico
F =! ! Fi
∑
= 4πε10
q0qi ri2
u!i
∑
= q0 4πε10
qi ri2
u!i
∑
E =!F!
q0 = 1 4πε0
qi ri2
u!i
∑
Unità di misura di E
E =! F!
q0 = 1 4πε0
qi ri2
u!i
∑ [E]=N/C
Più avanti vedremo che spesso si può usare un’altra unità di misura:
[E]=V / m
V=Volt (unità di misura del potenziale elettrico)
Distribuzioni continue di carica
o La carica elettrica può essere distribuita continuamente
n in un volume: ρ = dq/dV [C/m3]
o densità volumetrica di carica
n su una superfice: σ = dq/dS [C/m2]
o densità superficiale di carica
n su una linea: λ = dq/dl [C/m]
o densità lineare di carica
Esempio 1.6
o Campo elettrostatico di un anello carico
dEx(x) = λdl
4πε0r2 cosθ
E(x) =! λ cosθu!x
4πε0r2 0 dl
l
∫
= 4λπεcosθ0r2 2πRu!x
r2=R2+x2 e cos θ= x /√(R2+x2 )
E(x) =! q 4πε0
x R2 + x2
( )
3 2
u!x Considerare il limite per x >> R
Esempio 1.7
o Campo elettrostatico di un disco carico
d !
E(x) = σ x 2ε0
rdr r2 + x2
( )
32u!x =
= qx 2πε0R2
rdr r2 + x2
( )
32u!x
E(x) =! σ x! ux 2ε0
rdr r2 + x2
( )
3/20 R
∫
= 2σε0
1− x
x2 + R2
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟! ux
x>0:
Esempio 1.8
o Campo elettrostatico di due piani indefiniti
Linee di forza del campo elettrico
o le linee di un campo di forza sono quelle linee che, in ogni loro punto, danno la direzione della forza in quel punto
o le linee di un campo sono quelle linee che, in ogni loro punto, danno la
direzione del campo in quel punto
o inoltre, la densità delle linee (intorno ad un punto) esprime l’intensità della forza o del campo in prossimità di quel punto
Una linea di forza, in ogni suo punto, è tangente e concorde al campo (elettrostatico) in quel punto
Linee di forza del campo elettrico
Una linea di forza, in ogni suo punto, è tangente e concorde al campo (elettrostatico) in quel punto Le linee di forza si addensano dove l’intensità del campo è maggiore
Le linee di forza non si incrociano mai
Le linee di forza hanno origine nelle cariche positive e terminano sulle cariche negative
Linee di forza del campo elettrico
Linee di forza del campo elettrico
Linee di forza del campo elettrico
Moto di una carica in campo elettrostatico
o F = m a à qE = ma à
a=dr
2/dt
2=q/m E
Esempio 1.9
Esperienza di Millikan
o solo cenni
v
Δq= v
o− ΔqE 6 πη r
v0 è la velocità di caduta per sola gravità, quindi in assenza di
campo o di carica elettrica
η rappresenta la viscosità del mezzo
Δq rappresenta la carica
catturata dalla gocciolina Si trova che Δq = ne
Lavoro elettrico, tensione, potenziale
o E=F/q
oà F=q
0E
o Il lavoro elementare vale
dW = Fds = q
0Eds =q
0E cosθ o Il lavoro per uno spostamento
finito vale:
W = dW
C1
∫
= q0 E ⋅ d! s!C1
∫
Concetto di “Potenziale”
o Anziché usare la forza, conviene servirsi del campo E o Anche per il campo si può introdurre il concetto di
“campo conservativo”
o Il campo elettrostatico è conservativo
n ovvio: tra forza e campo, l’unica differenza è la costante q0
o La quantità corrispondente all’energia potenziale è detta potenziale e si misura in Volt
F = ! 1 4 πε
0q
0q r
2u !
rE
P= U
P= 1 4 πε
0q
0q r
V
P= 1 4 πε
0q r E = ! 1
4 πε
0q r
2u !
rForza [N]
Campo
elettrostat.
[N/C=Vm]
Energia potenziale [J]
Potenziale elettrostat.
[J/C=V]
Forza elettrostatica
o Nota: abbiamo dimostrato che la forza (od il campo) elettrostatico è conservativo riferendoci alla carica
F = ! 1 4 πε
0q
0q r
2u !
rU
P= 1
4 πε
0q
0q r
Forza [N]
Energia potenziale [J]
W = !
F ⋅ d ! s
A B
∫ = −ΔU = − U (
B−U
A) = U
A−U
BPotenziale elettrostatico
o Il campo elettrico è di tipo conservativo solo in condizioni statiche
n cariche ferme à elettrostatica
o In generale, il campo elettrico non è conservativo
V
P= 1 4 πε
0q r E = ! 1
4 πε
0q r
2u !
rCampo
elettrostat.
