Algebra e Geometria tra Cinquecento e Seicento

Algebra e Geometria

tra Cinquecento e Seicento

Paolo Freguglia

Dipartimento Ingegneria e Scienze dell’Informazione e Matematica (DISIM)

Università di L’Aquila

• I principali algebristi nel XVI e XVII secolo:

- Luca Pacioli, Summa de arithmetica, geometria […]

(1494)

- Scipione dal Ferro (1505 o 1515) - Anton Maria Fiore

- Gerolamo Cardano, Ars Magna (1545) - Lodovico Ferrari (1544, 1545)

- Niccolò Tartaglia, Quaesiti et inventioni diverse (1546) - Rafael Bombelli, L’Algebra (1572)

- Simon Stevin, L’Arithmétique (1585)

- François Viète, Isagoge in Artem analyticem, ecc. (1591, 1593)

- Chr. Clavius, Algebra (1608)

- Allievi di Viète (Vaulézard, Hume, Vasset, ecc. (1630)) - René Descartes, La Géométrie (1637)

• La nascita dell’algebra, avvenuta sostanzialmente nel Cinquecento, è caratterizzata da connessioni di tecniche algoritmo-abacistiche con questioni geometriche. La geometria con la quale ciò

accadde fu proprio quella sintetica classica

euclidea piana e solida delle superfici e dei volumi.

Nelle opere di Cardano (1545), Ferrari, Tartaglia (1549), Bombelli (1572) e Stevin (1585) questi

aspetti geometrico algebrici furono ampiamente sviluppati, anche se non mancarono riferimenti alla teoria delle proporzioni, in particolare alle proporzioni continue. Quest’ultima teoria, che costituiva la parte più astratta della geometria, fu a sua volta la chiave per la geometrizzazione dell’algebra effettuata da Viète (1593).

• Linguaggio (oggetto) algebrico nel XVI e XVII secolo:

• Ad esempio ciò che oggi scriviamo così: x³ + ax = bx² + c

- con il linguaggio retorico si ha:

Capitolo di Cubo e tanti eguali a Potenze e numero

- con il linguaggio sincopato si ha:

1.cubus p. 12.pos. aeq. 6.quad. p. 12

- con il linguaggio simbolico numerico (logistica numerosa, ad es. Bombelli e Stevin):

- con il linguaggio simbolico letterale (logistica speciosa, Viète):

A cubus + B plano in A aequetur C latus in A quad + D cubus

Descartes (altro esempio): y³ – byy – cy + bc – axy  0

  

12 6

a 12 1

Agguaglia

2 1

3  

• Come esempio di trattazione prendiamo i primi tre libri de L'Algebra, opera di Rafael

Bombelli da Bologna, diuisa in tre libri con la quale ciascuno da sé potrà venire in perfetta cognitione della teoria dell'Aritmetica", 1572.

- Primo libro: si studiano i polinomi numerici (es.: 3 - 25 + ³2) e la relativa algebra.

- Secondo libro: tratta delle equazioni algebriche - Terzo libro: tratta i problemi diofantei.

• CONCENTREREMO LE NOTRE CONSIDERAZIONI SULLE

EQUAZIONI ALGEBRICHE

• LA SOLUZIONE DELLE EQUAZIONI ALGEBRICHE DI TERZO GRADO

• La soluzione generale delle equazioni di terzo grado riveste una funzione determinante anche per la procedura risolutiva di quelle di quarto grado. E' quanto risulta leggendo: l'Ars Magna (1545) di Gerolamo Cardano e l'Algebra di Rafael Bombelli del 1572 . Cardano nel

Capitolo XXXIX, alla Quaestio IV e Reg.II, dell' Ars Magna, attribuendo il merito al suo allievo Ludovico Ferrari, propone la soluzione e poi la “dimostrazione geometrica” delle

equazioni di quarto grado. Quanto diremo di seguito riguarda le sole radici reali positive.

