A.A. 2012/2013 Corso di Analisi Matematica I

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A.A. 2012/2013

Corso di Analisi Matematica I

Stampato integrale delle lezioni

Volume 2

Massimo Gobbino

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Indice

Lezione 060: Introduzione alle successioni per ricorrenza: nomenclatura e primo esempio di piano con la monotonia . . . 6 Lezione 061: Ulteriori esempi di successioni per ricorrenza studiati mediante piani

con la monotonia. . . 10 Lezione 062: Interpretazione grafica delle successioni per ricorrenza. Esempi stu-

diati mediante la distanza dal presunto limite. . . 14 Lezione 063: Successioni per ricorrenza spiraleggianti: studio mediante la distanza

dal presunto limite . . . 18 Lezione 064: Successioni per ricorrenza spiraleggianti: studio mediante le sottosuc-

cessioni dei pari e dei dispari . . . 22 Lezione 065: Ulteriori esempi di successioni per ricorrenza autonome . . . 26 Lezione 066: Ulteriori esempi di successioni per ricorrenza autonome . . . 30 Lezione 067: Successioni per ricorrenza non autonome: piani con la manotonia, con

il rapporto, con limitatezza e carabinieri . . . 33 Lezione 068: Ulteriori esempi di successioni per ricorrenza non autonome . . . 37 Lezione 069: Ulteriori esempi di successioni per ricorrenza non autonome. Studio

di una serie con un termine logaritmico (caso limite di confronto asintotico). . 41 Lezione 070: Introduzione agli integrali: notazioni, significato geometrico, defini-

zione mediante somme di Riemann superiori e inferiori . . . 45 Lezione 071: Esempi di utilizzo delle somme di Riemann, integrabilit`a delle fun-

zioni monotone, propriet`a degli integrali, esempi di integrali calcolati mediante considerazioni geometriche . . . 49 Lezione 072: Teoria generale per il calcolo operativo di integrali: primitive, funzio-

ne integrale, teorema della media integrale, teorema fondamentale del calcolo integrale. . . 53 Lezione 073: Discorso sul +c negli integrali indefiniti. Primi esempi di primitive

elementari. . . 57 Lezione 074: Integrazione per sostituzione: dimostrazione, interpretazione brutale

e primi esempi di applicazione . . . 61 Lezione 075: Integrazione per parti e primi esempi di applicazione: integrali di

polinomi per esponenziali, seni, coseni. “Grande ritorno”: integrali di potenze di seni e coseni. . . 65 Lezione 076: Altro modo di integrare le potenze di seni e coseni. Trucco dell’“1

nascosto” (integrali di logaritmi e arcotangenti) e ulteriori esempi di applicazione dell’integrazione per parti . . . 69 Lezione 077: Integrazione delle funzioni razionali - Parte prima . . . 73 Lezione 078: Integrazione delle funzioni razionali - Parte seconda . . . 77

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Lezione 079: Esempi di integrali calcolati utilizzando le tecniche viste finora . . . 81 Lezione 080: Primi esempi di sostituzioni razionalizzanti: esponenziali, seni e coseni,

radici di espressioni di primo grado . . . 85 Lezione 081: Sostituzioni razionalizzanti per primitive di radici di polinomi di

secondo grado . . . 89 Lezione 082: Sostituzioni razionali per sin x e cos x mediante formule parametriche.

