D’ora innanzi, al posto dell’espressione ”segmento orientato con primo estremo in A” diremo ”vettore applicato in A”

Analisi dei dati corso integrato - Algebra lineare, 19.02.08 - 20.02.08

1. In questa lezione si riprendono, in modo informale e brevemente, alcune nozioni ed alcuni fatti sui vettori, cosi’ come emergono nello studio della geometeria dello spazio.

Dati due punti A e B nello spazio, indichiamo con AB il segmento che li con- giunge, pensato con il verso di percorrenza privilegiato da A verso B.

Fissato un segmento orientato AB, per ogni punto A⁰ dello spazio esiste uno ed un solo segmento orientato A⁰B⁰ con primo estremo A⁰ che abbia la stessa lunghezza, direzione e verso di AB.

©©©©©*

A

B

Se A⁰ e’ sulla retta individuata da A e B, allora e’ intuitivamente chiaro come possiamo costruire A⁰B⁰.

©©©©©©©©©©©©©©©©

©©©©©*

A

B ^©©

©©©*

A⁰

B⁰

Se A⁰ non e’ sulla retta individuata da A e B, allora possiamo costruire B⁰ inter- secando la retta per A⁰ parallela alla retta per A, B con la retta per B parallela alla retta per A, A⁰.

©©©©©©©©©©©©©©

©©©©©©©©©©©©©©©©

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

©©©©©*

A

B

©©©©©*

A⁰

B⁰

Diciamo che abbiamo ”tralsato” il segmento orientato AB nel segmento orientato A⁰B⁰.

2. D’ora innanzi, al posto dell’espressione ”segmento orientato con primo estremo in A” diremo ”vettore applicato in A”; indicheremo i vettori applicati con simboli come u, v, . . . .

Sia O un punto fissato nello spazio.

Dati due vettori u, v applicati in O,

u -

¢¢¢¢¢¢¢¸

v

O

definiamo il vettore

u + v

loro somma come il vettore applicato in O costruito come segue: prima trasliamo il vettore v in modo che il suo primo estremo coincida col secondo estremo di u, ottenendo cosi’ un nuovo vettore v⁰

u -

¢¢¢¢¢¢¢¸

v

¢¢¢¢¢¢¢¸

v⁰

O

poi consideriamo il vettore applicato in O avente come secondo estremo il secondo estremo di v⁰ :

u -

¢¢¢¢¢¢¢¸

v

¢¢¢¢¢¢¢¸

v⁰

©©©©©©©©©©©©©©*

u + v

O

In altri termini, u + v e’ la diagonale, uscente da O, del parallelogramma che ammette u e v come lati consecutivi.

Nel caso di vettori allineati, la somma e’ sostanzialmente quella dei numeri reali:

u-

¾v ^¾ u + v

O

Questa operazione di addizione di vettori risulta essere associativa u + v = v + u,

e commutativa:

(u + v) + w = u + (v + w), per ogni terna di vettori u, v, w.

Per esecizio, si verifichi graficamente su un esempio la proprieta’ associativa.

Il ruolo del numero zero viene svolto dal vettore i cui estremi coincidono con il punto O; questo vettore viene detto vettore nullo, e viene indicato col simbolo

0.

La somma di un qualsiasi vettore col vettore suo simmetrico rispetto ad O ha per risultato il vettore nullo; cosi’, per ogni v, il suo simmetrico rispetto ad 0 viene indicato con

−v.

3. Dato un vettore v applicato in O, c’e’ un modo naturale per definire il prodotto di un numero reale per v : per un numero intero n, si pone

nv =





v + v + · · · + v n volte per n = 1, 2, . . .

0 per n = 0

(−v) + (−v) + · · · + (−v) −n volte per n = −1, −2, . . .

... poi si passa, possiamo dire ”per suddivisione” , al caso dei numeri razionali, e infine, possiamo dire ”per continuita’” ai reali.

u- -

1 2u

-

2u

¾

−u

O

4. Abbiamo cosi’ definito due operazioni: l’addizione di due vettori applicati in O, che fornisce un vettore applicato in O, e la moltiplicazione di un vettore applicato in O per uno scalare reale, che fornisce ancora un vettore applicato in O.