• Schema risolutivo delle equazioni di terzo grado dato da Tartaglia nel nono libro dei suoi Quesiti et

inventioni diverse, pubblicati nel 1546. Tramite i famosi versi:

• Quando che'l cubo con le cose appresso [x³ + px ] Se agguaglia à qualche numero discreto [= q ] Trovan dui altri differenti in esso. [u – v = q ] Da poi terrai questo per consueto

Che'llor produtto sempre sia eguale [uv = ] Al terzo cubo delle cose neto, [(p/3)³ ]

El residuo poi suo generale

Delli lor lati cubi ben sottratti [³u - ³v ] Varra la tua cosa principale. [x]

• L’equazione generale di terzo grado si può ridurre alla x³ + px = q

Infatti:

x³ + px = q

Tartaglia afferma che la soluzione dell'equazione si ottiene cercando dapprima due numeri u e v tali che soddisfino il sistema:

 u v = p³/27 

 u - v = q

e quindi la soluzione sarà data dalla

x = ³ u - ³ v : ottiene si

3

: pongo

0 in

se ^{3 2}

a x b

y

d cy by

ay













• E quindi, facendo i conti:

si ritrova la formula-precetto di Scipione dal Ferro. Nel caso (proposto da Bombelli):

x

+ 6x = 20

Le soluzioni (nel campo complesso) sono:

x

= 2 ; x

= -1 + 3i ; x

= -1 – 3i

3

3 2

3

3 2

3 3

2 3

2 2

3 2

q p

q q

p q

v u

x

 



 



 



 



 

 



 







 



 







• Nel precedente sistema risolutivo poniamo ora:

³ u = a e ³ v = b otteniamo il sistema:

 a³ - b³ = q 

 a  b = p/3

e quindi:

x = a – b

scrittura che ci è più utile per quanto diremo di seguito per la relativa interpretazione geometrica.

• EQUAZIONI ALGEBRICHE DI QUARTO GRADO

L’equazione generale di quarto grado è:

y

+ ay

+ by

+ cy + d = 0 nella quale posto:

diventa:

x

+ ax

+ b = cx

4 x a y  

• Nel testo di Cardano troviamo

l'equazione del tipo ora visto così scritta:

1.qd.quad.p.6.quad.p.36.aequalia 60.pos.

cioè:

x

+ 6x

+36 = 60x Bombelli avrebbe scritto:

 2 1

4

60 36

. 6

.

1 p p aeq

• EQUAZIONI ALGEBRICHE DI QUARTO GRADO

• In sostanza il procedimento di Ferrari ha il seguente svolgimento. Data l'equazione:

x⁴ + ax² + b = cx ,

nel caso più generale in cui il primo membro non sia un quadrato perfetto, si procede dapprima a

quadrarlo, aggiungendo a primo e secondo membro il binomio

2b  x² - ax² Avremo dunque

x⁴ + ax² + b + (2 b x² ‑ ax²) = cx + (2 b x² ‑ ax²) x⁴ + 2b x² + b = cx + (2b ‑a)x²

e cioè:

(x² + b)² = cx + (2 b - a)x²

• Ponendo nella (x² + b)² = cx + (2 b - a)x²  b = q e 2 b - a = p

avremo:

(x² + q)² = cx + px²

il cui membro a destra non è un quadrato. Si aggiunge allora a destra e a sinistra il trinomio:

2tx² + t² + 2tq avremo allora:

x⁴ + 2qx² + q² + (2tx² + t² + 2tq) = cx + px² + + (2tx² + t² +2tq)

che diventa:

(x² + q + t)² = ((p +2t))² x² + cx + ((t² + 2tq))²

(x² + q + t)² = ((p +2t))² x² + cx + ((t² + 2tq))² Il membro a destra di questa è un quadrato se si ha

che

c = 2 (( p +2t)((t² + 2tq)) cioè se

2t³ + (p+4q)t² + 2pqt ‑ c²/4 = 0

detta risolvente cubica di Ferrari (con t come incognita). Una volta risolta la risolvente, si sostituisce un valore di t nella

x² + q + t = (p + 2t) x +  (t² + 2tq) che è di secondo grado.