[N/C=Vm]
Potenziale elettrostat.
[J/C=V]
E ⋅ d ! ! s
A B
∫ = −ΔV = − V (
B−V
A) = V
A−V
BCircuitazione
o L’integrale di linea, lungo una linea
chiusa, di un campo vettoriale è detto circuitazione
Esempio: circuitazione del campo elettrico
E ⋅ d ! !
"∫ s
Circuitazione di forza
o Nel caso di una forza, possiamo
ovviamente considerare la circuitazione
o Se la forza è conservativa, la sua circuitazione è zero per qualunque
percorso chiuso (parto da un punto e ritorno nello stesso punto)
F ⋅ d ! ! s
"∫
C= dW
"∫
C= W
F ⋅ d ! ! s
"∫
C= dW
"∫
C= −ΔE
potenziale= 0
Forza elettromotrice
o torniamo al caso più generale (non siamo in condizioni statiche)
o definiamo la forza elettromotrice (f.e.m.), lungo un dato percorso chiuso C, il risultato della circuitazione del campo E lungo C
ε = !
E ⋅ d ! s
"∫
CLa relazione equivalente, usando la forza anziché il campo è:
[ε]=V
! ! ! !
Campo elettrostatico: sommario
E ⋅ d ! ! s
A B
∫ = −ΔV = − V (
B−V
A) = V
A−V
BE ⋅ d ! ! s
"∫
C= 0
W = !
F ⋅ d ! s
A B
∫ = −ΔU = − U (
B−U
A) = U
A−U
BF ⋅ d ! s !
"∫
C= 0
ΔU = q
0ΔV
[U]= J [W]= J[V]=V = J/C
Potenziale elettrostatico
o Per la carica puntiforme q, conosciamo già il risultato,
perché abbiamo fatto il conto analogo nel caso della forza gravitazionale
n differenze: màq ; m0à q0 ; γ à k=1/4πε0
VB −VA = q
4πε0rB −
q 4πε0rA E =! q
4πε0r2 u!
Potenziale elettrostatico
VB −VA = q
4πε0rB −
q 4πε0rA E =! q
4πε0r2 u!
Ue(B) −Ue(A) = q0q
4πε0rB −
q0q 4πε0rA
V (r) = − !
∞E
∫
r ⋅ ds =! 4πεq 0r U(r) = q0V (r) = −q0 !∞E
∫
r ⋅ ds =! 4qπε0q 0rPotenziale elettrostatico
VB −VA = qi 4πε0rB,i
i
∑
− 4πεqi0rA,i
i
∑
o l’estensione al caso di n cariche puntiformi è immediato
n principio di sovrapposizione
W = −q0
(
VB −VA)
= −⎛⎜⎜∑
q0qi −∑
q0qi ⎞⎟⎟ = −.ΔUe
Potenziale elettrostatico
o l’estensione al caso di carica distribuita con continuità è anch’essa ovvia (dq=ρ dV)
n principio di sovrapposizione
V (P) =
∫
dV = 4πε10
dq
∫
r Ue(x, y, z) = q0V (x, y, z)Energia potenziale elettrostatica
o Sino ad ora abbiamo considerato l’energia potenziale della sola carica q0
o Ha senso chiedersi qual è l’energia dell’intero sistema di cariche
o Consideriamo prima 2 sole cariche
L’energia potenziale del sistema è pari al lavoro che deve compiere una forza esterna per portare una delle due cariche da una grande distanza
Energia potenziale elettrostatica
o Sino ad ora abbiamo considerato l’energia potenziale della sola carica q0
o Ha senso chiedersi qual è l’energia dell’intero sistema di cariche
o Consideriamo n cariche:
Ue(sistema) = 1 2
qiqj 4πε0ri, j
i≠ j
∑
Se aggiungiamo la carica di prova q0, l’energia potenziale di q0 è
Ue(q0) = q0qi
4πε0ri
i=1 n
∑
L’energia totale è U (sistema) +U (q )
Esempio 2.2
o Calcolare l’energia potenziale
elettrostatica delle tre cariche q
1, q
2e q
3o Calcolare il lavoro W necessario per
portare q
0(inizialmente all’infinito) al
centro del triangolo
Moto di una carica (q
0)
o Il campo elettrostatico è conservativo
o si conserva l’energia
ΔEk = 12 mvB2 − 12 mvA2 = W
W = −ΔUe = −[Ue(B) −Ue(A)] = −(q0VB − q0VA)
12 mvA2 + q0VA = 12 mvB2 + q0VB
l’energia vale dunque e si conserva E = Ek +Ue = 12 mv2 + q0V
Il campo come gradiente del potenziale
o Noto il campo, posso calcolare il potenziale (o meglio, le differenze di potenziale):
o È vero anche il viceversa: noto il potenziale (e le sue derivate rispetto allo spazio), posso
ricavarmi il potenziale.
