A.A. 2012/2013 Corso di Analisi Matematica I

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A.A. 2012/2013

Corso di Analisi Matematica I

Stampato integrale delle lezioni

Volume 1

Massimo Gobbino

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Indice

Lezione 001: Insiemi - Notazioni, unione, intersezione, differenza, cardinalità, insieme delle parti, prodotto cartesiano . . . 6 Lezione 002: Funzioni tra insiemi. Iniettività, surgettività, funzione inversa, imma-

gine e controimmagine di un insieme . . . 9 Lezione 003: Principio di induzione. Applicazione alla somma dei termini di pro-

gressioni aritmetiche e geometriche . . . 12 Lezione 004: Esempi di disuguaglianze dimostrate per induzione. Disuguaglianza

di Bernoulli. . . 16 Lezione 005: Funzioni pari, dispari, periodiche, monotone. Interpretazione grafica

di iniettivit`a e surgettivit`a. . . 20 Lezione 006: Funzioni elementari: potenze, radici, esponenziali, logaritmi, seno,

arcoseno . . . 24 Lezione 007: Funzioni elementari. Coseno, arcocoseno, tangente, arcotangente.

Iniettività ed equazioni. Monotonia e disequazioni. . . 27 Lezione 008: Numeri reali: proprietà algebriche, ordinamento, assioma di continuità. 31 Lezione 009: Maggioranti, minoranti, massimo, minimo. Estremo inferiore e supe-

riore: definizione, esistenza, caratterizzazioni. . . 34 Lezione 010: Operazioni sui grafici di funzioni reali. Esempi di equazioni e disequa-

zioni interpretate graficamente. . . 37 Lezione 011: Fattoriali, binomiali e loro significato combinatorio. Binomio di Newton. 41 Lezione 012: Esercizi misti: anagrammi, funzioni pari/dispari/periodiche, inf/sup

di insiemi descritti mediante immagini e controimmagini. . . 45 Lezione 013: Propriet`a vere definitivamente e frequentemente. Definizione di suc-

cessione e sue visualizzazioni. Definizioni di limite per successioni. . . 49 Lezione 014: Teoremi algebrici per i limiti di successioni. Esempi di limiti calcolati

usando teoremi algebrici e di confronto. . . 53 Lezione 015: Limiti elementari di esponenziali, radici n-esime, fattoriali. Esempi di

limiti calcolati con teoremi algebrici e di confronto. . . 57 Lezione 016: Criteri del rapporto, della radice, del rapporto → radice. Confronti

tra ordini di infinito di potenze, esponenziali, fattoriali . . . 61 Lezione 017: Ulteriori esempi di applicazione dei criteri della radice, del rapporto e

rapporto → radice. Limiti con radici n-esime. . . 65 Lezione 018: Limiti di funzioni: definizioni . . . 68 Lezione 019: Funzioni continue. Elenco dei limiti di notevoli. Cambio di variabili nei

limiti. Giustificazione di alcuni limiti notevoli a partire da quelli fondamentali utilizzando cambi di variabili.. . . 72

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Lezione 020: Criterio funzioni → successioni. Trucco di passaggio all’esponenziale.

Esempi di limiti di funzioni e successioni calcolati mediante limiti notevoli e cambi di variabili. . . 75 Lezione 021: Discussione delle disuguaglianze sin x ≤ x ≤ tan x. Limite notevole

con il sin x. Esempi di limiti calcolati mediante limiti notevoli. . . 79 Lezione 022: Sottosuccessioni e loro utilizzo per dimostrare la non esistenza di limiti

di successioni e funzioni . . . 83 Lezione 023: Successioni monotone e relativo teorema di esistenza del limite. Il

numero e (la successione che lo definisce `e monotona e compresa tra 2 e 3). . . 87 Lezione 024: Esercizi misti sui limiti che sfruttano le tecniche viste fino a questo

momento . . . 91 Lezione 025: Definizione di o piccolo e prime sue propriet`a . . . 94 Lezione 026: Sviluppini e loro utilizzo per il calcolo di limiti . . . 98 Lezione 027: Equivalenza asintotica. Esempi di limiti calcalati usando le tecniche

viste finora. . . 102 Lezione 028: Definizione di rapporto incrementale e di derivata. Significato geome-

trico. Retta tangente. Definizione di differenziale ed equivalenza con la derivata.

Relazioni tra derivabilit`a e continuit`a. . . 106 Lezione 029: Derivate di alcune funzioni elementari dimostrate mediante limite del

rapporto incrementale e/o differenziale. Regole di derivazione. . . 110 Lezione 030: Derivata del reciproco e del quoziente. Derivata della composizio-

ne. Derivata della funzione inversa (esempi classici: logaritmo, arcotangente, arcoseno). Esempi di calcolo di derivate. . . 114 Lezione 031: Teorema di De L’Hopital. Esempi in cui si pu`o e non si pu`o applicare.

