QUADERNO 1 E – 2019/2020 SETTIMANA 7 DEFINIZIONE Si dice

(1)

QUADERNO 1 E – 2019/2020

SETTIMANA 7 DEFINIZIONE

Si dice espressione letterale o espressione algebrica, una scrittura simbolica che indica una lista di operazioni da eseguire con numeri incogniti, indicati con delle lettere.

[pag.336 vol.Algebra 1]

ESEMPI

Per esempio per descrivere la formula dell'area di un triangolo si può usare l'espressione letterale

b h

2

, dove b sta per lunghezza della base, h sta per lunghezza dell'altezza.

Quando si scrive una lettera di seguito all'altra si intende descrivere l'operazione di moltiplicazione.

In fisica, la formula del moto rettilineo uniforme è un'uguaglianza tra espressioni letterali (equazione)

s=v t+s

₀ con s spazio percorso, v velocità (costante o media), t tempo impiegato, s0 spazio iniziale.

DEFINIZIONE

Si dice monomio una moltiplicazione di numeri noti e numeri incogniti.

ESEMPIO

3 2 a

²

b

è un monomio. Non facciamoci ingannare dalla vista di una linea di frazione e di un esponente. La linea di frazione fa parte della rappresentazione del numero noto, il numero razionale

3

2

, mentre la potenza

a

² è comunque una moltiplicazione dell'incognita a per se stessa.

OSSERVAZIONE

L'espressione da me indicata è (in apparenza) leggermente diversa da quella più diffusa sui libri di testo. Infatti anche il nostro libro di testo scrive “Si dice monomio un’espressione letterale in cui figurano soltanto moltiplicazioni tra lettere o tra lettere e numeri.” Tradizionalmente si è mantenuta questa definizione che privilegia l'aspetto visivo: io vedo delle cifre e delle lettere scritte di seguito. La scrittura di oggetti consecutivi viene giustamente interpretata come l'operazione di moltiplicazione ma l'interpretazione astratta si ferma qui: per il resto vediamo cifre (cioè numeri noti rappresentati da cifre) che moltiplicano lettere (cioè numeri incogniti rappresentati da lettere dell'alfabeto) ed ecco la moltiplicazione di numeri e lettere. Questo piccolo e tradizionale abuso di linguaggio ha il vantaggio di farci riconoscere “a vista” un monomio, ma ha lo svantaggio di confondere le idee a molti giovani studenti che non capiscono bene cosa sia e come si esegua la moltiplicazione tra numeri e lettere e finiscono col relegarla fra le cose strane e inutili della misteriosa matematica.

In realtà non c'è nessuna moltiplicazione tra numeri e lettere, bensì la solita vecchia moltiplicazione tra numeri, con tutte le sue proprietà e caratteristiche. Il numero è un concetto astratto e non deve essere confuso con le sue rappresentazioni legate al contesto.

(2)

DEFINIZIONE

Un monomio si dice scritto in forma normale, quando è scritto con un unico fattore noto, detto coefficiente del monomio, e con i fattori incogniti, basi di potenze ma non ripetuti. I fattori incogniti costituiscono la parte letterale del monomio.

ESEMPIO

3 2 a

²

b

è un monomio scritto in forma normale,

3

2

è il coefficiente,

a

²

b

è la parte letterale.

Il monomio

3 a b( 1

2 )a

non è scritto in forma normale, perché ci sono due fattori noti, uno dei quali fra le lettere, e l'incognita a è ripetuta due volte.

Si osservi che è sempre lo stesso monomio, basta eseguire le operazioni che siamo in grado di eseguire, ovvero

3× 1

2 = 3

2

e anche

a a=a

² . Le proprietà associativa e commutativa ci permettono di scrivere

3 a b( 1

2 )a= 3 2 a

²

b

OSSERVAZIONE

Nell'eseguire questo calcolo abbiamo applicato le proprietà associativa e commutativa della moltiplicazione:

3 a b( 1

2 ) a=3[(a b)( 1

2 )]a

Proprietà associativa.

3[(a b)( 1

2 )]a=3[( 1

2 )(ab)]a

Proprietà commutativa.

3[( 1

2 )(ab)]a=[3( 1

2 )](a b)a

[3( 1

2 )](a b)a= 3

2 a(b a)

3 2 a(b a)= 3

2 a(a b)

Proprietà commutativa.

3 2 a(a b)= 3

2 a

²

b

OSSERVAZIONE

In pratica, per ridurre a forma normale un monomio, basta eseguire tutte le operazioni che è possibile eseguire senza attribuire dei valori alle incognite. Nel momento in cui non è più possibile eseguire operazioni senza attribuire dei valori alle incognite, il monomio è ridotto in forma normale.

OSSERVAZIONE (CONSIGLIO PRATICO)

Nel ridurre a forma normale un monomio consiglio di seguire questo ordine:

• calcolo del segno del monomio finale;

• calcolo della parte nota (coefficiente);

• calcolo della parte incognita (parte letterale).

(3)

DEFINIZIONE

Due monomi si dicono simili se, ridotti a forma normale, hanno la stessa parte letterale.

ESEMPI

3 2 a

²

b

;

2 a

²

b

^;

a

²

b

^;

−49 a

²

b

sono tutti monomi simili tra loro.

3 2 a

²

b

;

3 2 a b

;

3 2 a b

² ;

3 2 a

² ;

3 2 b

;

3 2 x

³

y

⁴ non sono simili anche prendendone due alla volta. Si noti che i primi tre hanno le stesse incognite ma non gli stessi esponenti! Dire che hanno “la stessa parte letterale” signifca che leggo le stesse lettere con gli stessi esponenti!

