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Prova scritta di Analisi Matematica I 9 CFU - C.d.L. Civile Anno accademico 2006-2007 - gennaio08

1. Enunciare il teorema di Weierstrass (sugli estremi delle funzioni continue) 2. Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy

y 00 + y = sin(x) y(0) = 0, y 0 (0) = 1 3. Data la funzione definita da

f (x) = ln  1

2 + cos(x)



(a) Dire se f ` e pari, dispari, periodica

(b) Determinare l’insieme di definizione e gli eventuali asintoti orizontali e verticali

(c) Determinare un insieme su cui la funzione sia invertibile e l’insieme di definizione della funzione inversa

(d) Facoltativo. Verificare che f ` e invertibile in un intorno di x 0 = π/3 e determinare la derivata in x 0 = 0 della funzione inversa

(e) Sia A(t) l’area della parte di piano compresa fra il grafico della funzione, l’asse y, l’asse x e la retta x = t. Disegnare il grafico della funzione definita da t 7→ A(t) per t ∈ [−π/2, π/2] e calcolare

lim

x→0

±

A(t) t

(f) Determinare la parte principale per t → π/3 di A(t)

(g) Facoltativo. Dopo aver calcolato la parte principale per x → 2π/3 di 1/2 + cos(x), stabilire usando il confronto asintotico se l’area della parte di piano compresa fra il grafico di f , l’asse y, l’asse x e la retta x = 2π/3

` e finita

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