n Per dimostrarlo rigorosamente ci vuole la matematica che farete l’anno prossimo
o derivate parziali E ⋅ d! !
r
A B
∫
= −ΔV = − V( B −VA)= VA −VB“spostamento” tra due punti A e B molto vicini: dr = dx ux +dy uy + dz uz
E ⋅ d! !
r = −dV
Il campo come gradiente del potenziale
E ⋅ d! ! r
A B
∫
= −ΔV = − V( B −VA) = VA −VBEx = −∂V
∂x , Ey = −∂V
∂y , Ez = −∂V
∂z !
E ⋅ d!
r = −dV
Si introduce un simbolo (operatore “nabla”) che permette di
scrivere le tre relazioni di sopra in modo più compatto: il “gradiente”
∇ = (! ∂
∂x, ∂
∂y, ∂
∂z) componenti cartesiane
∇ =! ! ux ∂
∂x + ! uy ∂
∂y + ! uz ∂
∂z somma coi versori
E=-! !
∇V = (−∂V
∂x , − ∂V
∂y , − ∂V
∂z ) Altro modo: E = - grad V
Il campo come gradiente del potenziale
E ⋅ d! ! r
A B
∫
= −ΔV = − V( B −VA) = VA −VBE ⋅ d! !
r = −dV
E=-! !
∇V = (−∂V
∂x , − ∂V
∂y , − ∂V
∂z )
E = - grad V
dV = −!
E ⋅ d! r=!
∇V ⋅ d! r VB −VA = − !
E ⋅ d!
A r
∫
B = A ∇V ⋅ d! !r∫
B teorema del gradientePotenziale di un anello carico
o Esempio 2.6
V = λ 4πε0
dl
∫
r = λ42πεπR0r = q
4πε0 R2 + x2
Ex = −∂V
∂x = qx
4πε0
(
R2 + x2)
3/2Ey = −∂V
∂y = 0 , Ez = −∂V
∂z = 0
Potenziale di un disco carico
o Esempio 2.7
dV (x) = dq
4πε0 r2 + x2 = 2πσrdr
2ε0 r2 + x2 = σ 2ε0
rdr r2 + x2 V (x) = dV
0
∫
R = 2σε 0rdr
r2 + x2 =
0
∫
R 2σε 0R2 + x2 − x
( )
∂V σ ⎛ x ⎞
V (x >> R) = q 4πε0x
Potenziale tra due piani infiniti
o Esempio 2.8
V (x) = V1 − σ
ε0 (x − x1) V1 −V2 = ΔV = σ
ε0 h
V1 V2
Superfici equipotenziali
o Superficie equipotenziale è una superfice dello spazio nei cui punti il potenziale elettrostatico ha lo stesso valore: V(x,y,z)=cost
n per un punto passa una ed una sola superficie equipotenziale
n le linee di forza sono in ogni loro punto ortogonali alle superfici equipotenziali
Il dipolo elettrico
o si definisce “momento del dipolo elettrico” il vettore p=qa
n a va dalla carica negativa a quella positiva
V (P) = q 4πε0
1 r1 − 1
r2
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ = q 4πε0
r2 − r1 r1r2 r2 − r1 = a cosθ , r1r2 = r2
se r>>a
V (P) = qa cosθ 4πε0r2 =
p cosθ 4πε0r2 =
p ⋅! ! ur 4πε0r2
Ex = −∂V
∂r = 2 p cosθ 4πε0r3 Eθ = −1
r
∂V
∂θ =
psinθ 4πε r3
E =! p
4πε0r3
(
2 cosθu!r + sinθu!θ)
Il dipolo elettrico
o Sull’asse del dipolo:
E =! p
4πε0r3
(
2 cosθu!r + sinθu!θ)
E =! 2 ! p 4πε0r3
o Nel piano mediano: E =! −
p! 4πε0r3
La forza sul dipolo elettrico
o Consideriamo un campo uniforme:
n le due forze formano una coppia
! F
1= −q !
E , !
F
2= q !
! E
M = !
r
1× !
F
1+ !
r
2× !
F
2= !
r
2− ! r
1( ) × F !
2=
= q !
a × !
E = !
p × ! E
Il lavoro del campo per ruotare il dipolo dall’angolo θi all’angolo θf vale:
W = M d θ
θi θf