OSSERVAZIONE

Nel libro di testi vengono definiti anche i “monomi uguali” e i “monomi opposti”. Tali definizioni sono a mio parere ridondanti, in quanto l'uguaglianza tra monomi posso semplicemente stabilirla in base all'uguaglianza tra numeri e allo stesso modo definisco i monomi opposti in base alla definizione di numeri opposti, ovvero di coppie di numeri che hanno somma 0.

DEFINIZIONE

Si dice grado del monomio, il numero che si ottiene addizionando gli esponenti delle incognite. Si dice grado rispetto ad una certa incognita, l'esponente di quella incognita.

ESEMPIO

3 2 a

²

b

è un monomio di grado 3 essendo 2+1=3. Rispetto ad a è di grado 2 e rispetto a b è di grado 1.

OSSERVAZIONE

I numeri noti potremmo considerarli dei monomi senza parte incognita, ovvero dei monomi di grado 0.

OSSERVAZIONE: ADDIZIONE TRA MONOMI SIMILI

Per poter eseguire addizioni e sottrazioni tra monomi, applicheremo la proprietà distributiva, ovvero la proprietà che potremmo descrivere con una espressione algebrica in questo modo:

a (b+c)=a b+a c

^essendo

a , b ,c∈ℝ

In particolare, dovendo eseguire un'addizione tra monomi simili, per esempio

3 2 a

²

b+ 5 3 a

²

b

potremo considerare la parte incognita come il fattore comune da raccogliere e le parti note come i coefficienti da addizionare:

3 2 a

²

b+ 5

3 a

²

b=( 3 2 + 5

3 ) a

²

b= 9+10

6 a

²

b= 19 6 a

²

b

In pratica eseguo l'addizione delle parti note e riscrivo la parte incognita senza modificarla.

OSSERVAZIONE: SOTTRAZIONE TRA MONOMI SIMILI

Trattando con coefficienti interi, razionali se non reali, comunque dotati di segno, la sottrazione posso vederla comunque come un'addizione e ripetere quanto detto nell'osservazione precedente.

Per esempio:

(4)

3 2 a

²

b−5

3 a

²

b= 3

2 a

²

b+(− 5

3 a

²

b)=( 3 2 − 5

3 ) a

²

b= 9−10

6 a

²

b=−1 6 a

²

b

In pratica eseguo la sottrazione delle parti note e riscrivo la parte incognita senza modificarla.

OSSERVAZIONE: MOLTIPLICAZIONE TRA MONOMI

Il prodotto di due monomi è a sua volta un monomio per definizione, dunque la moltiplicazione tra monomi non è altro che mettere in forma normale il prodotto.

OSSERVAZIONE: POTENZA DI MONOMI

Finché consideriamo esponenti naturali possiamo considerare la potenza come una moltiplicazione ripetuta. In particolare ricordiamo due proprietà delle potenze che adesso possiamo scrivere in forma di espressione algebrica:

(a b)

ⁿ

=a

ⁿ

b

ⁿ

( a

ⁿ

)

^m

=a

^{n m}

Quindi per calcolare la potenza di un monomio, basta applicare queste due proprietà, per esempio:

( 3

2 a

²

b)

³

= 27 8 a

⁶

b

³

In pratica ho elevato a potenza sia la parte nota che ciascuna delle incognite.

OSSERVAZIONE: DIVISIONE TRA MONOMI

I monomi sono numeri e quindi anche per l'operazione di divisione utilizziamo la definizione che già conosciamo, oltre che le proprietà delle potenze.

Per esempio se vogliamo eseguire la divisione:

( 9

5 a

³

b

⁴

c):( 3

2 a

²

b)=( 9 5 : 3

2 ) a

³⁻²

b

⁴⁻¹

c= 6 5 a b

³

c

In pratica eseguo la divisione tra le parti note e ottengo la parte incognita calcolando la differenza degli esponenti.

OSSERVAZIONE

I risultati di addizione, sottrazione e divisione non sono necessariamente dei monomi.

Le somme e le differenze di monomi simili sono ancora monomi, altrimenti ottengo quelli che tra poco definiremo come “polinomi”.

Il risultato di una divisione potrebbe essere un'espressione algebrica con incognite come divisori e quindi non sarebbe soddisfatta la definizione di monomio.

Per esempio

( 3

2 a

²

b):(2 a

³

)= 3

4 a

⁻¹

b= 3 4

b a

ESERCIZIO n.43 pag. 379

Riduci a forma normale i seguenti monomi e indicane poi il coefficiente (parte nota) e la parte letterale (parte incognita).

2 3 a

³

(−3a b)=− 2 3

3 1 a

³⁺¹

b=−2 a

⁴

b

Coefficiente:

−2

Parte letterale:

a

⁴

b x

3 (−2 x)(−6 x

²

y)=+1 3

2 1

6 1 x

¹⁺¹⁺²

y=4 x

⁴

y

Coefficiente:

4

Parte letterale:

x

⁴

y

(5)

(+ 2

5 ) a b(−3)a b=− 2 5

3 1 a

¹⁺¹

b

¹⁺¹

=− 6

5 a

²

b

² Coefficiente:

− 6

5

Parte letterale:

a

²

b

²

ESERCIZIO n.50 pag. 379 Scrivi sotto forma di monomio:

a) il triplo di un numero a;

b) la metà del quadrato di un numero a;

c) i tre quarti del prodotto tra il cubo di a e i due terzi del quadrato dello stesso numero a;

d) l'opposto del quadruplo del prodotto di due numeri dati x e y.

