e’ un ciclo termico costituito da
una espansione
una compressione una compressione una espansione
Ciclo di Carnot
V p(V)
quattro trasformazioni di un gas perfetto :
isoterma reversibili
a temperatura
T
2da
B
aC
adiabatica
a temperatura
T
1da
C
aD
isoterma
da
D
adA
adiabatica
da
A
aB
T2 > T1 si assume che
T2
T1
A
B
C D
le trasformazioni
→ due trasformazioni a temperatura costante
per chiudere il ciclo
a diversa temperatura serbatoi di calore
→ due trasformazioni
isoterme
adiabatiche
tra teoricamente
senza scambio di calore e se si deve operare con due sole sorgenti di calore
➢ perche’ trasformazioni isoterme e adiabatiche ?
devono avvenire
di effettuare due trasformazioni l’unica possibilita’ e’
pV = n R T
( V )ad
=
−nc dT
f
i
V
is V
Q = nRT dV
V is fi
Q = nRTln V
V
2
A B
T =T = T
1
C D
T =T =T
2 1
2 1 1
0 0
( ) 0 ( ) 0
B D
AB CD
A C
BC V DA V 2
V V
Q = nRT ln Q = nRT ln
V V
L = nc T T L = nc T T
− −
poiche’
tot a
L
= Q f s a c
a a
L L Q Q
Q Q
+ +
= = 1 c
a
Q
= + Q
1
2
1
D C B A
T lnV V T lnV
V
= +
1 CD
AB
Q
= + Q p(V) = nRT
V
dQ = dU + dL
( )
is is
dQ = nRT dV V
( )
ad V ad
dL =
−nc dT
( )
f
i
T
ad T V ad
L = − nc dT L = nc
ad V( T
i− T
f)
( )is
= p(V) dV
dLad = dU−
is is
dQ = dL
rendimento del ciclo di Carnot
1 1
2 A 1 D
T V
−= TV
−1 1
2 B 1 C
T V
−= TV
− 1 11 2
1 1
2 1
C B
A D
TV T V
T V TV
−
−
−
=
− B CA D
V V
V = V
adiabatica reversibile → da
B
aC
da
D
adA
Poisson
1
2
1
C D
B A
T ln V
V T ln V
V
= −
1 2
1 T
= − T
1
2
1
D C
B A
T ln V
V T ln V
V
= +
C B
A D
V V
V = V
ma
in questa relazione
il rendimento del ciclo di Carnot
dipende solo dalle temperature assolute i valori delle temperature delle sorgenti
ma solo grandezze caratteristiche del gas
con cui il gas sta scambiando calore
con calore specifico costante
di un gas ideale
a cui avvengono gli scambi isotermi di calore dunque
non compaiono Attenzione :
tutte le macchine reversibili a gas perfetto
per avere rendimento unitario bisognerebbe che in ogni caso e’ sempre
di temperatura
T
1 eT
2inferiore all’unita’
T
2 → ∞ ma sono entrambe condizionio che
T
1 → 0 ,che operano tra le stesse sorgenti hanno lo stesso rendimento
o che ( con
T
2 >T
1)
Nota Bene : e’ valido anche quando si opera con piu’ di due sorgenti di calore → il rendimento della macchina reversibile
e’ sempre superiore
la formula per determinare il rendimento non sara’ piu’ 1
2
1 T
= − T impossibili da realizzare
il teorema di Carnot
a quello della macchina irreversibile ma (eccezioni a parte, vedi ciclo di Stirling → adiabatiche + isocore )
C B
A D
V V
V = V
2
ln
B0
AB
A
Q nRT V
= V
CD 1ln
D0
C
Q nRT V
= V
e dal ciclo di Carnot :
1
ln
D 1ln
C0
CD
C D
V
Q nRT V nRT
V V
− = − =
2
1
ln ln
B
AB A
CD C
D
nRT V
Q V
Q V
nRT V
− =
ma2
2 1 1
ln ln
B
AB A
CD B
A
nRT V
Q V T
Q V T
nRT V
= =
−
quindi
percio’
2 1
CD
AB
Q
Q
T T
= −
2 1
CD
0
AB
Q Q
T + T =
per cui
Q
ABa c
0
a c
Q Q
T + T =
Q
CDera il calore assorbito dalla sorgente a temperatura maggiore T2