Il calcolo con queste due operazioni gode delle usuali proprieta’ del calcolo let- terale; bisogna solo tenere presente che abbiamo oggetti di due nature, vettori e scalari, possiamo sommare vettori con vettori, moltiplicare vettori per scalari, ma non possiamo sommare vettori con scalari, ne’ moltiplicare vettori per vettori.

Data una sequenza di un cero numero di vettori a₁, a₂, . . . , ed una sequenza dello stesso numero di scalari r₁, r₂, . . . , moltiplicando ciascun vettore per il corrispon- dente scalare e poi sommando otteniamo un nuovo vettore

r₁a₁+ r₂a₂+ · · · ,

detto combinazione lineare dei vettori dati; il numero reale r_i viene detto il peso del vettore a_i nella combinazione lineare.

Esempio

• La combinazione lineare dei vettori u, v applicati in O

u -

¢¢¢¢¢¢¢¸

v

O

con pesi rispettivi ²₃ e 2 da’ come risultato il vettore

-

- u

¢¢¢¢¢¢¢¸

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¸

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢

v

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡µ

2

3u + 2v

O

5. Possiamo costruire un sistema di riferimento per lo spazio scegliendo un punto O e di seguito:

• un vettore u applicato in O, diverso dal vettore nullo 0;

• un vettore v applicato in O, non appartenente all’unica retta contenente u;

• un vettore w applicato in O, non appartenente all’unico piano contenente u, v.

I vettori cosi’ ottenuti non sono complanari: non solo w non appartiene al piano contenente u, v, ma anche: v non appartiene al piano contenente u, w, e u non appartiene al piano contenente v, w.

Ora, ciascun vettore applicato in O si puo’ scrivere come combinazione lineare dei vettori u, v, w.

Infatti, per ciascun vettore b applicato in O,

• possiamo tracciare dal secondo estremo di b il piano parallelo al piano indi- viduato da v, w, e intersecarlo con la retta individuata da u, ottenendo un vettore che possiamo esprimere nella forma

ru per un opportuno scalare r;

• possiamo tracciare dal secondo estremo di b il piano parallelo al piano indi- viduato da u, w, e intersecarlo con la retta individuata da v, ottenendo un vettore che possiamo esprimere nella forma

sv per un opportuno scalare s;

• possiamo tracciare dal secondo estremo di b il piano parallelo al piano indi- viduato da u, v, e intersecarlo con la retta individuata da w, ottenendo un vettore che possiamo esprimere nella forma

tw per un opportuno scalare t.

Possiamo allora esprimere il vettore b nella forma b = ru + sv + tw.

In realta’, questa scrittura e’ unica. Diciamo che i vettori u, v, w formano una base dello spazio, e diciamo che r, s, t sono le coordinate del vettore b rispetto al questa base.

6. Con riferimento al puntp precedente, si puo’ osservare che:

• l’uguaglianza ru = 0

vale soltanto per r = 0;

• l’uguaglianza ru + sv = 0

vale soltanto per r = s = 0;

• l’uguaglianza ru + sv + tw = 0

vale soltanto per r = s = t = 0.

Ciascuno degli insiemi {u},

{u, v}, {u, v, w}

ha dunque la seguente proprieta’:

una combinazione lineare dei vettori dell’insieme e’ uguale al vettore nullo soltanto se tutti i coefficienti della combinazione sono nulli.

Un insieme con questa proprieta’ si dice linearmente indipendente; altrimenti, si dice che e’ linearmente dipendente.

Nello spazio si verifica che:

• ogni insieme linearmente indipendente di p ≤ 3 vettori si puo’ completare ad un insieme linearmente indipendente di 3 vettori;

• se un insieme di 3 vettori e’ linearmente indipendente, allora i suoi vettori formano una base dello spazio;

• un insieme di quattro o piu’ vettori e’ sempre linearmente dipendente.

Vedremo di seguito come questi concetti e risultati si estendono agli spazi vetto- riali Rⁿ.

