3 Il teorema di Stone-Weierstrass

(1)

Propriet` a degli spazi di funzioni continue

Denis Nardin February 26, 2009

Questa vuole essere una breve rassegna delle principali proprietà delle funzioni continue tra spazi topologici. Il primo paragrafo sarà dedicato allo studio della struttura di spazio topologico che viene solitamente data alle funzioni continue, quella della topologia dei compatti aperti. Il secondo paragrafo carat- terizzerà in alcuni casi particolarmente importanti i sottospazi compatti degli spazi di funzioni continue, in particolare usando il teorema di Ascoli Arzelà. Il terzo paragrafo infine sarà dedicato alla dimostrazione del celebre teorema di Stone Weierstrass, teorema di grande uso e che purtroppo è spesso trascurato dai corsi introduttivi.

1 Una topologia su C

⁰

(X, Y )

Siano X, Y spazi topologici. Consideriamo i sottoinsiemi di C⁰(X, Y ) definiti da

V (K, A) = {f ∈ C⁰(X, Y ) | f (K) ⊆ A}

per tutti i sottoinsiemi compatti K di X e i sottoinsiemi A aperti di Y . Consideriamo ora la famiglia F delle topologie di C⁰(X, Y ) che contengono tutti i V (K, A) per K compatto e A aperto. F `e non vuota, perch`e contiene almeno la topologia discreta. Sia

τ = \

ν∈F

ν

Questa, come si può facilmente verificare, è una topologia su C⁰(X, Y ). Anzi è la più piccola topologia (rispetto all’ordine parziale di inclusione) che contiene tutti i V (K, A) come aperti (topologia generata dai V (K, A)). Viene chiamata topologia dei compatti aperti sullo spazio di funzioni C⁰(X, Y ) ed è, in un certo senso, l’estensione naturale delle topologie di X e Y a C⁰(X, Y ).

Osservazioni Una famiglia di aperti {Ai}i∈I tale che la più piccola topologia che la contiene è la topologia dello spazio è detta sottobase per quella topologia. Questo è un concetto analogo a quello di base, ma più debole, e per alcuni punti di vista più versatile. È facile dimostrare che se {Ai}_i∈I è una sottobase, la famiglia

B = {A_i₁∩ · · · ∩ A_i_n| i₁, . . . , in∈ I}

delle intersezioni finite degli Ai, `e una base.

(2)

La cosa carina delle sottobasi è che sono sufficienti per verificare la continuità di una funzione. In particolare, se {Ai}_i∈Iè una sottobase per uno spazio topologico Y e f : X → Y

è un’applicazione tra spazi topologici, allora f è continua se e solo se f⁻¹(Ai) è aperto per ogni i ∈ I. Questo si può vedere facilmente, in quanto se Ai₁∩ · · · ∩ Ai_n è un aperto della base generata dalla sottobase, vale

f⁻¹(Ai₁∩ · · · ∩ Ai_n) = f⁻¹(Ai₁) ∩ · · · ∩ f⁻¹(Ai_n) e quindi `e aperto, perch`e intersezione finita di aperti.

Cerchiamo ora di trovare dei casi concreti “facili” della topologia dei compatti aperti, in modo da capire un po’ meglio cosa sia.

Proposizione 1.1 Sia Y uno spazio topologico e X = {0, . . . , n − 1} uno spazio discreto con n elementi. Allora C⁰(X, Y ) `e omeomorfo a Yⁿ.

Dim:

Osserviamo per cominciare che, poich`e X `e uno spazio discreto, tutte le funzioni da X a Y sono continue. Consideriamo ora l’ovvia biiezione ϕ : C⁰(X, Y ) → Yⁿ definita da

ϕ(f ) = (f (0), . . . , f (n)) e facciamo vedere che `e un omeomorfismo.

• ϕ è continua Sia Ω = A₀× · · · × An−1 un aperto di base per Yⁿ, dove A1, . . . , Ansono aperti di Y . Allora la controimmagine ϕ⁻¹(Ω) è costituita da quelle f tali che f (i) ∈ Ai per ogni i = 0, . . . , n − 1. Cioè

ϕ⁻¹(Ω) = V ({0}, A0) ∩ · · · ∩ V ({n − 1}, An−1)

e quindi poich`e {0}, . . . , {n − 1} sono compatti, abbiamo che ϕ(Ω) `e un aperto.