• “Teoria” geometrico sintetica delle equazioni algebriche (“Dimostrationi”)

• Costruzione di un modello geometrico euclideo dell’uguagianza che alla base dell’equazione

medesima (possibile dal 1° al 4° grado)

• Interpretazione geometrica della procedura risolutiva (possibile dal 1° al 3° grado)

• Determinazione con riga e compasso delle

soluzioni (possibile solo per il 1° e 2° grado) se vale il principio di omogeneità dimensionale,

altrimenti anche per il 3° grado (vedi succesivamente)

• R.Bombelli (L’Algebra, 1572), Libro II

Dimostratione del Capitolo di Tanti eguale a numero

« E benchè questa scientia sia Aritmetica (come la chiamano Diofante Autore Greco e li Indiani) però non resta che il tutto non si possi provare per figure Geometriche (come fa Euclide [applicazione delle

aree] nel secondo, sesto, decimo). Però volendo che il Lettore resti in tutto soddisfatto mi sono risoluto

porre tutte le dimostrazioni dello agguagliare, cioè Capitolo per Capitolo, tanto in linea senza numero quanto in linea composto di numero e questa parte non è men bella che dilettevole: però senza altra circolutione di parole verrò alla dimostratione di questo primo Capitolo di tanti uguale a numero.

Questa dimostratione può essere in due modi, o in linea overo in superficie, e prima sia in superficie.»

• R.Bombelli (1572) : Dimostratione del Capitolo di Tanti eguale a numero: modello geometrico dell’uguaglianza alla base

dell’equazione

ax = b caso: 3x = 24

Th.: Rect (pfbe) = Rect (ehgd) Cioè: pf  fe = ed  eh

Interpretazioni:

x  fi = eh 1 fp = eb 24  fe = ih 3  ed = hg

Il teorema interpreta

la seguente espressione: 3x = 124

• R.Bombelli 1572: Interpretazione della procedura risolutiva ax = b, caso: 3x = 24

Th.: Triang(eda) è simile al Triang(efi) cioè: fi : ad = fe : ed Interpretando:

x : 1 = 24 : 3 cioè:

x = 8

• R.Bombelli (1572): Determinazione con riga e compasso della soluzione dell’equazione: ax = b (case: 3x = 24)

1. Tracciamo fe = 24

2. Prolunghiamo fe con ed = 3 3. Tracciamo eb = fp = ad = 1 perpendicolari a fed

4. Prolunghiamo ae e fp 5. Determiniamo il punto i 6. Affermiamo che fi = x

• R. Bombelli (1572): Dimonstratione di capitolo di Potenze e Tanti uguale a numero

x² + bx = c (caso: x² + 6x = 16)

• Th: Gnomon (DCLHGF) +

+ Quad(LEGH) = Quad(FQRS) + + Quad (ETUQ)

Interpretazioni:

x² + bx  Gnom (DCLHGF) b²/4  Quad (LEGH) =

Quad (ETUQ) c  Quad (FQRS) Il teorema interpreta la seguente:

x² + bx + b²/4 = c + b²/4

• G.Cardano (1545), R.Bombelli (1572)

• Th.: Cubo(r,k) + 3Parall.(m,i) = = Cubo(c,k) – Cubo (b,s) =

= Gnomonide (r, k)

Caso: x³ + 6x = 20 (x³ + px = q) uv = p/3 e u³ – v³ = q

Interpretazioni

Interpretazioni: x  ab

 x³  ab³ = Cubo (r,k)

 6x = 32x = 3uvx  3acbcab=

= 3 Parall(m, i)

 20 = uu³³ – – vv³³ = = q  acq ³ – bc³ =

= Gnom(r, k) =

• R.Bombelli (1572) [applicazione del cd. 1° teor. di Euclide]

Caso: x³ + 6x = 20

• Th.: hi² = mhhe = = bc(hc + ce)

Interpretazioni:

mh = hn = bc hi²  20

hc = nb  6 dc  1

bc  x (graficamente determinabile) = 2 Geometricamente

cd : bc = bc : ce  1 : x = x : ce  ce  x²

R. Bombelli (1572): Quarto grado caso generale:

x⁴ = ax + b

x⁴ + (2yx² + y²) =

= ax + b + (2yx² + y²) Risolvente di Ferrari:

