Richiami di Algebra Matriciale

(1)

Statistica per l’economia e l’impresa

Richiami di Algebra

Matriciale

(2)

2

RICHIAMI ELEMENTARI DI ALGEBRA MATRICIALE

MATRICE → INSIEME ORDINATO DI

NUMERI DISPOSTI IN

RIGHE E COLONNE

ELEMENTO GENERICO i = 1, 2, …, M (righe);

j = 1,2, …, N (colonne).

MATRICE RETTANGOLARE DI DIMENSIONE M*N

SCALARE

VETTORE COLONNA VETTORE RIGA

11 12 1

21 22 2

1 2

...

.

. .

.

. .

.

. .

N N

MN

M M

a a a

a

a a

A=

j 

i 

a

ij

A

MN

 A

11



1

A

M



A

1N



(3)

3

SE M=N È UNA MATRICE QUADRATA:

LA TRACCIA DI UNA MATRICE QUADRATA È DATA DALLA SOMMA DEGLI ELEMENTI DIAGONALI.

LA MATRICE DIAGONALE È UNA MATRICE QUADRATA FORMATA DA TUTTI ZERI AD ECCEZIONE DEI VALORI SULLA DIAGONALE PRINCIPALE:

A

M

11 1

1

...

. .

...

M

M MM

a a

A

a a



11

22

0... 0

0 ... 0

. . .

.

. .

.

. .

0 0

_MM

a

(4)

LA MATRICE IDENTITÀ È UNA MATRICE DIAGONALE CON ELEMENTI DIAGONALI UNITARI:

OPERAZIONI CON LE MATRICI UGUAGLIANZA SE SOMMA È DEFINITA SE A, B

SONO DELLO STESSO ORDINE E

1 0... 0

0 1... 0

. . .

0 0 1

A B  a

_ij

 b

_ij

 i j ,

A B C  

,

 i j

ij ij ij

a  b  c

11 12 1

21 22 2

1 2

...

. . .

M M

M M MM

a a a

+

=

11 12 1

21 22 2

1 2

...

. . .

M M

M M MM

b b b

(5)

5

11 11 11 12 12 12 1 1 1

21 21 21 22 22 22 2 2 2

1 1 1 2 2 2

...

. . .

M M M

M M M M M M MM MM MM

c a b c a b c a b

     

=

ESEMPIO

PRODOTTO SCALARE

SE K È UNO SCALARE, ALLORA ESEMPIO

5 0 1 3 4 5 1 3 0 3 2 4 3 5 5 3 2 1 5 4

    

 

    

11 1

1

...

. .

...

N

MN M

a a

11 1

1

...

. .

...

N

MN M

Ka Ka

=

MN ij

K A  Ka

K

(6)

PRODOTTO TRA MATRICI CON ELEMENTO

ESEMPIO:

ESEMPIO NUMERICO:

A

MN

B

_NP

1 N

ij ik kj

K

c a b



 

(3*2) (2*2)

           

1 2 3 7 10

* 8 11 4 5 6

9 12

1* 7 2 8 39 110 2 11 312 4 7 58 6 9 4 10 511 6*12



   

    

(2*3) (3*2)

(3*2)

(2*2)

ATTENZION E

MN NP

C

MP

 A B

AB  B A

11 12

21 22

31 32

11 11 11 12 21 12 11 12 12 22

21 21 11 22 21 22 21 12 22 22

31 31 11 32 21 32 31 12 32 22

*

a a

b b

a a

b b

a a

c a b a b c a b a b



   

    

   

(7)

7

TRASPOSIZIONE

LA TRASPOSTA DELLA MATRICE È

ESEMPIO

TEOREMI

A

MN

A

^'_MN

11 12 1

1 2

...

. . .

...

N

M M MN

a a a

A

a a a



11 21 1

12 22 2

'

1 2

...

. . .

...

M M

N N MN

a a a

A

a a a



2 5

3 6

4 7

A  ^'

2 3 4

5 6 7 A 

  ^A

^' ^'

^ ^A

 ^{A B} ^ 

^'

^ ^A

^'

^ ^B

^'

(AB)’=B’A’

(8)

MATRICE SIMMETRICA

SE È UNA MATRICE QUADRATA ED

ALLORA È UNA MATRICE SIMMETRICA.

FORME QUADRATICHE

SE È UNA MATRICE QUADRATA DI ORDINE M*M, È UN VETTORE DI ORDINE M*1, IL PRODOTTO

PRENDE IL NOME DI FORMA QUADRATICA.

ESEMPIO:

A

A A 

'

A

A _X

X AX

'

1 2

X X

 X

¹¹ ¹²

21 22

a a A  a a

' 11 12 1

1 2

21 22 2

a a X X AX X X

a a X

 

11 1 12 2

1 2

21 1 22 2

a X a X X X

a X a X

  



(9)

9

2 2

11 1 12 1 2 21 1 2 22 2

2 2

11 1

2

12 1 2 22 2

a X a X X a X X a X

a X a X X a X

    

  

Se per ogni X diverso da 0

→ È DEFINITA POSITIVA

→ È SEMIDEFINITA POSITIVA

Scambiando il segno delle disuguaglianze si ottiene A DEFINITA NEGATIVA e A

SEMIDEFINITA NEGATIVA DETERMINANTE

AD OGNI MATRICE QUADRATA SI ASSOCIA UNO SCALARE DETTO DETERMINANTE, INDICATO GENERICAMENTE

SE LA MATRICE È SINGOLARE SE LA MATRICE È NON SINGOLARE

CALCOLO DEL DETERMINANTE

IN UNA MATRICE QUADRATA SI DEFINISCE MINORE IL DETERMINANTE DELLA MATRICE DA CUI È STATA TOLTA LA i-esima RIGA E LA j- esima COLONNA.

