Variabili casuali ad n dimensioni a.a. 2012/2013
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Variabili casuali ad n dimensioni
Testi degli esercizi
Esercizio 1. Data la seguente tabella a doppia entrata si chiede di calcolare media e matrice di covarianza della variabile casuale doppia corrispondente.
Esercizio 2. Date le variabili casuali X1, distribuita normalmente con media 5 e varianza 0.12 e X2, distribuita normalmente con varianza 0.82 e tale che P[X ≤ 4] = 78.52%; definita inoltre la variabile casuale Y = 2X + 3X (anch’essa distribuita normalmente perché
X
Y 3 4 5
1 0 8 0
2 11 6 9
3 0 4 12
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inoltre la variabile casuale Y = 2X1 + 3X2 (anch’essa distribuita normalmente perché combinazione lineare di funzioni normali): trovare la probabilità di ottenere 26<Y<28.
Si consideri σ12= - 0.075.
Esercizio 3. Siano X1 e X2 due variabili INDIPENDENTI distribuite normalmente, rispettivamente con media e varianza pari a 4.0 e 0.20 per X1 e 2.0 e 0.30 per X2.
Considerando la variabile casuale a due dimensioni:
−
= +
=
2 1
2 1
2 1
2 3
X X
X X
Y Y Y
Si determini la stima della media e della matrice di covarianza di Y.
Esercizio 4. Per assemblare un prodotto destinato alla commercializzazione, un albero deve essere montato in un mozzo.
Si sono esaminati i pezzi acquistati e si sono osservati media e varianze per l’albero e il mozzo. Ipotizzando che le distribuzioni siano normali, determinate la probabilità di assemblare il prodotto senza che vi sia interferenza fra i pezzi.
Albero µA = 51 mm Mozzo µM = 53 mm
σA= 3 mm σM= 4 mm
Esercizio 5. Una macchina riempie dei contenitori attraverso tre diverse linee corrispondenti ad altrettanti ingredienti A, B e C. La quantità di prodotto erogata da ciascuna linea si può
A B C
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ragionevolmente pensare distribuita secondo una distribuzione normale. Si ha che la media e la deviazione standard delle quantità erogate sono rispettivamente:
Prodotto A Media = 0.242 kg Dev. Standard = 0.005 kg Prodotto B Media = 0.182 kg Dev. Standard = 0.005 kg Prodotto C Media = 0.073 kg Dev. Standard = 0.002 kg
Miscelatore
Prodotto finito
Se la specifica di produzione richiede che i contenitori abbiano una quantità di prodotto compresa fra 0.485 e 0.515 kg, qual è la percentuale di pezzi conformi.
Esercizio 6. Sia Y una variabile casuale definita nel seguente modo:
Y = 3X1 + X2 – X3
dove le variabili casuali Xi sono indipendenti e distribuite normalmente con:
µ1 = 5 µ2= 16 µ3 = 8
σ1= 0.1 σ2= 2.4 σ3= 1.7
Qual è la probabilità che Y sia compresa fra 20.7 e 24.9?