50a

“Il triplo” significa che devo moltiplicare per 3, dunque il triplo di

a

^è

3 a

^.

50b

“La metà” significa che bisogna dividere per 2, “il quadrato” significa che bisogna elevare alla seconda. La frase va letta immaginando delle parentesi:

la metà del [quadrato di (un numero

a

)]

la metà del [quadrato di (

a

^)]

la metà del [(

a

² ^)]

a

²

2

^oppure

1 2 a

²

50c

“i tre quarti del...”significa che devo moltiplicare per

3

4

ciò che viene dopo “del”; il “prodotto” è il risultato della moltiplicazione; “cubo” significa elevare alla terza. Dalla frase dobbiamo dedurre anche la priorità tra tutte queste operazioni, spesso la parola più vicina al “numero” è anche la prima operazione da effettuare. Ci servono di nuovo delle parentesi immaginarie:

i tre quarti del prodotto{ tra il (cubo di

a

)e [i due terzi del (quadrato dello stesso numero

a

^)]}

3

4

del prodotto {tra il

a

³ ^{e [}

2

3

⁽

a

² ^)]}

3

4

^{

a

³ ^[

2 3 a

² ^]}

3 4 { a

³

[ 2

3 a

²

]}= 1 2 a

⁵ 50d

“l'opposto” mi dice che devo cambiare il segno (alla fine); “quadruplo” significa che devo moltiplicare per 4; il “prodotto” è il risultato della moltiplicazione, nel caso di numeri incogniti è semplicemente un monomio, dunque:

l'opposto del [quadruplo del (prodotto di x e y)]

−[ 4(x y)]=−4 x y

(6)

ESERCIZIO n. 57 pag.380

Indica la somma dei seguenti monomi

3 a

⁴

;−5 a

⁴

;12 a

⁴

;−5 a

⁴ e riduci i termini simili.

Si tratta semplicemente di eseguire l'addizione:

3 a

⁴

+(−5 a

⁴

)+12 a

⁴

+(−5 a

⁴

)=(3−5+12−5)a

⁴

=5 a

⁴

ESERCIZIO n. 70 pag.380

Indica la somma dei seguenti monomi

4 3 a b

ⁿ

;−15,3 a b

ⁿ

;2, 6 a b

ⁿ e riduci i termini simili.

Si tratta di eseguire l'addizione:

4 3 a b

ⁿ

+(−15,3 a b

ⁿ

)+ 2,6 a b

ⁿ

=( 4

3 − 15, 3+2,6)a b

ⁿ

=( 4

3 −15− 1

3 +2+ 2

3 ) a b

ⁿ

=...

...= 4−45−1+6+2

3 a b

ⁿ

=− 34 3 a b

ⁿ

ESERCIZIO n.84 pag.381

Calcola le seguenti somme algebriche riducendo i termini simili:

1 6 x y+ 5

3 x−[ 1

24 x y−( 1

12 x y− 7

8 x y+ 1

6 x y)+2 x− 1 3 x]

Si tratta di eseguire le operazioni indicate rispettando le priorità delle operazione (esattamente come si faceva con le espressioni numeriche senza incognite (senza lettere).

1 6 x y+ 5

3 x−[ 1

24 x y−( 1

12 x y− 7

8 x y+ 1

6 x y)+2 x− 1

3 x]=...

...= 1

6 x y+ 5

3 x−[ 1

24 x y− 2−21+4

24 x y+2 x− 1

3 x ]=...

...= 1

6 x y+ 5

3 x−[ 1−(−15)

24 x y+ 6−1

3 x ]=...

...= 1

6 x y+ 5

3 x−[ 16

24 x y+ 5

3 x]= 1

6 x y+ 5

3 x−[ 2

3 x y+ 5

3 x ]=...

...= 1

6 x y+ 5 3 x− 2

3 x y− 5

3 x= 1−4

6 x y= 9

12 x y=− 3

6 x y=−1 2 x y

In un rettangolo il lato minore misura b, quello maggiore è i nove quarti del minore aumentato di 3.

Calcola la misura del perimetro.

Il lato maggiore ha dunque misura

9 4 b+3

.

Per calcolare il perimetro “in funzione di b”, dobbiamo semplificare l'espressione:

2 b+2( 9

4 b+3)=2b+ 9

2 b+6= 4+9

2 b+6= 13

2 b+6

(7)

La figura è, in parole povere, un quadrato di lato a con un triangolo equilatero saldato con un lato su mezzo lato del quadrato.

Questo particolare esagono concavo ha dunque tre lati lunghi a (lati del quadrato) e altri tre lati lunghi la metà di a (la metà del quarto lato del quadrato e gli altri due lati del triangolo equilatero).

Dunque il perimetro richiesto si esprime in questo modo:

3 a+3( a

2 )=3a+ 3

2 a= 6+3 2 a= 9

2 a

Calcola i seguenti prodotti di monomi, verificando, per ciascuno di essi, che il grado del prodotto è la somma dei gradi dei singoli fattori.

− 3

4 a x (1, 6 a)(+ 8

5 a

²

x

³

)

;

−2 x(+3 x y)

;

3 a

²

(−4 a b

²

)

Consiglio: prima il segno, poi il coefficiente (parte nota), poi parte letterale (parte incognita).

− 3

4 a x (1,6 a)(+ 8

5 a

²

x

³

)=− 3 4

5 3

8 5 a

¹⁺¹⁺²

x

¹⁺³

=−2 a

⁴

x

⁴

Il prodotto ha grado 8, i tre monomi di partenza avevano rispettivamente grado 2, 1, 5 la cui somma in effetti è 8.

