9.4. RENDIMENTO DI UN CICLO DI CARNOT?
PROBLEMA 9.4
Rendimento di un ciclo di Carnot ?
Calcolare esplicitamente il rendimento di un ciclo di Carnot di un gas perfetto, espri- mendolo in funzione delle sole temperature della sorgente calda e della sorgente fredda utilizzate.
Soluzione
B
C T1
V T2
P
D A
Figura 9.2.: Il ciclo di Carnot rappresentato nel piano P−V per un gas perfetto. Le adia- batiche sono tratteggiate, le isoterme continue. T1e T2sono le temperature rispettivamente della sorgente calda e fredda.
Il rendimento è definito dal rapporto tra lavoro e calore assorbito. Calcoliamo il lavoro fatto in una trasformazione isoterma
LX→Y = ˆ vY
VX
PdV=nRT ˆ VY
VX
dV
V =nRT logVY
VX (9.4.1)
e in una trasformazione adiabatica, per la quale il prodotto PVγè costante:
LX→Y = ˆ VY
VX
PdV= PXVXγ ˆ VY
VX
dV
Vγ = 1 1−γPXV
γ X
1
VYγ−1 − 1 VXγ−1
!
= 1 γ−1
PXVXγ
VXγ−1 − PYV
γ Y
VYγ−1
!
= 1
γ−1(PXVX−PYVY) (9.4.2)
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9.4. RENDIMENTO DI UN CICLO DI CARNOT?
Abbiamo utilizzato il fatto che PXVXγ = PYVYγ., e quindi amente potevamo osservare che per una trasformazione adiabatica dU =−dL, e quindi
LX→Y =ncv(TX−TY) (9.4.3) che coincide con l’espressione precedente.
Per quanto riguarda il calore scambiato, sappiamo che è nullo in una trasformazione adiabatica. In una trasformazione isoterma dal primo principio, e dal fatto che per un gas perfetto l’energia interna dipende dalla sola temperatura segue, facendo riferimento alla Figura 9.2,
dQ=dU+dL= cvdT+dL= dL (9.4.4) cioè il calore assorbito è uguale al lavoro fatto dal gas. Abbiamo in conclusione
η= L
QA→B = LA→B+LB→C+LC→D+LD→A
LA→B (9.4.5)
= nRT1log
VB
VA +ncv(T1−T2) +nRT2logVVD
C +ncv(T2−T1) nRT1logVVB
A
(9.4.6)
=1+ T2 T1
log VD/VC
log VB/VA =1+ T2 T1
log VD/VC
log VB/VA (9.4.7)
ma utilizzando le relazioni
VD =VAT1α
T2α, VC =VBT1α
T2α (9.4.8)
otteniamo semplicemente
η=1+ T2 T1
log VA/VB
log VB/VA =1−T2
T1 (9.4.9)
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