era il calore ceduto alla sorgente a temperatura inferiore T1
detti
Q
AB= Q
aQ
CD= Q
cT
2= T
aT
1= T
csi ha che per ogni macchina di Carnot ( cicli reversibili ) vale la
e
rendimento di una generica macchina termica ciclica
1 Qc Qa
= + 1
2
1 T
c T
= −
rendimento di una macchina
di Carnot reversibile teorema di Carnot
c
1 2
1 Q c 1 T
Q a T
+ −
1 2
Q c T Q a T
−
a 0 per definizione Q
percio’ e’ possibile moltiplicare per e dividere per T1
il verso
Qa
senza doverne
e le
T1 > 0 e T2 > 0
2 1
a c
0
Q Q
T + T
in gradi Kelvin →
temperature devono essere espresse
modificare
( dove Qc < 0 )
1 2
Q c T 0 Q T
a
+
la disuguaglianza
dove il segno di uguaglianza vale solo se la macchina ciclica e’ reversibile
0
a c
a c
Q Q
T + T
2 1
a c
0
Q Q
T + T
T1 ≡ Tc e T2 ≡ Ta generalizzando →conseguenza pratica: la possibilità di definire
sostanza termometrica usata una scala delle temperature
in effetti e’ impossibile utilizzare il termometro a gas a volume costante al di dell’ordine di 1 K a causa della liquefazione dei gas sotto di temperature
e dunque del tutto indipendente dalle proprietà fisiche della particolare basata solo sugli scambi di calore
consideriamo una trasformazione termodinamica
1
12
Q
= − Q
→ si potra’ calcolare la temperatura
varranno le relazioni
e ceduti dal sistema
conoscendo quella del serbatoio
T
21
1 2
2
T = T Q 1
1Q
2
T
= − T
reversibile ciclica
del serbatoio
T
1e misurando i calori acquisiti
Q2
T1
Q1
L
2 1
T T
T
1T
2v
r
ReT
ed il sistema di cui vogliamo misurare la temperatura ciclica reversibile tra
e’ possibile costruire una scala termometrica
pensato come un serbatoio di calore
Temperatura termodinamica assoluta
eseguendo una trasformazione
del punto triplo dell’acqua
alla temperatura
T
incognitaalla temperatura
T
3Q3
T1
Q
L
T3 T
T T
3v
r
ReT
1
3
Q
= − Q
3 3
T = T Q 1 Q
3
T
= − T
un serbatoio di calore
si definisce zero assoluto ponendo
T
3 = 273.16 ºK3
3
T = T Q
Q
isoterma reversibile non scambia calore ceduto al sistema
e misurando il calore
Q
3quella temperatura alla quale
acquisito
ed il calore |
Q|
di cui si vuole misurare la temperaturauna trasformazione
Cicli frigoriferi
per caratterizzare un ciclo frigorifero si utilizza il coefficiente di prestazione
definito come il rapporto fra la quantita’ di calore
Q
ae il lavoro necessario per ottenere questa sottrazione di calore
a F
= Q
L
Fsottratta al serbatoio freddo
un ciclo di Carnot operato in senso inverso costituisce
V
p(V) A
B
C D
ciclo di Carnot termico
V
p(V) A
B
C D
ciclo di Carnot frigorifero
2
ln
B0
AB
A
Q nRT V
= V
1
ln
D0
CD
C
Q nRT V
= V
AB 0 Q
CD 0 Q
BA 0 Q
DC 0 Q
2
ln
A0
BA
B
Q nRT V
= V
1
ln
C0
DC
D
Q nRT V
= V
un ciclo frigorifero reversibile
il coefficiente di prestazione
C 1
D
C A
2 1
B D
nRT ln V
= V
V nRT ln V nRT ln
V + V
DC
BA DC
= Q
Q + Q
a F
= Q
L
C 1
D B C
2 1
A D
T ln V
= V
V V
T ln T ln
V − V
ma B C
A D
V V = V V
1 F
2 1