−2 x(+3 x y)=−6 x

¹⁺¹

y

¹

=−6 x

²

y

Il prodotto ha grado 3, i monomi di partenza avevano rispettivamente grado 1,2 la cui somma in effetti è 3.

3 a

²

(−4 a b

²

)=−12 a

²⁺¹

b

²

=−12 a

³

b

²

Il prodotto ha grado 5, i monomi di partenza avevano rispettivamente grado 2,3 la cui somma in effetti è 5.

Esegui le somme indicate entro parentesi e poi moltiplica i monomi ottenuti.

( 1 2 x− 3

4 x)(0,2 x y+0,6 x y)

;

(a

³

b x− 1

2 a

³

b x+4 a

³

b x)(− 1

2 a

²

+a

²

) ( 1

2 x− 3

4 x)(0,2 x y+0,6 x y)=( 2−3

4 x)(0,8 x y)=(− 1 4 x)( 4

5 x y)=− 1

5 x

²

y

(8)

(a

³

b x− 1

2 a

³

b x+4 a

³

b x)(− 1

2 a

²

+a

²

)=( 2−1+8

2 a

³

b x)(−1+2

2 a

²

)=...

...= 9

2 a

³

b x ( 1

2 a

²

)= 9 4 a

⁵

b x

Semplifica la seguente espressione.

1 7 x

³

y

²

(−7 x z

²

)(−2 x y

²

)−4 x y z

²

(− 1

2 x

²

)(+x

²

y

³

) 1

7 x

³

y

²

(−7 x z

²

)(−2 x y

²

)−4 x y z

²

(− 1

2 x

²

)(+ x

²

y

³

)=...

...=+2 x

⁵

y

⁴

z

²

+2 x

⁵

y

⁴

z

²

=4 x

⁵

y

⁴

z

²

In un triangolo la base è 3a e l’altezza 6b. Determina l’area. Se la base viene aumentata di

7 2 a

e l’altezza diminuita di 2b, di quanto varia l’area?

Com'è noto, l'area del triangolo è la metà del prodotto delle misure di base e altezza. Dunque l'area richiesta è

1 2 (3 a)(6 b)=9 a b

Nella configurazione con le modifiche indicate, l'area si calcola mediante l'espressione:

1 2 (3 a+ 7

2 a)(6 b−2b)= 1

2 ( 6+7

2 a)(4 b)=13 a b

Dunque la variazione del'area è

13 a b−9 a b=4 a b

Calcola le seguenti potenze di monomi.

[(−2 a b

³

)

²

]

² ^;

[(+a

³

b)

²

]

³ ^;

[(−a x

²

y

³

)

³

]

² ^;

[(−a b

²

)

²

]

⁴ ^;

[(−a

²

b

³

)

²

]

³

[(−2 a b

³

)

²

]

²

=2

^2×2

a

^1×2×2

b

^3×2×2

=16 a

⁴

b

¹²

[(+a

³

b)

²

]

³

=a

^3×2×3

b

^1×2×3

=a

¹⁸

b

⁶

[(−a x

²

y

³

)

³

]

²

= a

^1×3×2

x

^2×3×2

y

^3×3×2

=a

⁶

x

¹²

y

¹⁸

[(−a b

²

)

²

]

⁴

=a

^1×2×4

b

^2×2×4

=a

⁸

b

¹⁶

[(−a

²

b

³

)

²

]

³

=a

^2×3×3

b

^3×2×3

=a

¹⁸

b

¹⁸

ESERCIZIO n.176 pag.389 Semplifica le seguenti espressioni:

(2 a)

²

(−b)

³

+(−a b)

²

(−3b)

;

(−3a

²

x)

³

(−a x)

²

−(−a x)

⁵

(3 a)

³

(2 a)

²

(−b)

³

+(−a b)

²

(−3b)=−4 a

²

b

³

−a

²

b

²

(3b)=−4 a

²

b

²

−3a

²

b

³

=−7 a

²

b

³

(9)

(−3 a²x )³(−a x )²−(−a x)⁵(3 a)³=−27 a⁶x³a²x²+a⁵x⁵27 a³=−27 a⁸x⁵+27 a⁸x⁵=0 ESERCIZIO n.183 pag.389

Semplifica la seguente espressione:

{[−(−x)

²

]

²

1 2 x

³

}

4

+ 1

4 x

²⁰

(− 1 4 x

⁸

)

{[−(−x)²]²1 2 x³}

4

+1

4x²⁰(−1

4x⁸)={x⁴1 2 x³}

4

− 1

16 x²⁸={1 2x⁷}

4

− 1

16x²⁸= 1

16 x²⁸− 1

16x²⁸=0 ESERCIZIO n.193 pag.390

Stabilisci se le seguenti divisioni sono possibili e, in caso affermativo, calcola il quoziente.

;

−12 a

⁴

b

²

:(4 a

²

b)

;

(−2 a

³

x

⁵

) :(a

²

x

⁴

)

Tutte le divisioni proposte sono possibili perché i gradi rispetto alle singole incognite dei dividendi sono maggiori dei gradi rispetto alle singole incognite dei divisori.

x y

⁴

z

⁵

:(−8 x y z

²

)=− 1

8 x

¹⁻¹

y

⁴⁻¹

z

⁵⁻²

=− 1

8 y

³

z

³

−12 a

⁴

b

²

:(4 a

²

b)=− 12

4 a

⁴⁻²

b

²⁻¹

=−3 a

²

b

(−2 a

³

x

⁵

):(a

²

x

⁴

)=−2a

³⁻²

x

⁵⁻⁴

=−2a x

Riduci i termini simili entro parentesi e poi esegui le divisioni indicate.