• ϕ⁻¹`e continua Per l’osservazione `e sufficiente verificarlo sulla sottobase dei V (K, A). Fissiamo quindi K compatto in X e A aperto in Y . Ma i compatti di uno spazio discreto sono esattamente gli insiemi finiti di punti. Infatti sia K un compatto in X. Allora la famiglia {{x} | x ∈ K}

`

e un ricoprimento aperto che non ammette sottoricoprimenti, e quindi deve essere finito. Senza perdita di generalit`a sia K = {0, . . . , k}. Allora V (K, A) `e costituito da tutte le f continue tali che f (0), . . . , f (k) ∈ A.

Ma allora ϕV (K, A) `e dato dalle n-uple (x0, . . . , xn−1) tali che xi∈ A per ogni i = 0, . . . , k. Cio`e

ϕV (K, A) = A₀× · · · × An−1

dove A_i= A per i = 0, . . . , k e A_i= Y per i = k + 1, . . . , n − 1. Ma questo

`

e un aperto e questo conclude la dimostrazione.

Proposizione 1.2 Sia K uno spazio topologico compatto e Y uno spazio metrico. Allora la topologia dei compatti aperti `e metrizzabile, con metrica

d(f, g) = max

x∈Kd(f (x), g(x))

(3)

(in questo caso la topologia dei compatti aperti viene detta topologia della convergenza uniforme).

Dim:

E chiaro dalla definizione che d `` e una metrica su C⁰(K, Y ). Sia µ la topologia dei compatti aperti e τ la topologia indotta da d.

• τ ⊇ µ Osserviamo che, poichè i V (K1, A₁) formano una sottobase, è sufficiente far vedere che V (K1, A1) è aperto per la metrica. Sia quindi V (K1, A1) e f un punto di esso. Per ogni x ∈ K1ora, f (x) ∈ A1e perciò, poichè A1è aperto, esiste un rxtale che B(f (x), rx) ⊆ A1. Inoltre, poichè f è continua per ogni x esiste un Uxintorno aperto di x tale che per ogni y ∈ Ux

d(f (x), f (y)) < rx/2

Allora {Ux}x∈K `e un ricoprimento aperto di K. Estraiamone un sottoricoprimento finito Ux1, . . . , Uxn. e poniamo

r = 1

2min(r_x₁, . . . , r_x_n)

Allora B(f, r) ⊆ V (K₁, A₁). Infatti, se g `e una funzione tale che per ogni x ∈ K si ha che d(f (x), g(x)) < r, abbiamo che per ogni x ∈ K₁, esiste un U_x_i che lo contiene. Allora

e perci`o per ogni x ∈ K1 abbiamo che g(x) ∈ B(f (xi), rx_i) ⊆ A1, cio`e g(K1) ⊆ A1.

• µ ⊇ τ Per far vedere questo, `e sufficiente mostrare che per ogni f e per ogni r > 0, abbiamo che esiste un intorno aperto A di f nella topologia µ contenuto nella palla B(f, r). Ora, per ogni x ∈ K, consideriamo U_x = f⁻¹B(f (x), r/3). Come al solito gli U_x formano un ricoprimento aperto, da cui possiamo estrarne un sottoricoprimento finito U_x₁, . . . , U_x_n. Consideriamo ora per ogni i = 1, . . . n

K_i= f⁻¹B(f (x_i), r/3)

Osserviamo che per ogni i Ki ⊇ Ux_i e di conseguenza formano ancora un ricoprimento finito di K. Inoltre essendo chiusi e sottospazi di un compatto sono compatti. Definiamo ora

Ai= B(f (xi), r/2) Sia quindi

Ω =

n

\

i=1

V (Ki, Ai)

(4)

aperto di µ. Vogliamo far vedere che f ∈ Ω e che Ω ⊆ B(f, r). Che f ∈ Ω

`

e ovvio, infatti per ogni i

∀x ∈ Ki |f (x) − f (xi)| ≤ r/3 < r/2 Cio`e f (K_i) ⊆ A_i, che implica f ∈ V (K_i, A_i).