Esempi di ricapitolazione sul calcolo di integrali. . . 93 Lezione 083: Integrali impropri: definizioni nei casi monoproblema e spezzamento

di un integrale generale in integrali monoproblema. . . 97 Lezione 084: Studio degli integrali impropri di 1/x^a con problemi a 0 e +infinito

al variare del parametro a. Discussione dell’utilizzo delle simmetrie nel calcolo degli integrali. . . 101 Lezione 085: Studio di integrali impropri con integrande di segno costante: criterio

del confronto e del confronto asintotico (caso standard e casi limite). Criterio dell’assoluta integrabilit`a per integrande a segno variabile. . . 105 Lezione 086: Esempi di studio della convergenza di integrali impropri utilizzando i

vari criteri. Integrali impropri con problemi in punti diversi dall’origine. . . 109 Lezione 087: Confronto serie-integrali e dimostrazione della convergenza/divergenza

delle serie armoniche generalizzate. Stima della “coda” di una serie mediante un integrale improprio. . . 113 Lezione 088: Trucco dell’integrazione per parti per integrali impropri oscillanti (tipo

sin x/x, cos(x²), sin(x²) tra 0 e infinito). . . 117 Lezione 089: “Metodo dei triangolini” per dimostrare la divergenza di integrali

“non compensazione” tra integrali impropri divergenti. . . 121 Lezione 090: Teoremi di scambio serie-derivata per serie di potenze. Esempi di

calcolo della somma di serie di potenze. . . 125 Lezione 091: Introduzione alle equazioni differenziali: nomenclatura . . . 129 Lezione 092: Introduzione alle equazioni differenziali: il problema di Cauchy, enun-

ciato dei teoremi di esistenza ed unicit`a. Esempio di non unicit`a. . . 133 Lezione 093: Metodo risolutivo per equazioni differenziali a variabili separabili.

Studio della soluzione: intervallo massimale di esistenza, tempo di vita, esistenza globale, blow-up, break-down . . . 137 Lezione 094: Ulteriori esempi di studio di equazioni differenziali a variabili separabili141 Lezione 095: Equazioni differenziali lineari omogenee: teoria generale e algoritmo

per determinare una base dello spazio delle soluzioni nel caso di equazioni a coefficienti costanti (mediante le radici del polinomio caratteristico). . . 145 Lezione 096: Esempi di risoluzione di equazioni differenziali lineari omogenee.

Struttura dell’insieme delle soluzioni di un’equazione non omogenea. . . 149 Lezione 097: Equazioni differenziali lineari non omogenee: esempi di ricerca per

tentativi di una soluzione nel caso di termine non omogeneo esponenziale o trigonometrico . . . 153 Lezione 098: Equazioni differenziali lineari non omogenee: esempi di ricerca per ten-

tativi di una soluzione nel caso di termine non omogeneo polinomiale. Esempio di metodo di variazione delle costanti. . . 157

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Lezione 099: Equazioni differenziali lineari del prim’ordine: formula risolutiva ottenuta con il fattore integrante e attraverso variazione delle costanti. . . 161 Lezione 100: Numeri complessi: forma cartesiana, parte reale e immaginaria, piano

di Gauss, operazioni algebriche, coniugato, modulo. . . 165 Lezione 101: Forma trigonometrica ed esponenziale di un numero complesso. In-

terpretazione di modulo, coniugato, prodotto, reciproco, quoziente in forma trigonometrica. Potenza n-esima di un numero complesso. . . 169 Lezione 102: Radici n-esime di numeri complessi. . . 173 Lezione 103: Teorema fondamentale dell’algebra. Fattorizzazione di polinomi sui

complessi. Fattorizzazione di polinomi a coefficienti reali “accoppiando” le radici complesse coniugate . . . 177 Lezione 104: Esponenziale e logaritmo di numeri complessi . . . 181 Lezione 105: Funzioni trascendenti di numeri complessi: seno e coseno, seno iper-

bolico e coseno iperbolico. Esempio di equazione con il seno in ambito complesso.185 Lezione 106: Esercizi misti sui numeri complessi . . . 188 Lezione 107: Esempi di studio del comportamento di soluzioni di equazioni diffe-

renziali senza scrivere esplicitamente la soluzione. . . 192 Lezione 108: Esempi “mondo reale” di equazioni differenziali: oscillatore armonico,

oscillazioni forzate, oscillazioni smorzate. . . 196 Lezione 109: Esempi di esercizi presi da test d’esame e scritti d’esame passati. . . 199

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