7. Sia n un intero positivo fissato. Lo spazio vettoriale Rⁿ e’ l’insieme delle n−ple ordinate di numeri reali, che rappresenteremo sempre come vettori colonna



 a₁ ...

a_n



 ,

munito dell’operazione di addizione di due n−ple, definita da



 a₁ ...

a_n



 +



 b₁ ...

b_n



 =





a₁+ b₁ ...

a_n+ b_n





e dell’operazione di moltiplicazione di una n−pla per un numero reale, definita

da 

 a1

...

an



 r =



 a1r ...

anr



 .

Penseremo ciascuna n−pla come un’unica entita’, e le indicheremo con lettere minuscole sottolineate a.b, . . . , v, . . . . La n-pla

0 =



 0...

0





viene detta vettore nullo.

Al posto di n−pla useremo spesso il termine vettore, e al posto di ’numero reale’

il termine ’scalare’.

Dati p vettori a₁, a₂, . . . , a_p ∈ Rⁿ e p scalari r1, r2, . . . , rp ∈ R, moltiplicando ciascun vettore per il corrispondente scalare e poi sommando otteniamo un nuovo vettore

a₁r1 + a₂r2 + · · · + a_prp ∈ Rⁿ,

detto combinazione lineare dei vettori a₁, a₂, . . . , a_p con coefficienti r₁, r₂, . . . , r_p. Dato un nuovo vettore b, ci possiamo chiedere se b si puo’ scrivere come combi- nazione lineare

a₁x₁+ a₂x₂+ · · · + a_px_p = b

dei vettori a₁, a₂, . . . , a_p e, in caso affermativo, secondo quali coefficienti. Ora, posto

a_j =



 a1j

...

a_nj



 , j = 1, . . . , p,

possiamo riconoscere che l’equazione di sopra e’ equivalente al sistema lineare







a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ · · · + a_1px_p = b₁ ...

a_n1x₁+ a_n2x₂+ · · · + a_npx_p = b_n

di n equazioni nelle p incognite x₁, x₂, . . . , x_p. Osserviamo che la corrispondente matrice completa 



a11 a12 · · · a1p b1

... ... ... ...

a_n1 a_n2 · · · a_np b_n





ha per colonne esattamente i vettori a₁, a₂, . . . , a_p e b :





... ... ... ...

a₁ a₂ · · · a_p b ... ... ... ...



 .

8. Definizione Diciamo che i vettori a₁, . . . , a_p ∈ Rⁿ sono linearmente indipendenti se e solo se l’uguaglianza

a₁ r1+ · · · + a_p rp = 0

e’ soddisfatta solo per r₁ = . . . = r_p = 0. In caso contrario, cioe’ se se esistono r^∗₁, . . . , r^∗_p ∈ R non tutti nulli tali che valga l’uguaglianza

a₁ r^∗₁ + · · · + a_p r_p^∗ = 0,

diciamo che i vettori a₁, . . . , a_p sono linearmente dipendenti.

Posto a_j =



 a_1j ...

a_nj



 , j = 1, . . . , p,

si ha che i vettori a₁, . . . , a_p sono linearmente indipendenti se e solo se il sistema lineare omogeneo







a11x1+ a12x2+ · · · + a1pxp = 0 ...

an1x1+ an2x2+ · · · + anpxp = 0

di n equazioni nelle p incognite x₁, x₂, . . . , x_p avente matrice dei coefficienti

£ a₁ a₂ · · · a_p ¤

=





a₁₁ a₁₂ · · · a_1p ... ... ...

a_n1 a_n2 · · · a_np





ha solo la soluzione banale x₁ = x₂ = . . . = x_p = 0.

Osserviamo che:

• se questa matrice e’ triangolare superiore non degenere, cioe’ del tipo









a₁₁ a₁₂ a₁₃ . . . . 0 a₂₂ a₂₃ . . . . 0 0 a₃₃ . . . .

0 0 . ..

... ... ...







 ,

con coefficienti diagonali a_ii non nulli, allora e’ facile riconoscere che nel caso p ≤ n i vettori a₁, . . . , a_p sono linearmente indipendenti, mentre nel caso p > n sono linearmente dipendenti.