Sia ora g ∈ Ω. Per ogni x ∈ K esiste un K_i3 x. Allora

Osservazioni La proposizione precedente non è l’unico caso in cui C⁰(X, Y ) è metrizzabile. Infatti prendiamo Y metrico e supponiamo che in X esista una successione esaustiva di compatti, cioè una successione {Kn} di compatti tali che Kn⊆ ˚Kn+1e cheS Kn= X.

Allora C⁰(X, Y ) `e metrizzabile. Infatti se si pone per ogni n dn(f, g) = maxx∈Knd(f, g) possiamo definire la seguente distanza

d(f, g) =X

n≥0

2⁻ⁿ dn(f, g) 1 + dn(f, g)

Lasciamo per esercizio al lettore la dimostrazione che tale distanza induce effettivamente la topologia dei compatti aperti.

2 Criteri di compattezza

Ora che abbiamo una topologia sullo spazio delle funzioni continue, possiamo cominciare a studiarla da un punto di vista, per cos`ı dire, “geometrico”. In particolare `e interessante e spesso utile descrivere i sottospazi compatti. Questo

è reso possibile per una vasta classe di spazi, grazie al teorema di Ascoli-Arzelà di cui qui riporteremo una versione molto generale, sebbene non la più generale possibile. Per poter enunciare il teorema abbiamo però bisogno delle definizioni di alcune proprietà di sottospazi di C⁰(X, Y )

♠Definizione 2.1 Sia Y uno spazio metrico. Un sottoinsieme F di C⁰(X, Y ) si dice equicontinuo¹ se per ogni x ∈ X e ogni ε > 0, esiste un intorno U di x tale che

∀f ∈ F d(f (x), f (y)) < ε

♠Definizione 2.2 Un sottoinsieme F di C⁰(X, Y ) si dice puntualmente relativamente compatto se per ogni x ∈ X l’insieme

F (x) := {f (x) | f ∈ F }

`e relativamente compatto in Y .

1Questa non è la più generale definizione di equicontinuità, che è definibile anche se Y non

è metrizzabile. Poichè però tale definizione è estremamente tecnica e molto poco intuitiva, e per di più non serve per la versione che dimostreremo di Ascoli-Arzelà, la ometteremo

(5)

A questo punto possiamo finalmente classificare tutti i sottospazi compatti di C⁰(X, Y ) se X è compatto e Y è metrizzabile. Questa classificazione è impor- tante, perchè tutte le verifiche da fare sono, per cos`ı dire, locali. Le condizioni che imporremo infatti, riguardano il comportamento delle funzioni della famiglia in un intorno di ogni punto. Questo semplifica enormemente l’applicabilità di questo criterio.

♣Teorema 2.1 (Ascoli-Arzelà) Sia K uno spazio topologico compatto e sia Y uno spazio metrico. Consideriamo C⁰(K, Y ) con la topologia dei compatti aperti. Allora un sottospazio F di C⁰(K, Y ) è compatto se e solo se è chiuso, equicontinuo e puntualmente relativamente compatto.

Dim:

Osserviamo per cominciare che poichè K è compatto e Y è metrico, C⁰(K, Y ) è metrizzabile e completo come spazio metrico. (⇒) Poichè F è compatto in uno spazio metrico, è sicuramente chiuso e totalmente limitato. Inoltre poichè Y è metrico per ogni x ∈ K è sufficiente mostrare che F (x) è totalmente limitato.

Ma questo è ovvio, perchè lo è F , infatti per ogni ε > 0 esistono g1, . . . , gn∈ F tali che

F ⊆

n

[

j=1

B(gj, ε) Ma allora

F (x) ⊆

n

[

j=1

B(gj(x), ε

Rimane da dimostrare solo che F `e equicontinuo. Fissiamo x ∈ K e ε > 0.

