Esercizi di Algebra Lineare Operazioni su matrici

Esercizi di Algebra Lineare Operazioni su matrici

Anna M. Bigatti 26 novembre 2012

Matrici r × c

In generale indichiamo con Matr,c(K) l’insieme delle matrici r ×c cio`e delle tabelle con r righe e c colonne a entrate in K . In particolare, per le particolari propriet`a delle matrici quadrate, l’insieme delle matrici quadrate di ordine n viene denotato Matn(K) .

Definizione 1. Date A e B matrici in Matr,c(K) la somma C = A + B `e la matrice in Matr,c(K) ottenuta sommando le entrate “termine a termine”, cio`e l’elemento in posizione (i, j) di C `e la somma degli elementi in posizione (i, j) di A e di B :

c_ij := a_ij+ b_ij

Date le matrici A ∈ Mat_rA,cA(K) e B ∈ Mat_rB,cB(K) , con c_A= r_B, il prodotto C = A · B

`e la matrice in Mat<sub>rA,cB</sub>(K) ottenuta moltiplicando le “righe di A per le colonne di B ”, cio`e l’elemento in posizione (i, j) di C `e la somma dei prodotti termine a termine della i -ma riga di A per la j -ma colonna di B :

c_ij := a_i1b_1j+ . . . + a_icAb_cAj =

cA

X

k=1

a_ikb_kj

Esercizio 2. Siano A ∈ Mat₂(K) , B ∈ Mat_2,3(K) , C ∈ Mat_3,2(K) . Quali delle seguenti operazioni sono ammesse e di che tipo `e il risultato?

(a) A + A , B + B , C + C , A + B , B + A , A + C , C + A , B + C , C + A . (b) A · A , B · B , C · C , A · B , B · A , A · C , C · A , B · C , C · A .

Esercizio 3. Siano A ∈ M atr,c(R) e B ∈ M at^c,r(R) . Alle seguenti domande, se la risposta `e SI dare una dimostrazione, se `e NO fornire esempi.

(a) `E vero che se A ha una riga nulla allora A · B ha una riga nulla?

(b) `E vero che se A ha una riga nulla allora B · A ha una riga nulla?

(c) `E vero che se A ha una colonna nulla allora A · B ha una colonna nulla?

(d) `E vero che se A ha una colonna nulla allora B · A ha una colonna nulla?

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Matrici n × n

Teorema 4. Sia A ∈ Mat_n(K) . Se esiste B ∈ Mat_n(K) tale che A · B = I_n allora anche B · A = I_n (quindi B `e l’inversa di A )

NB: Questo teorema sembra banale, ma non lo `e (e non lo dimostriamo adesso).

Proposizione 5. Siano A, B ∈ Matn(K) .

(a) Se A e B sono invertibili allora A · B `e invertibile (e la sua inversa `e B⁻¹· A⁻¹).

(b) Se A · B `e invertibile allora A e B sono invertibili.

Dimostrazione. (a) A · B · (B⁻¹· A⁻¹) = A · (B · B⁻¹) · A⁻¹= A · I · A⁻¹= A · A⁻¹= In

(b) Se A · B `e invertibile allora esiste C ∈ Mat<sub>n</sub>(K) tale che (A · B) · C = C · (A · B) = I . Allora abbiamo che A · (B · C) = I e quindi (B · C) `e l’inversa di A .

Analogamente abbiamo che (C · A) · B = I e quindi (C · A) `e l’inversa di B .

u t Esercizio 6. Sia A ∈ Matn(R) e sia I la matrice identica.

(a) Dimostrare che se A²= 0 allora I + A e I − A sono una l’inversa dell’altra.

(b) `E vero che se esiste un numero naturale k tale che A<sup>2k</sup>= 0 allora I + A<sup>k</sup> `e invertibile?

Esercizio 7. Sia A una matrice in Matn(R) . Dimostrare o confutare le seguenti affermazioni

(a) Se A² `e invertibile allora A `e invertibile.

