Vettore applicato in un punto.
Si determinino le coordinate cilindriche del vettore ~v ≡ (55.1, 9.05, 9.41) applicato nel punto P ≡ (1, 1, 1).
Figure 1:
Soluzione
Le coordinate cilindriche sono definite dal versore z e dai versori polari sul piano (x, y).
Date le coordinate cartesiane, si ottengono quelle cilindriche come segue:
ρ =p
x2+ y2 tan φ = sign(y) ·xy z = z
(1)
1
dove la funzione sign(y) vale +1 se y > 0 e −1 se y < 0. Tale funzione serve a rompere la degenerazione dovuta alla tangente e definisce l’angolo φ nell’intervallo (−π, π).
Scriviamo anche la relazione fra i versori:
ˆ
eρ= √ x
x2+y2eˆx+ √ y
x2+y2eˆy ˆ
eφ= −√ y
x2+y2eˆx+√ x
x2+y2eˆy
ˆ ez= ˆez
(2)
Per trovare le componenti del vettore ~v nel nuovo sistema di riferimento conviene utilizzare il prodotto scalare. Ad esempio, per la coordinata radiale ρ:
vρ = ~v · ˆeρ= vxeˆx· ˆeρ+ vyˆey· ˆeρ
= 55.1√
2 +9.05√
2 = 45.4 (3)
In modo analogo si trova la coordinata φ:
vφ= −55.1
√2 +9.05
√2 = −32.7 (4)
La coordinata z rimane invariata.
Provate a ripetere l’esercizio utilizzando coordinate sferiche.
2