• Se questa matrice non e’ triangolare superiore, nel caso p ≤ n puo’ succedere che i vettori a₁, . . . , a_p siano linearmente dipendenti, mentre nel caso p > n sono linearmente dipendenti (cfr. Appendice).

Noi faremo ripetutamente uso della seguente

Proposizione Siano dati dei vettori u, . . . , v ∈ Rⁿ linearmente in- dipendenti, ed un vettore w ∈ Rⁿ. Allora i vettori u, . . . , v, w sono linearmente dipendenti se e solo se il vettore w si puo’ scrivere come combinazione lineare dei vettori u, . . . , v.

Dimostrazione.

Supponiamo che il vettore w si possa scrivere come combinazione lin- eare

w = u r + · · · + v s

dei vettori u, . . . , v; allora si ha l’uguaglianza 0 = u r + · · · + v s − w

nella quale il peso di w e’ −1 6= 0, cosi’ i vettori u, . . . , v, w sono linearmente dipendenti.

Supponiamo che i vettori u, . . . , v, w siano linearmente dipendenti, cioe’

che esistano degli scalari r^∗, . . . , s^∗, t^∗ non tutti nulli tali che valga l’uguaglianza

0 = u r^∗+ · · · + v s^∗+ w t^∗.

Ora, nel caso in cui t^∗ = 0, varrebbe l’uguaglianza 0 = u r^∗+ · · · + v s^∗

con r^∗, . . . , s^∗ non tutti nulli, cioe’ i vettori u, . . . , v sarebbero linear- mente dipendenti, contro l’ipotesi.

Dunque deve essere t^∗ 6= 0, e cio’ ci permette di ricavare w come com- binazione lineare

w = −u ^r_t∗^∗ − · · · − v ^s_t^∗∗

dei vettori u, . . . , v.

Questa proposizione suggerisce un processo ideale di costruzione di insiemi in- dipendenti via via piu’ grandi, processo che puo’ essere descritto informalmente cosi’: scegliere un vettore v₁, diverso da 0; per ciascun vettore v₁ costruito al primo passo, scegliere un vettore v₂, non proporzionale a v₁ :

v₂ 6∈ {v₁α; α ∈ R};

per ciascun insieme di due vettori v₁, v₂ costruito nei primi due passi, scegliere un vettore v₃ che non sia combinazione lineare di v₁, v₂ :

v₃ 6∈ {v₁α₁+ v₂α₂; α₁, α₂ ∈ R}

....

per ciascun insieme di p vettori v₁, . . . , v_p costruito nei primi due passi, scegliere un vettore v_p+1 che non sia combinazione lineare di v₁, . . . , v_p

v_p+16∈ { Xp

j=1

v_jα_j; α_j ∈ R}

...

In Rⁿquesto processo termina al piu’ all’ennesimo passo, in quanto abbiamo visto che un insieme formato da piu’ di n vettori e’ sempre linearmente dipendente.

Cosi’ il processo termina con la costruzione di un insieme linearmente indipen- dente massimale. In realta’, tutti gli insiemi linearmente indipendenti massimali si ottengono da questo processo.

In generale, se X e’ un insieme e P una proprieta’ relativa ai sui sottinsiemi, si dice che un sottinsieme S di X e’ massimale rispetto alla proprieta’ P se e solo se:

S possiede la proprieta’ P; S non e’ contenuto propriamente in alcun sottinsieme T di X che possieda la proprieta’ P.

Posto v_j =



 v_1j ...

v_nj



 , j = 1, . . . , m,

si ha che l’insieme dei vettori v₁, . . . , v_m e’ linearmente indipendente massimale se e solo se il sistema lineare omogeneo







v₁₁x₁+ v₁₂x₂ + · · · + v_1mx_m = 0 ...

v_n1x₁+ v_n2x₂+ · · · + v_nmx_m = 0 ha solo la soluzione banale e tutti i sistemi lineari







v₁₁x₁ + v₁₂x₂+ · · · + v_1mx_m = b₁ ...

v_n1x₁+ v_n2x₂+ · · · + v_nmx_m = b_m

hanno soluzione. Cio’ e’ possibile solo per m = n (cfr. Appendice). Abbiamo cosi’ trovato che

in Rⁿ, tutti gli insiemi linearmente indipendenti massimali sono for- mati da n vettori.