Poichè F è totalmente limitato possiamo ricoprirlo con palle di raggio ε/3, cioè

F ⊆

m

[

j=1

B(h_j, ε/3)

Inoltre poich`e le hj sono continue, per ogni j esiste Uj intorno aperto di x tale che

∀y ∈ Uj d(gj(x), gj(y)) < ε/3 Poniamo allora

U =

m

\

j=1

U_j

che `e ancora un intorno aperto di x. Allora per ogni f ∈ F esiste un k tale che f ∈ B(hk, ε/3). Perci`o

∀y ∈ U d(f (y), f (x)) ≤ d(f (y), gk(y)) + d(gk(y), gk(x)) + d(gk(x), f (x)) <

< ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε che `e la tesi.

(⇐) Dato che F ⊆ C⁰(K, Y ) `e metrizzabile e per mostrare che `e compatto

è sufficiente mostrare che è completo e totalmente limitato. Poichè C⁰(K, Y ) è

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completo e F è chiuso, anche F è uno spazio completo. Quindi è sufficiente far vedere che è totalmente limitato. Sia fissato ε > 0. Allora, per l’equicontinuità, per ogni x ∈ K esiste un Uxintorno aperto di x tale che

∀y ∈ U d(f (x), f (y)) < ε/3

Ma allora {U_x}x∈K`e un ricoprimento aperto di K e per la compattezza possiamo scegliere un sottoricoprimento finito U_z₁, . . . , U_z_n. Consideriamo l’insieme

A = {(f (z1), . . . , f (zn)) ∈ Yⁿ | f ∈ F }

Questo, per ipotesi, è contenuto in F (z₁) × · · · × F (z_n) che è prodotto di spazi relativamente compatti, e quindi è relativamente compatto. Quindi A (contenuto in Yⁿ, che è metrizzabile) è totalmente limitato e possiamo trovare g1, . . . , gm∈ F tali che

A ⊆

m

[

j=1

B((gj(z1), . . . , gj(zn)), ε/3)

Se riusciamo a dimostrare che F ⊆

m

[

j=1

B(gj, ε)

abbiamo vinto. Ma infatti, per la totale limitatezza di A, per ogni f ∈ F possiamo trovare un k tale che la distanza tra (f (z1), . . . , f (zn)) e (gk(z1), . . . , gk(zn)) sia minore di ε/3. Ma questo vuol dire che

∀j = 1 . . . n d(f (zj), g(z_j)) < ε₃

Vogliamo ora mostrare che la distanza tra f e gk`e minore di ε. Infatti per ogni x ∈ K esiste un Uz_j che lo contiene, perci`o

d(f (x), gk(x)) ≤ d(f (x), f (zj)) + d(f (zj), gk(zj)) + d(g(zj), g(x))

< ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε

per l’equicontinuit`a.

Osservazioni È possibile generalizzare ancora la versione del teorema di Ascoli Arzelà qui riportata. Infatti, sia X uno spazio con una successione esaustiva di compatti {Kn} e Y uno spazio metrico. Se F è un sottospazio di C⁰(X, Y ) equicontinuo, puntualmente relativamente compatto e chiuso, allora è compatto. Infatti, poichè C⁰(X, Y ) è metrizzabile (vedi l’osservazione finale del paragrafo precedente), basta dimostrare che è sequenzialmente compatto. Sia quindi {fn} ⊆ F una successione. È possibile definire ricorsivamente una famiglia numerabile di successioni in questo modo: sia fn⁽⁰⁾ la sottosuccessione di fn convergente in K0e fn^(k+1)la sottosuccessione di fn^(k)convergente in Kk+1. Si può far vedere facilmente che f_k^(k)è una sottosuccessione di fnconvergente in C⁰(X, Y ).

(7)

3 Il teorema di Stone-Weierstrass

♠Definizione 3.1 Si dice che un sottoinsieme F di C⁰(X, R) separa i punti se per ogni x, y ∈ X esiste una f ∈ F tale che f (x) 6= f (y).

♠Definizione 3.2 Si dice che un sottoinsieme F di C⁰(X, R) non si annulla mai se per ogni x ∈ X esiste una f ∈ F tale che f (x) 6= 0.

♣Teorema 3.1 (Stone-Weierstrass) Sia K uno spazio topologico compatto e sia F una sottoalgebra di C⁰(K, R) che non si annulla mai e che separa i punti.

Allora F `e densa in C⁰(K, R).

Dim:

Per dimostrare questo teorema avremo bisogno di numerosi lemmi.