(a

⁴

b

²

−3a

⁴

b

²

):(−2a

²

b+a

²

b)

;

( 3

4 a

³

b

⁵

− 1

2 a

³

b

⁵

) :(−a b

²

+2a b

²

) (a

⁴

b

²

−3 a

⁴

b

²

) :(−2 a

²

b+a

²

b)=(−2a

⁴

b

²

) :(−a

²

b)=+2 a

²

b

( 3

4 a

³

b

⁵

− 1

2 a

³

b

⁵

):(−a b

²

+2a b

²

)=( 1

4 a

³

b

⁵

):(a b

²

)= 1 4 a

²

b

³

[( 2− 1

2 ) x

³

y

²

z]

²

:(− 3

2 x y

²

z)

²

− 3

4 x (x

³

y

²

z)

³

:(−x

²

y

²

z)

³

+(− 2 x

²

)

² Ricordiamoci sempre delle priorità delle operazioni:

1. potenze

2. moltiplicazioni/divisioni 3. addizioni/sottrazioni

e le parentesi che modificano tale ordine.

(10)

Inoltre possiamo togliere i segni “meno” che sono contenuti in una potenza di ordine pari e anche scrivere subito il segno “risultato” di moltiplicazioni e divisioni (il segno è una di quelle cose facili da sbagliare).

[(2− 1

2 ) x

³

y

²

z]

2

:(− 3

2 x y

²

z)

2

− 3

4 x( x

³

y

²

z)

³

:(−x

²

y

²

z)

³

+(−2 x

²

)

²

=...

...=[ 3

2 x

³

y

²

z]

2

:( 3

2 x y

²

z)

2

+ 3

4 x( x

³

y

²

z)

³

:( x

²

y

²

z)

³

+(2 x

²

)

²

=...

Sfruttare le proprietà delle potenze ci permette di risparmiare un po' di fatica:

...=(x

²

)

²

+ 3

4 x( x)

³

+(2 x

²

)

²

=...

...= x

⁴

+ 3

4 x

⁴

+4 x

⁴

=(1+ 3

4 +4) x

⁴

= 23 4 x

⁴

(1,83 a

³

r−3,75 a

³

r−2,3 a

³

r)

³

:(0,375 a

²

r−11 a

²

r)

³

(−2,5 a)−(0,3 a

²

)

²

+(0,8 3a

²

)

² Si può decidere di convertire subito la forma decimale nella forma di frazione, oppure tirare avanti, magari con la calcolatrice, finché si può, ovvero fino al momento delle divisioni. Il problema è che i numeri scritti in forma decimale periodica si gestiscono male con la calcolatrice. Quindi, anche se la cosa non vi piacerà, vi consiglio di passare subito alla forma di frazione.

(1,8 3 a³r−3,75 a³r −2,3 a³r )³:(0,375 a²r−11 a²r )³(−2,5 a)−(0,3 a²)²+(0,83 a²)²=...

...=(165

90 a³r−375

100a³r−21 9 a³r )

3

:( 375

1000a²r−11 a²r )

3

(−25

10a)−( 3 10a²)

2

+(75

90a²)a²=...

...=(11

6 a³r −15

4 a³r−7 3a³r )

3

:(3

8a²r−11 a²r )

3

(−5

2a)−( 3 10a²)

2

+(5 6a²)

2

=...

...=(44−90−56 24 a³r )

3

:(3−88 8 a²r )

3

(−5

2a )−( 3 10a²)

2

+(5 6a²)

2

=...

...=(−102 24 a³r )

3

:(−85 8 a²r )

3

(−5

2a)−( 3 10a²)

2

+(5 6a²)

2

=...

...=(17 4

8 85a)

3

(−5

2a )− 9

100a⁴+25 36a⁴=...

...=(2

5a )³(−5

2a)− 9

100a⁴+25 36a⁴=...

...= 8

125a³(−5

2a )− 9

100a⁴+25 36a⁴=...

...=− 4

25a⁴− 9

100a⁴+25

36a⁴=−144−81+625

900 a⁴=400 900a⁴=4

9a⁴ ESERCIZIO n.265 pag.395

Calcola il MCD e il mcm dei monomi del seguente gruppo

3 a

²

b

²

;−12 a

²

b

³

c

²

;18 b

²

c

⁴

I coefficienti sono interi, quindi possiamo calcolare il MCD e il mcm anche dei coefficienti.

Si osserva facilmente che il MCD è 3 e il mcm è 36.

Per quanto riguarda la parte incognita nel MCD ci può stare soltanto la lettera b con esponente 2

(11)

mentre nel mcm ci mettiamo tutte le lettere con l'esponente più alto.

In conclusione il MCD è

3b

² mentre il mcm è

36 a

²

b

³

c

⁴ DEFINIZIONE

Si dice polinomio una somma di monomi.

Un polinomio si dice ridotto in forma normale se fra gli addendi non ci sono monomi simili.

Facendo riferimento ad un polinomio in forma normale, si usa anche chiamarlo binomio se ha due addendi; trinomio se ha tre addendi, quadrinomio se ha quattro addendi.

OSSERVAZIONE

Da questo punto di vista il monomio è un polinomio con un solo addendo.

OSSERVAZIONE

Evidentemente un polinomio con coefficienti dei monomi tutti uguali a 0, sarà a sua volta uguale a 0, ovvero nullo. Altrettanto evidentemente due polinomi la cui somma sia 0 saranno opposti tra loro.