2y³ + 2yb = a²/4

Soluzioni:

x² +y₀ = x(2y₀ ) + (b + y20)

Costruzione: Quad.(ID) = Quad.(GS) ; ID = IC + CD = GS = = GR + RS = NO + OP

Interpretazioni: x²  IC = IB; y₀  CD ; (b + y₂₀)  OP x(2y₀ )  NO

• Se ci soffermiamo sulle interpretazioni delle

equazioni di primo, di secondo e di terzo grado (caso solido) si osserva che esse avvengono in conformità con un principio che associa ad ogni monomio dell'equazione una superficie, nel caso del primo e del secondo grado, un volume, nel caso del terzo grado. Per cui, come

tradizionalmente si dice, questa interpretazione

soddisfa al principio di omogeneità (dimensionale).

Più precisamente, si tratta di interpretazioni che

associano a x un lato, a x² un quadrato, a x³ un cubo, ad un numero o una linea (segmento), o una figura piana, o una figura solida a seconda dei casi di omogeneità di cui si è detto poc’anzi.

• François Viète

Isagoge in Artem Analyticem [Introduzione all’Arte Analitica]

(1591)

Capitolo I

Sulla definizione e ripartizione dell’Analisi e delle parti della Zetetica

Esiste una via per cercare la verità nelle matematiche, di cui si dice che Platone sia stato il primo inventore, chiamata da Teone “Analisi” e che quest’ultimo definì così: “Metodo mediante il quale si prende come concesso ciò che si domanda, fino ad arrivare di conseguenza in conseguenza [demonstratio quia] ad una

verità incontestabile” . Nella Sintesi [demonstratio propter quid] al contrario, si prende ciò che è premesso [come ipotesi] per arrivare all’obiettivo [cioè alla tesi], e alla comprensione di ciò che si chiede. Mentre gli Antichi avevano

stabilito due sole specie [ossia fasi] dell’Analisi, la “Zetetica” e la “Poristica”, alle quali si riferisce in particolare la definizione di Teone, è tuttavia conveniente stabilire una terza fase, che chiamerò “Retica Esegetica”. Così con il metodo

della Zetetica si trova un’uguaglianza o una proporzione fra le grandezze cercate e quelle date; con il metodo della Poristica si esamina [si stabilisce], per mezzo della uguaglianza o della proporzione [stabilite nella fase della Zetetica] la verità di un teorema enunciato. Mediante il metodo dell’Esegetica, si ricava

[preceptum] la grandezza cercata dall’eguaglianza o dalla proporzione che la contiene. Conseguentemente l’Arte Analitica, che nel suo insieme abbraccia

questi tre metodi, potrà essere definita a giusto titolo “La scienza del ben trovare nelle matematiche”.

• […] Tutto ciò che riguarda la Zetetica viene stabilito dalla scienza logica per mezzo di sillogismi ed entimemi,

mediante i quali si stabiliscono le uguaglianze e le

proporzioni e che possono essere dedotte sia da semplici nozioni del senso comune, sia da teoremi dimostrati

mediante l’analisi medesima. Ma la forma sotto la quale si deve affrontare la Zetesi esige le risorse di un’arte speciale, che esercita il relativo ragionamento non su numeri, seguendo così l’errore degli antichi analisti, ma per mezzo di una Logistica nuova, molto più opportuna della Logistica numerosa, e che è più utile di questa a confrontare le grandezze tra loro, proponendo in primo luogo la legge delle grandezze omogenee e stabilendo successivamente, come si fa, la ben nota serie o scala delle grandezze che aumentano o diminuiscono da un genere all’altro proporzionalmente in base alla loro

potenza, per mezzo della quale sono designati e distinti nel confrontarli i loro gradi e i loro generi.