Passo 1: Sia M > 0 un numero reale. Allora esiste una successione di polinomi pn tali che

pn(y) → |y|

uniformemente su [−M, M ].

Dim:

Fissiamo n ∈ N. Per ogni σ > 0 consideriamo la funzione f^σ(x) =√

σ²+ x². Allora per ogni y ∈ [−M, M ]

|fσ(y) − |y|| =p

σ²+ y²− |y| = σ²+ y²− y²

pσ²+ y²+ |y| ≤ σ² 2√

σ²+ M²

Perciò è possibile trovare una successione σ_n tale che |f_σ_n(y) − |y|| ≤ 1/2n per ogni y in [−M, M ]. Però le f_σ sono analitiche per ogni σ e perciò è possibile trovare per ogni n > 0 un polinomio (un troncamento opportuno della serie di Taylor) p_n per cui

∀y ∈ [−M, M ] |pn(y) − fσ_n(y)| < 1 2n Ma allora

∀y ∈ [−M, M ] |pn(y) − |y|| ≤ |pn(y) − fσn(y)| + |fσn(y) − |y|| < 1 2n+ 1

2n < 1 n

che `e la tesi.

Passo 2 Sia F come dalle ipotesi del teorema. Allora per ogni f, g ∈ F anche max(f, g) e min(f, g) stanno in F

Dim:

Dimostriamo prima che se f ∈ F allora ci sta anche |f |. Infatti sia M = maxx∈K|f (x)|. Osserviamo che il massimo esiste perchè K è compatto. Al- lora dal lemma precedente esiste una successione di polinomi pn che converge uniformemente alla successione valore assoluto su [−M, M ]. Ma allora la successione {pnf } di funzioni di F converge uniformemente su K a |f |, perciò

|f | ∈ F .

Da questo la tesi segue facilmente. Infatti per ogni f, g max(f, g) =f + g + |f − g|

2 min(f, g) =f + g − |f − g|

2

(8)

Passo 3 Sia F come dalle ipotesi del teorema. Allora per ogni coppia di punti x1, x2 ∈ K e per ogni c1, c2 ∈ R esiste una f ∈ F tale che f(x1) = c1 e f (x2) = c2.

Dim:

Per le ipotesi esiste g ∈ F tale che g(x₁) 6= g(x₂) e h₁, h₂ tali che h₁(x₁) 6= 0 e h₂(x₂) 6= 0. Allora consideriamo le funzioni di F

u₁(x) = g(x)h₁(x) − g(x₁)h₁(x) u₂(x) = g(x)h₂(x) − g(x₂)h₂(x) Osserviamo che le funzioni h₁, h₂sono essenziali nella definizione delle funzioni u1, u2 perch`e non `e detto che la funzione g(x) − g(x1) stia effettivamente in F (non sappiamo se la nostra algebra contiene le costanti!!!). Ora, sappiamo che u1(x1) = u2(x2) = 0 e inoltre u1(x2) 6= 0 e u2(x1) 6= 0. Quindi la funzione

f (x) = c1

u₂(x) u2(x1)+ c2

u₁(x) u1(x2)

`e ben definita e sta in F . Inoltre sostituendo si vede immediatamente che

soddisfa la tesi.

Passo 4 Sia F come dalle ipotesi del teorema e sia f ∈ C⁰(K, R), ε > 0.

Allora esiste g ∈ F tale che

∀x ∈ K |g(x) − f (x)| < ε Dim:

Fissiamo x ∈ K. Allora per il passo precedente per ogni y ∈ K esiste una hy∈ F tale che hy(x) = f (x) e hy(y) = f (y). Poich`e le hy sono funzioni continue, per ogni y ∈ K esiste Uy intorno aperto di y tale che

∀t ∈ Uy hy(t) > f (t) − ε

Allora {Uy}y∈X `e un ricoprimento aperto di K. Per la compattezza di K ne possiamo estrarre un sottoricoprimento finito Uy₁, . . . , Uy_n. Prendiamo la funzione

g_x(t) = max(h_y₁(t), . . . , h_y_n(t))

Osserviamo che poich`e F `e chiusa per l’operazione di prendere il massimo, g_x∈ F per tutti gli x ∈ K. Inoltre gx(x) = f (x) e gx(t) > f (t) − ε per costruzione.