DEFINIZIONE

Si dice grado del polinomio, il grado più alto tra quelli dei suoi monomi addendi.

Un polinomio si dice omogeneo se tutti i suoi monomi addendi hanno lo stesso grado.

OSSERVAZIONE

Anche per i polinomi si può parlare di grado complessivo o rispetto ad una sola incognita, come per i monomi. Inoltre, tra i monomi addendi di un polinomio ci possono essere anche i monomi di grado 0, ovvero i termini noti.

OSSERVAZIONE

Un polinomio definisce una funzione, associando un possibile insieme di valori per le sue incognite al valore assunto dal polinomio eseguendo i calcoli descritti con quei valori. Negli anni che seguiranno sentirete parlare di “funzioni polinomiali”.

DEFINIZIONE

Due polinomi si dicono identicamente uguali se rappresentano la stessa funzione.

TEOREMA (Principio di identità)

Due polinomi in forma normale, sono formati da monomi rispettivamente uguali se e solo se sono identicamente uguali.

OSSERVAZIONE

Per eseguire addizioni e sottrazioni tra polinomi dobbiamo semplicemente rimettere in forma normale il polinomio che si ottiene.

Per eseguire moltiplicazioni e divisioni non dobbiamo far altro che applicare la proprietà distributiva.

Per eseguire potenze di monomi con esponente intero, non dobbiamo far altro che ripetere la moltiplicazione del polinomio per se stesso.

RICHIAMO

La proprietà distributiva è un assioma che lega le operazioni di addizione e moltiplicazione. Dati tre numeri

A , B ,C ∈ℝ

è vera l'uguaglianza:

(12)

A( B+C )=AB+AC

Il numero A è distribuito sulla somma B+C

Leggendo da destra verso sinistra invece si può dire che si raccoglie il fattore comune A, o anche che si mette in evidenza il fattore comune A

ESERCIZI n.316, 317, 318 pag. 397 (vero/falso)

316a FALSO, il monomio è un polinomio con un solo termine.

316b VERO, il monomio di grado 0 ha soltanto il coefficiente noto ma non la parte incognita.

316c FALSO, credo intenda “ridotto in forma normale”, il termine noto può esserci.

316d VERO, sempre intendendo “ridotto in forma normale”.

317a VERO, anche se l'ordine non importa.

317b VERO, se non avessero lo stesso grado la loro somma non farebbe 0.

317c VERO, altrimenti la somma non sarebbe 0.

317d Gli autori del libro intendono VERO anche se io dico “casomai il contrario...”

318a FALSO, il binomio è il polinomio con due monomi addendi (termini)

318b Gli autori dicono FALSO, intendendo con “qualsiasi polinomio” anche quelli non ridotti in forma normale.

318c FALSO, basta immaginare un monomio di quarto grado.

318d VERO

ESERCIZI n.319,320,321 pag.398

319a FALSO, omogeneo vuol dire chi i monomi addendi hanno lo stesso grado.

319b VERO, il termine noto è un monomio di grado 0.

319c FALSO, ci dice che è completo rispetto ad una lettera ma non esclude che ce ne possano essere altre: contati i cinque monomi che lo rendono completo mi basterebbe aggiungere un altro monomio addendo che non superi il quarto grado e contenga un'altra lettera.

319d VERO, in questo caso è stato specificato che contiene una sola lettera.

320a VERO, altrimenti non sarebbe completo.

320b Gli autori dicono FALSO, avendo specificato “rispetto a x” e in effetti il “termine noto”

rispetto ad x è il binomio 3+a. A leggere bene però hanno specificato “rispetto a x” solo per il grado.

320c FALSO, un coefficiente è 0 e quindi quel monomio in realtà non fa parte del polinomio.

320d VERO, anche se di nuovo non è ben precisato “termine noto” rispetto a cosa.

321a VERO

321b FALSO, per esempio nel caso n=2 il secondo termine non è un monomio e quindi tutto quanto non può essere una somma di monomi.

321c VERO, perché sia un monomio n deve essere almeno 3.

321d VERO, n=2

Riduci a forma normale il seguente polinomio:

2 x 1

2 y+3 x

²

−(−3) x

2 y+4 x

²

Così come già detto per i monomi, per ridurre in forma normale in pratica si eseguono tutti i calcoli che si riescono a fare.

2 x 1

2 y+3 x

²

−(−3) x

2 y+4 x

²

=x y+3 x

²

+ 3

2 x y+4 x

²

= 5

2 x y+7 x

²

(13)

Determina il grado rispetto a ciascuna lettera presente e il grado complessivo dei seguenti polinomi.

− 4

5 a b c

²

− 1

3 a

³

b c+ 1

2 a b

²

− 3

4 b

³

c

²

+2 a b c

−a

²

b c

²

x y−a

³

b

²

x+4 a x

³

−a

³

y+3 a y z

² Il primo polinomio ha grado complessivo 5

Rispetto ad a ha grado 3; rispetto a b ha grado 3, rispetto a c ha grado 2 Il secondo polinomio ha grado complessivo 7

Rispetto ad a ha grado 3; rispetto a b ha grado 2, rispetto a c ha grado 2, rispetto ad x ha grado 3;

rispetto a y ha grado 1, rispetto a z ha grado 2.