Capitolo II

Sui simboli di uguaglianza e di proporzione Il metodo analitico ammette come dimostrati i simboli [cioè le leggi] ben

conosciute delle uguaglianze e delle proporzioni che si trovano negli elementi [Elementi euclidei] come i seguenti:

1. Il tutto è uguale alla somma delle sue parti [“Totum suis partibus aequati”]

2. “Quae eidem aequantur, inter se esse aequalia” (Se A = B e A = C allora B = C)

3. “Si aequalia aequalibus addantur, tota esse aequalia” (Se A = B e C = D allora A + C = B + D)

4. “Si aequalia aequalibus auferantur, residua esse aequalia” (Se A = B e C = D allora A – C = B – C )

5. “Si aequalia per aequalia multiplicentur, facta esse aequalia” (Se A = B e C = D allora A  C = B  C )

6. “Si aequalia per aequalia dividantur, orta esse aequalia” (Se A = B e C

= D allora A/C = B/C) […]

16. “Si fuerint tres quatuorve magnitudines, & sit ut prima ad secundam, ita secunda illa, vel tertia quaepiam ad aliam, erit quod fit sub extremis terminis aequale ei quod sit sub mediis” (Se A : B = C : D allora A  D = B  C)

Si può dunque chiamare una proporzione “istituzione di un’eguaglianza” e un’uguaglianza “risoluzione di una proporzione”.

Capitolo III

Sulla legge delle grandezze omogenee dei gradi e dei generi delle grandezze confrontate

La legge fondamentale e immutabile delle uguaglianze o delle proporzioni, chiamata “Legge degli omogenei”, perché ella deriva dalla natura stessa delle grandezze omogenee, è la seguente:

- Gli omogenei devono essere comparati a omogenei [ «Homogenea homogeneis comparare» [Ciò sta a significare che possiamo stabilire

un’eguaglianza se e solo i monomi dei due membri dell’eguaglianza hanno tutti la stessa dimensione geometrica. In virtù di questa legge ogni

uguaglianza algebrica viene considerata come una uguaglianza geometrica]  

- “Si magnitudo magnitudini additur, haec illi homogenea est” e “Si

magnitudo magnitudini subducitur, haec illi homogenea est” (La somma o la differenza di due grandezze può essere effettuata se sono tra loro omogenee) - “Si magnitudo in magnitudinem ducitur, quae fit, huic & illi heterogenea est” (Se si fa il prodotto tra due grandezze la grandezza risultato sarà eterogenea con ciascuna delle precedenti)

- “Si magnitudo magnitudini adplicatur, haec illi heterogenea est”  

Ed è per aver trascurato questi principi che gli analisti antichi sono andati ciecamente o nell’oscurità.

Le grandezze che si elevano o si abbassano

proporzionalmente mediante la loro propria potenza da un genere ad un altro sono chiamate “Scalari”. Delle grandezze scalari la prima è:

1. lato (“latus” or “radix”) 2. quadrato (“quadratum”) 3. cubo (cubus)

4. quadrato-quadrato (“Quadratum-quadratum”) 5. quadrato-cubo (“Quadrato-cubus”)

6. cubo-cubo (“cubo-cubus”)

7. quadrato-quadrato-cubo (“Quadrato-quadrato-cubus”) 8. quadrato-cubo-cubo (“Qudrato-cubo-cubus”)

9. cubo-cubo-cubo (“Cubo-cubo-cubus”) ecc.

[…].

I generi delle grandezze confrontate nell’ordine con il quale si enunciano le scalari, sono: 

1. lunghezza (“Longitudo latitudove”) 2. piano (“Planum”)

3. solido (“Solidum”)

4. piano-piano (“Plano-planum”) 5. piano-solido (“Plano-solidum”) 6. solido-solido (“Solido-solidum”)

7. piano-piano-solido (“Plano-plano-solidum”) 8. piano-solido-solido (“Solido-solido-solidum”) 9. solido-solido-solido (“Solido-solido-solidum”) ecc.