Questo e’ il significato profondo della frase lo spazio vettoriale Rⁿ ha dimensione n.

Sappiamo che, se S e’ un insieme linearmente indipendente massimale in Rⁿ, allora ogni vettore di Rⁿsi puo’ scrivere come combinazione lineare dei vettori di S, in realta’ possiamo dire qualcosa di piu’:

Proposizione. Se l’insieme dei vettori v₁, . . . , v_n e’ linearmente in- dipendente massimale, allora ogni vettore v di Rⁿ si puo’ scrivere in uno ed un solo modo come combinazione lineare

v₁r1+ v₂r2+ · · · + v_nrn= v dei vettori v₁, . . . , v_n.

dimostrazione. Dobbiamo mostrare solo l’unicita’ della scrittura.

Consideriamo due scritture v₁r₁ + v₂r₂+ · · · + v_nr_n = v v₁s₁+ v₂s₂+ · · · + v_ns_n = v

di uno stesso vettore v come combinazione lineare dei vettori v₁, . . . , v_n. Sottraendo membro a membro, otteniamo l’uguaglianza

v₁(r₁− s₁) + v₂(r₂− s₂) + · · · + v_n(r_n− s_n) = 0

la quale, essendo i vettori v₁, . . . , v_n linearmente indipendenti, e’ sod- disfatta solo per r₁− s₁ = r₂ − s₂ = · · · = r_n− s_n = 0, cioe’ solo per r1 = s1, r2 = s2, . . . rn = sn.

Un insieme linearmente indipendente massimale in Rⁿ viene detto base di Rⁿ; i coefficienti della rappresentazione di un vettore come combinazione lineare dei vettori di una base vengono detti coordinate del vettore rispetto alla base.

Posto v_j =



 v_1j ...

v_nj



 , j = 1, . . . , n; A =£

v₁ v₂ · · · v_n ¤

si ha che l’insieme dei vettori v₁, . . . , v_n e’ una base di Rⁿ se e solo se tutti i sistemi lineari

Ax = b

sono determinati, cioe’ se e solo se la matrice A e’ non singolare.

In tal caso, le coordinate del vettore b rispetto alla base sono date dal vettore x = A⁻¹b

Appendice: Alcuni concetti e risultati sui sistemi lineari 1. Sia data una matrice quadrata

A =







a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ... ...

a_n1 a_n2 . . . a_nn





.

Se tutti i sistemi lineari











a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ · · · + a_1nx_n= b₁ a21x1+ a22x2+ · · · + a2nxn= b2

...

a_m1x₁+ a_m2x₂ + · · · + a_mnx_n= b_m ,

che ammettono A come matrice dei coefficienti sono determinati, allora diciamo che A e’ una matrice non singolare.

Teorema 1 Per una matrice quadrata A le seguenti condizioni sono equivalenti.

• A e’ non singolare;

• il sistema lineare omogeneo Ax = 0 ha solo la soluzione banale x = 0;

• A e’ equivalente per righe ad una matrice triangolare superiore non degenere;

• A possiede matrice inversa A⁻¹;

• DetA 6= 0.

Teorema 2 Sia

A =





a₁₁ . . . a_1n

... ...

a_m1 . . . a_mn





una matrice di tipo m × n.

• Se m < n, allora il sistema lineare omogeneo







a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ · · · + a_1nx_n= 0 ...

am1x1+ am2x2+ · · · + amnxn = 0 e’ indeterminato.

• Se m > n, allora esistono dei numeri reali b1, . . . , bm tali che il sistema

lineare 









a₁₁x₁+ · · · + a_1nx_n= b₁ a₂₁x₁+ · · · + a_2nx_n= b₂ ...

a_m1x₁+ · · · + a_mnx_n= b_m sia impossibile.

• Se tutti i sistemi lineari che ammettono A come matrice dei coefficienti sono determinati, allora m = n, cioe’ A deve essere quadrata.