(b) Se A − I `e invertibile allora A + I `e invertibile.

(c) Se A²− I `e invertibile allora A + I `e invertibile.

Esercizio 8. Sia A una matrice in Matn(R) .

Confutare con un esempio o dimostrare le seguenti affermazioni (a) Se A³ `e invertibile allora A `e invertibile.

(b) Se A non `e invertibile allora A<sup>2</sup> non `e invertibile.

(c) Se A² `e la matrice nulla allora A `e la matrice nulla.

Esercizio 9. Siano A , B due matrici in Mat_n(R) .

Confutare con un esempio o dimostrare le seguenti affermazioni (a) Se A , B sono invertibili, allora A + B `e invertibile.

(b) Se A , B sono invertibili, allora (AB)⁻¹= A⁻¹B⁻¹. (c) AB − BA `e la matrice nulla.

Esercizio 10. Sia A una matrice in Matn(R) . Dimostrare o confutare le seguenti affermazioni

(a) Se A `e invertibile allora A<sup>−1</sup> `e invertibile.

(b) Se A `e invertibile allora A − I `e invertibile.

(c) Se A `e invertibile allora A<sup>2</sup>− A `e invertibile.

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Matrici particolari

Definizione 11. Una matrice quadrata A = (a_ij) ∈ Mat_n(K) si dice

• diagonale se tutti gli elementi non nulli si trovano si trovano sulla diagonale. In formula a_ij = 0 per ogni i 6= j .

• triangolare inferiore se tutti gli elementi non nulli si trovano si trovano “sotto” la diagonale. In formula aij = 0 per ogni i < j .

• triangolare superiore se tutti gli elementi non nulli si trovano si trovano “sopra” la diagonale. In formula aij = 0 per ogni i > j .

Esercizio 12. Siano A, B ∈ Matn(K) .

(a) Se A e B sono diagonali allora A · B `e diagonale.

(b) Se A e B sono diagonali allora A · B = B · A .

(c) Se A e B sono triangolari superiori allora A · B `e triangolare superiore.

(d) Se A e B sono triangolari inferiori allora A · B `e triangolare inferiore.

Definizione 13. Data una matrice A = (a_ij) ∈ Mat_r,c(K) la trasposta di A `e la matrice B = (b_ij) ∈ Mat_c,r(K) definita da b_ij := a_ji.

Esercizio 14. Dimostrare o confutare.

(a) Per ogni A ∈ Matr,c(K) `e possibile calcolare A · A^tr.

(b) Per ogni A ∈ Matr,c(K) `e possibile calcolare A<sup>tr</sup>· A ed `e uguale a A · A^tr. (c) Per ogni A ∈ Matr,c(K) `e possibile calcolare A · A .

Proposizione 15. Date le matrici A ∈ Matr_A,c_A(K) e B ∈ Matr_B,c_B(K) , con cB = rA, si pu`o calcolare A<sup>tr</sup>· B<sup>tr</sup> e il prodotto `e (B · A)^tr.

Esercizio 16. Alle seguenti domande, se la risposta `e NO dare una motivazione, se `e SI’ fornire esempi.

(a) `E possibile che A<sup>tr</sup>A coincida con A<sup>2</sup>? (b) `E possibile che A³ coincida con A²?

(c) `E possibile che A sia non nulla, ma A³= 0 ?

Proposizione 17. Sia data A ∈ Matn(K) . Se A `e invertibile anche A<sup>tr</sup> `e invertibile e la sua inversa `e la trasposta dell’inversa di A , cio`e (A^tr)⁻¹= (A⁻¹)^tr.

Definizione 18. Sia A ∈ Matr,c(K) . A `e simmetrica se A = A<sup>tr</sup>, cio`e aij = aji per ogni i, j (simmetrica rispetto alla diagonale).

Esercizio 19. Data A ∈ Matr,c(K) la matrice A · A^tr `e simmetrica.

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