Ordina i seguenti polinomi secondo le potenze crescenti di a e individua quelli completi:

a

⁴

+3 a

²

− 6 a+1−3a

³

3a−4 a

⁶

+2−3a

²

+5a

³

− 4

5 a

²

x y−4 x y

²

+5 a

³

−8a x

²

Il primo e il terzo sono completi, il secondo no perché mancano i termini di quinto e quarto grado.

a

⁴

−3 a

³

+3 a

²

−6 a+1

−4 a

⁶

+5 a

³

−3 a

²

+3a+2 5a

³

− 4

5 a

²

x y−8a x

²

−4 x y

²

ESERCIZI n.337,338 pag.399 (vero/falso) 337a VERO

337b VERO 337c VERO

337d FALSO, è

2 a

²

+a

³ 338a VERO

338b FALSO, avendo scritto P(x), calcoliamo il grado rispetto a x che è 3.

338c FALSO, con a=2 sparirebbe il primo monomio e il grado sarebbe 1.

338d VERO, nel primo guardo il grado rispetto a x e nel secondo rispetto ad a.

Dato il polinomio

P (x ; y)= x

³

+ x

²

y+ x y

²

+2 y

³ ^calcola

P (h ; h)

.

P (h ; h)=h

³

+h

²

h+h h

²

+ 2 h

³

=h

³

+h

³

+h

³

+2 h

³

=5 h

³

(14)

Determina per quali valori dei parametri i seguenti polinomi in x sono identicamente uguali.

k +2+x+3 x

²

+k x

³

7 x

³

+3 x

²

+x+9

Devo fare in modo che i monomi con lo stesso grado rispetto a x abbiamo lo stesso coefficiente.

Dunque deve essere:

k =7 k +2=9

Dunque va bene k=7

ESERCIZI n.349,350 pag.400 (vero/falso)

349a FALSO, se le incognite sono tutte diverse può essere anche un quadrinomio.

349b FALSO, dipende dalle incognite.

349c VERO, esempio

(2 a+3b)+(−3 b)

349d VERO, esempio

(2 a+3b+4 c)+(5 a+6 b−4 c)

350a FALSO, il grado può solo diminuire.

350b FALSO, la somma di polinomi è sempre un polinomio.

350c VERO, idem come sopra.

350d FALSO, idem come sopra.

Calcola le seguenti somme e differenze di polinomi, riducendo i termini simili.

3 x

²

−( 2 x−x

²

) (a+b)+(a+2 b) ( a+b)−(a+2b)

3 x

²

−( 2 x−x

²

)=3 x

²

−2 x+x

²

=4 x

²

−2 x (a+b)+(a+2 b)=a+b+a+2b=2 a+3b

(a+b)−(a+2b)=a+b−a−2 b=−b

Calcola le seguenti somme e differenze di polinomi, riducendo i termini simili.

(3 a

ⁿ

+ x

ⁿ⁺¹

)+( 2 a

ⁿ

+a

²

b

²⁺ⁿ

)−( 5 x

¹⁺ⁿ

+2 a

²

b

²⁺ⁿ

) (3 a

ⁿ

+ x

ⁿ⁺¹

)+( 2 a

ⁿ

+a

²

b

²⁺ⁿ

)−(5 x

¹⁺ⁿ

+2 a

²

b

²⁺ⁿ

)=...

...=3a

ⁿ

+ x

ⁿ⁺¹

+2 a

ⁿ

+a

²

b

²⁺ⁿ

−5 x

¹⁺ⁿ

−2a

²

b

²⁺ⁿ

=5 a

ⁿ

−4 x

ⁿ⁺¹

−a

²

b

²⁺ⁿ

Calcola le seguenti somme algebriche riducendo i termini simili.

(−5 m

²

+7 m−4)−[−(3 m

²

−13 m)+(m

²

−8)]−{3m

²

−[(6 m

²

+m)−(−5m−4)]}

(−5 m

²

+7 m−4)−[−(3 m

²

−13 m)+(m

²

−8)]−{3m

²

−[(6 m

²

+m)−(−5m−4)]}=...

−5 m

²

+7 m−4−[−3 m

²

+13 m+m

²

−8]−{3 m

²

−[ 6 m

²

+m+5 m+4]}=...

−5 m

²

+7 m−4−[−2m

²

+13 m−8]−{3 m

²

−[ 6m

²

+6 m+4]}=...

−5 m

²

+7 m−4+2 m

²

−13 m+8−{3 m

²

−6 m

²

− 6 m−4}=...

(15)

−5 m

²

+7 m−4+2 m

²

−13 m+8−{−3m

²

−6 m−4}=...

−5 m

²

+7 m−4+2 m

²

−13 m+8+3m

²

+6 m+4=8

Calcola le seguenti somme algebriche riducendo i termini simili.

(−2 a b)

²

−(−2 a

²

b

²

)

³

−[32 a

²

b

²

(− 1 2 a b)

4

+3 a

²

b

²

]−[−(−a b)

³

]

²

(−2 a b)

²

−(−2 a

²

b

²

)

³

−[32 a

²

b

²

(− 1 2 a b)

4

+3 a

²

b

²

]−[−(− a b)

³

]

²

=...

...=4 a

²

b

²

+8 a

⁶

b

⁶

−[32 a

²

b

²

( 1

16 a

⁴

b

⁴

)+ 3a

²

b

²

]−a

⁶

b

⁶

=...

...=4 a

²

b

²

+8 a

⁶

b

⁶

−[2 a

⁶

b

⁶

+3 a

²

b

²

]−a

⁶

b

⁶

=...