SE SI MOLTIPLICA PER SI DEFINISCE IL COFATTORE .

A A

det A

det A  0 A

det A  0 A

A

 

^¹ ^{i j}^

A

ij

*

a

ij

*

a

ij

0 ' AX  X

0 ' AX 

X

(10)

IL DETERMINANTE DI SI OTTIENE COME SEGUE:

SE È 2*2, CIOÈ:

SE LA MATRICE È 3*3, CIOÈ:

MA

A

11 11 12 12 1 1

det A a A   a A   ... a A

_M _M

A

11 12 21 22

a a A  a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a



11 11 12 12 13 13

det A a A   a A  a A

   

11 11 12 12 11 22 12 21

11 22 12 21

det A a A a A a a a a a a a a

    

 

22 23

*

11 22 33 32 23

32 33

21 23

*

12 21 33 31 23

31 33

21 22

*

13 21 32 31 22

31 32

det det det

a a

a a a a a

a a a a

a a a a a

a a a a

a a a a a

a a

 

    

 

 

    

 

 

    

 

(11)

11

   

 

11 22 33 32 23 12 21 33 31 23

13 21 32 31 22

11 22 33 11 32 23 12 21 33 12 31 23 13 21 32 13 31 22

det A a a a a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a

     

  

   

  

TEOREMI

SE DUE RIGHE/COLONNE DI SONO UGUALI ALLORA ;

SE SI SCAMBIANO DUE RIGHE/COLONNE IN CAMBIA IL SEGNO DEL ;

SE OGNI ELEMENTO IN È MOLTIPLICATO PER UNO SCALARE, È ANCH’ESSO MOLTIPLICATO PER TALE SCALARE;

det A  det A

'

   

det AB  det A det B det A  0 A

det A A A

det A

(12)

INVERSIONE DI UNA MATRICE

L’INVERSA DI UNA MATRICE QUADRATA È UNA MATRICE CHE PRE O POST MOLTIPLICATA PER PRODUCE LA MATRICE IDENTITÀ, CIOÈ:

IN ALTRI TERMINI, È L’INVERSA DI SE E SOLO SE:

E

CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE PERCHÈ POSSEGGA L’INVERSA È CHE ,CIOÈ SE È NON SINGOLARE.

PER OTTENERE BISOGNA DEFINIRE LA MATRICE AGGIUNTA DI (INDICATA CON ) CHE È LA TRASPOSTA DELLA MATRICE DEI COFATTORI, CIOÈ:

1

A

^

A

1 1

AA

^

 A A I

^



B A

B  A

^1

B A AB I  

A

det A  0 A

A

^1

adj A A

11 12 1 11 21 1

21 22 2 12 22 2

1 2 1 2

... ...

. . . .

... ...

M M

M M MM M M MM

A A A A A A

adj A

A A A A A A

 

'

(13)

13

L’INVERSA DI SI OTTIENE DA:

ESEMPIO:

QUINDI:

A

1

1 A det adj A A





11 12

21 22

a a

A  a a

¹¹ ¹²

21 22

A A adj A

A A



11 22

12 21

21 12

22 11

A a



 



22 21 22 12

12 11 21 11

a a a a

adj A

a a a a

 

 

 

'

1 22 12

21 11 11 22 21 12

1 a a

A a a a a a a



  

(14)

ESEMPIO NUMERICO

DERIVAZIONE IN FORMA MATRICIALE

SE È UNO SCALARE ED È UN VETTORE COLONNA

LA DERIVATA PRIMA DI y RISPETTO AD OGNI ELEMENTO DI È DEFINITA DA:

1 2 A  3 4

11 12 21 22

4 3 2 1 A

A A A



 



4 3 4 2

2 1 3 1

adj A  

 

 

1

1 4 2 4 2 2 1

3 1 0,5 3 1 1,5 0,5

A

^

4 6   

   

   





₁

^{, ,...,}

₂ _M



y  f x x x X

1

2

. . .

M

x x X

x

 

 

  

 

 

X

(15)

15

1

2

. . .

M

y x

y y x

X

y x



 



 

 

  

 

 

VALGONO POI LE SEGUENTI REGOLE DI DERIVAZIONE

-SE È UN VETTORE COLONNA DI M COMPONENTI COSTANTI

-SE È UNA MATRICE SIMMETRICA DI ORDINE M*M CON ELEMENTO TIPICO COSTANTE

a a

_i

  ^{a X}

^'

_a

X



 ^

A

a

ij

 ^{X AX}

^'

 ₂ _AX

X



 ^

(16)

- SE E SONO MATRICI SIMMETRICHE DI ORDINE M*M CON ELEMENTI GENERICI COSTANTI

A B

      ^ ^

 

'

' '

'

' 2

2 2

X AX

AX X B X X AX B X X B X

X X B X



 

  

  

(17)

17

Prodotto di Kronecker

Sia A una matrice Rettangolare di ordine m x n e sia B una matrice di ordine QUALSIASI p x q.