Pericoli dei limiti met`a per volta e dell’equivalenza asintotica. . . 118 Lezione 032: Funzioni iperboliche . . . 122 Lezione 033: Formula di Taylor con resto di Peano: enunciato e idea della di-

mostrazione. Sviluppi di Taylor delle funzioni elementari e primi esempi di applicazione . . . 126 Lezione 034: Dimostrazione degli sviluppi di Taylor delle funzioni elementari. Esem-

pi semplici di applicazione. . . 130 Lezione 035: Sviluppi di Taylor di somme, differenze, prodotti, composizioni . . . 134 Lezione 036: Formula di Taylor con centro in un punto diverso dall’origine. Ulteriori

esempi di polinomi di Taylor di funzioni composte (e cautele necessarie nel loro calcolo) . . . 138 Lezione 037: Esercizi riassuntivi sui limiti . . . 142 Lezione 038: Definizione di serie come limite delle somme parziali. Esempi semplici

di serie studiate usando la definizione. Serie telescopiche. Serie geometriche. . 146 Lezione 039: Teoremi algebrici per le serie. Condizione necessaria. Serie armoniche

generalizzate. Comportamento delle serie a termini di segno costante. Enunciato dei criteri della radice, del rapporto, del confronto. . . 150 Lezione 040: Criterio del confronto asintotico (casi standard). Esercizi sulla con-

vergenza di serie a termini positivi (non negativi) . . . 154 Lezione 041: Serie a termini di segno qualunque: enunciato del criterio di Leibnitz

e dell’assoluta convergenza ed esempi di applicazione . . . 158

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INDICE 5

Lezione 042: Dimostrazione dei criteri per serie a termini positivi. Casi limite di confronto asintotico. Dimostrazione del criterio dell’assoluta convergenza. . . . 162 Lezione 043: Serie di potenze: notazioni, raggio di convergenza e formula per cal-

colarlo (con dimostrazione). Serie di Taylor e loro utilizzo per il calcolo della somma di speciali serie numeriche. . . 166 Lezione 044: Esempi di serie di potenze. Esempi di studio di serie parametriche. 170 Lezione 045: Teorema di esistenza degli zeri e dei valori intermedi. Esempi di

applicazione. . . 174 Lezione 046: Teorema di monotonia 1 (segno della derivata in un punto). Studio

locale di funzioni e criterio delle derivate successive per lo studio dell’andamento di una funzione nell’intorno di un punto stazionario . . . 178 Lezione 047: Esempi di esercizi basati sul teorema dei valori intermedi e sullo studio

locale di funzioni . . . 182 Lezione 048: Definizione di massimo, minimo, punti di max, punti di min. Enun-

ciato del teorema di Weierstrass. Ricerca operativa dei punti di max e di min. . . 186 Lezione 049: Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange e interpretazioni geometriche dove

possibile. . . 190 Lezione 050: Dimostrazione del caso 0/0 del teorema di De L’Hopital. Legami tra

segno della derivata in un intervallo e monotonia di una funzione. . . 194 Lezione 051: Primi rudimenti sullo studio globale di funzioni: simmetrie, limiti

agli estremi della zona di definizione, zeri e segno, zeri e segno della derivata e zone di monotonia. Esempi di applicazione a problemi di inf/sup/max/min ed equazioni parametriche. . . 198 Lezione 052: Esempi di equazioni e disequazioni risolte mediante studio globale di

opportune funzioni. . . 202 Lezione 053: Formula di Taylor con resto di Lagrange e applicazioni (calcolo ap-

prossimato di funzioni, dimostrazione di disuguaglianze, dimostrazione della convergenza di serie di Taylor) . . . 206 Lezione 054: Funzioni convesse e concave: definizione geometrica e analitica, legami

con il segno della derivata seconda. Punti di flesso. . . 210 Lezione 055: Asintoti orizzontali e verticali. Asintoti obliqui e formule per calcolarne

le equazioni. . . 214 Lezione 056: Varianti e generalizzazioni del teorema di Weierstrass . . . 218 Lezione 057: Disuguaglianze classiche dimostrate mediante studio di funzioni o

Taylor-Lagrange . . . 222 Lezione 058: Lipschitzianit`a e legami con la limitatezza della derivata prima . . . 226 Lezione 059: Due esercizi classici impegnativi sullo studio di funzioni . . . 230

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6 Corso di Analisi Matematica I – A.A. 2012/2013

Lezione 001

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