Poich`e gx(x) = f (x) e la funzione gx− f `e continua, esiste per ogni x ∈ K un intorno Vxdi x tale che

∀t ∈ Vxgx(t) < f (t) + ε

Ma allora {Vx}x∈K `e un ricoprimento aperto di K. Ne estraiamo un sottoricoprimento finito Vx₁, . . . , Vx_m. Finalmente definiamo

g(t) = min(gx₁(t), . . . , gx_m)

(9)

Osserviamo ancora una volta che g ∈ F . Inoltre

∀t ∈ K f (t) − ε < g(t) < f (t) + ε

per costruzione. Quindi la nostra g soddisfa la tesi. E facile osservare ora che il passo 4 implica immediatamente la tesi del`

teorema.

♠Definizione 3.3 Un sottoinsieme F di C⁰(X, C) si dice autoaggiunto se f ∈ F implica ¯f ∈ F .

♣Teorema 3.2 (Stone-Weierstrass, versione complessa) Sia K uno spazio topologico compatto e sia F una sottoalgebra di C⁰(K, C) che separa i punti, che non si annulla mai e autoaggiunta. Allora F `e densa in C⁰(K, C).

Dim:

Osserviamo che, poich`e F `e autoaggiunta, f sta in F se e solo se ci stanno Ref e Imf . Infatti

Ref = f + ¯f

2 Imf =f − ¯f 2i

perciò prendiamo l’algebra costituita dalle parti reali e dalle parti immaginarie delle funzioni di F . Questa è una sottoalgebra di C⁰(K, R) che non si annulla mai e che separa i punti (perchè cos`ı era F ). Quindi è densa in C⁰(K, R).

Ma allora C⁰(K, R) sta in F. Quindi, poichè F è un algebra e una funzione a valori complessi è continua se e solo se lo sono la sua parte reale e la sua parte

immaginaria abbiamo la tesi.

4 Applicazioni

♣Teorema 4.1 (Weierstrass) Sia D un dominio del piano, C⁰(D, C) lo spazio delle funzioni continue da D a C e O il sottospazio delle funzioni olomorfe da D a C. Allora O(D) `e chiuso in C⁰(D, C)

Dim:

Poichè C(D) è metrizzabile (ogni dominio del piano ha una successione esaustiva di compatti), è sufficiente dimostrare che il limite di una successione convergente {fn} di funzioni olomorfe è olomorfo. Sia f tale limite. Per ogni γ curva chiusa in D vale che

Z

γ

fn(ζ)dζ = 0

per tutti gli n ∈ N. Ma poich`e f converge uniformemente su ogni compatto, e quindi in particolare uniformemente sull’immagine di γ, possiamo passare al limite sotto il segno di integrale e ottenere

Z

γ

f (ζ)dζ = 0

Poich`e questo vale per ogni curva chiusa γ in D, per il teorema di Morera la

funzione f `e olomorfa.

(10)

♣Teorema 4.2 (Montel) Un sottoinsieme F di O(D) dove D è un dominio del piano complesso è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

Dim:

E sufficiente far vedere che F `` e compatto in C⁰(D, C). Poich`e O(D) `e chiuso, F

è chiuso in C⁰(D, C). Inoltre è puntualmente relativamente compatto, perchè è limitato, e perciò per ogni x ∈ D l’insieme

{f (x) | f ∈ F }

è limitato in C e perciò relativamente compatto. Per applicare il teorema di Ascoli-Arzelà è sufficiente far vedere che è equicontinuo. Sia quindi

M = sup{f (x)|f ∈ F , x ∈ D}

che per ipotesi `e un numero reale. Allora, per ogni f ∈ F sup

x∈D

|f⁰(x)| ≤ M diam(D)

per le stime di Cauchy, dove diam(D) è il diametro di D, maggiore di 0 perchè D contiene almeno due punti. Ma allora le derivate delle funzioni in F sono equi- limitate, e perciò le funzioni di F sono equilipschitziane e quindi equicontinue.

Quindi, applicando il teorema di Ascoli-Arzel`a, concludiamo.

♣Teorema 4.3 (Convergenza delle serie di Fourier)