[…]

• François Viète (1540 – 1603) Isagoge ad artem analyticem (1593)

• Esplicitazione come legge

(Assioma algebrico, nell’ambito

della logistica speciosa) del principio di omogeneità

• “Homogenea ad homogeneis comparari”

Es.: A cubus + B plano in A, aequetur C solido

TEORIA DELLE EQUAZIONI ALGEBRCHE IN VIÈTE Viète studia le equazioni algebriche nei seguenti lavori:

Effectionum Geometricarum Canonica Recensio (1593) (interpretazioni geometriche) De numrosa Potestatum ad Exegesin Resolutione (1600) (esempi di soluzioni di

equazioni numeriche)

De aequationum Emendatione (1615) (trasformazioni di polinomi che riguardano equazioni)

De aequationum Recognitione (1615): Teoria delle equazioni algebriche secondo i loro rapporti con le proporzioni continue. Questa teoria è così suddivisa:

- DE ZETETI, è quella parte della teoria in cui ad una equazione fino al terzo grado viene associato uno zetetico (problema), che a sua volta riguarda una proporzione continua.

- DE PLASMATE , dove è dato un metodo che consente di risolvere un’equazione trasformandola in un’altra equazione di grado più basso o uguale e più semplice.

- DE SYNCRISI, Questa parte di teoria consiste nel considerare coppie di equazioni trinomie tra loro collegate con lo scopo di rappresentare adeguatamente le radici

positive.

Consideriamo la Syncrisis . Essa è divisa in tre parti con

l’obiettivo di accoppiare equazioni nelle quali simmetricamente vengono scelte radici reali POSITIVE. Vediamo le prime due.

- "Aequationum ancipitum constitutiva". In questa (vedi sotto) si tratta solo di un cambio letterale del nome dell’incognita e quindi di avere sostanzialmente due equazioni identiche, così per

esempio, se A₁ è una radice positiva di (), allora A₁ = E₁ è anche radice positiva di () (visto che a Viète interessano le radici

positive).

() BA - A³ = Z () BE - E³ = Z

- "Aequalitatum contradicentium constitutiva". Consideriamo, per esempio, i seguenti due tipi di equazioni trinomie (in cui è importante osservare la forma):

() A⁴ + BA = Z () E⁴ - BE = Z

se A₁ è una radice negativa di () allora - A1 = E₁ è radice positiva di ().

Esempio numerico:

() A⁴ + 5A = 6 () E⁴ - 5E = 6

Le soluzioni reali di () sono 1 e -2 e quelle di () rispettivamente -1 e 2.

Ciò vuol dire che ad (), della quale si sceglie la radice 1 va associata la () della quale si sceglie la soluzione 2. Quindi, secondo questa impostazione, va considerata la coppia ((),())

-

() BA - A⁵ = Z () E⁵ - BE = Z

Se A₁ è radice negativa di () allora - A₁ = E₁ è radice positiva di ().

• Descartes nella Géométrie (1637) sembra avere come obiettivo, nel momento in cui

associa ad un luogo geometrico un’equazione, quello di algebrizzare la geometria. In questo contesto si ha il concetto di variabile.

• Tuttavia nella Géométrie vengono trattate

anche le equzioni algebriche.

• Descartes non considera più in modo preminente il principio di omogeneità dimensionale.

• Riguardo alle radici delle equazioni, Descartes ha mentalità analoga a quella di Viète. Anche se considera le soluzioni negative, tuttavia le ritiene pur sempre “fausses”

• In qualche modo Descartes formula quello

che verrà chiamato teorema fondamentale

dell’algebra.

Descartes in Géométrie libro III afferma

sostanzialmente che un’ equazione a seconda del suo grado ha altrettante soluzioni, comprese quelle

“false” [fausses], cioè negative (non considerando in questo contesto il campo complesso). Così ad es. dice Descartes che:

x³ – 9xx – 26x – 24  0

ha tre soluzioni reali positive: 2, 3 e 4. Mentre:

x⁴ - 4x³ – 19xx + 106x – 120  0

ha quattro soluzioni: tre positive, 2, 3 e 4 e una negativa [fausse], cioè - 5

• QUALCHE CONCLUSIONE

- Nell’arco di tempo considerato si

assiste ad un cambiamento evolutivo del linguaggio oggetto, cioè del modo di

scrivere l’algebra. La posizione di Viète in questo contesto è storicamente

cruciale

- Il legame con la geometria euclidea

diventa sempre meno essenziale. Il punto di vista cartesiano rivoluziona appunto

questo rapporto.