...=4 a

²

b

²

+8 a

⁶

b

⁶

−2 a

⁶

b

⁶

−3 a

²

b

²

−a

⁶

b

⁶

=a

²

b

²

+5 a

⁶

b

⁶

I tre lati di un triangolo sono rispettivamente 3a;4a;5a; si aumenta il primo lato di 2b, il secondo lato di ¼ b e il terzo lato di ¾ b. Qual è la differenza tra il perimetro del nuovo triangolo e quello del triangolo dato? Qual è il perimetro del nuovo triangolo?

Il perimetro del primo triangolo è ovviamente:

3 a+4 a+5a=12 a

La differenza tra il vecchio e il nuovo perimetro è ovviamente:

2 b+ 1 4 b+ 3

4 b=3 b

Il perimetro del nuovo triangolo è dunque

12 a+3b

ESERCIZIO n.398 pag.403 Calcola il seguente prodotto:

0,16(−1,2 a

⁵

x+0,48 a

³

x

³

−3,6a x

⁵

)

Qualcuno si ostinerebbe a calcolare tutto in forma decimale, facendo pasticci per colpa di quella forma periodica; qualcun altro particolarmente zelante metterebbe tutto in forma di frazione, magari sbuffando... propongo un onesto compromesso, scriviamo in forma di frazione soltanto il numero scritto in forma periodica:

0,16(−1,2 a

⁵

x+0,48 a

³

x

³

−3,6a x

⁵

)= 1

6 (−1,2a

⁵

x+0,48 a

³

x

³

−3,6 a x

⁵

)= ...

...=−0,2 a

⁵

x+0,08 a

³

x

³

−0,6 a x

⁵

ESERCIZIO n.401 pag.403 (completare)

−5 x

²

(−3 x

³

−2 y

²

)=15 x

⁵

+10 x

²

y

²

a

³

b

²

( a

¹

b

³

+2b

²

)=a

⁴

b

⁵

+2 a

³

b

⁴ ESERCIZIO n.407 pag.403

Semplifica la seguente espressione

−a

²

( a b

³

−a

²

b

²

)+a b

²

(−a

²

b+2a

³

)

−a

²

( a b

³

−a

²

b

²

)+ a b

²

(−a

²

b+2 a

³

)= ...

...=−a

³

b

³

+a

⁴

b

²

−a

³

b

³

+2 a

⁴

b

²

=− 2a

³

b

³

+3 a

⁴

b

²

(16)

ESERCIZIO n.413 pag.403 Semplifica la seguente espressione

− 3 8 s

³

( 2

3 s

²

− 2 9 s+ 6

5 )−(− 3

10 s

³

+ 1

2 s

²

− 6 25 s) 5

6 s

²

− 3 8 s

³

( 2

3 s

²

− 2 9 s+ 6

5 )−(− 3

10 s

³

+ 1

2 s

²

− 6 25 s) 5

6 s

²

=...

...=− 1

4 s

⁵

+ 1

12 s

⁴

− 9

20 s

³

+ 1

4 s

⁵

− 5

12 s

⁴

+ 1

5 s

³

=− 4

12 s

⁴

− 5

20 s

³

=− 1

3 s

⁴

− 1 4 s

³

ESERCIZIO n.420 pag.404 Semplifica la seguente espressione:

(− 2 3 a

³

)

2

−{−3 a(2 a

⁴

+1)−[−2 a

³

(3+a)](−a)

²

}+ 14

9 (−a

³

)

²

(− 2 3 a

³

)

2

−{−3 a(2 a

⁴

+1)−[−2 a

³

(3+a)](−a)

²

}+ 14

9 (−a

³

)

²

=...

...= 4

9 a

⁶

−{−6 a

⁵

+3a−[−6 a

³

−2 a

⁴

]a

²

}+ 14

9 a

⁶

=...

...= 4

9 a

⁶

−{−6 a

⁵

+3a+6 a

⁵

+2 a

⁶

}+ 14

9 a

⁶

=...

...= 4

9 a

⁶

+3 a−2 a

⁶

+ 14

9 a

⁶

=3 a

ESERCIZIO n.421 pag.404 Semplifica la seguente espressione:

−2 x

³

[−3 x(2 x−1)+6 x(1+x)]+(−3 x

²

)

²

( 2−3 x)

−2 x

³

[−3 x(2 x−1)+6 x(1+ x)]+(−3 x

²

)

²

( 2−3 x)=...

...=−2 x

³

[−6 x

²

+3 x+6 x+6 x

²

]+ 9 x

⁴

( 2−3 x)=...

...=−2 x

³

[ 9 x]+18 x

⁴

−27 x

⁵

=−18 x

⁴

+18 x

⁴

−27 x

⁵

=−27 x

⁵

In un triangolo rettangolo un cateto misura x; l’altro cateto è il doppio del primo aumentato di 3y.

Calcola la misura dell’area. Se si dimezza il primo cateto e si diminuisce di 7y il secondo, di quanto varia l’area?

Un cateto misura x; l'altro misura 2x + 3y; l'area è dunque

1 2 x (2 x+3 y)= x

²

+ 3 2 x y

Dopo le modifiche descritte, l'area risulta

1 2

x

2 (2 x+3 y−7 y)= 1

4 x (2 x−4 y)= 1

2 x

²

−xy

Dunque la differenza:

x

²

+ 3

2 x y−( 1

2 x

²

−x y)= x

²

+ 3

2 x y− 1

2 x

²

+ x y= 1

2 x

²

+ 5

2 x y

(17)

ESERCIZI n.434.435 pag.406 (vero/falso) 434a FALSO, è sempre un trinomio.

434b VERO, è sempre la solita proprietà distributiva!

434c FALSO, occorre il viceversa e qualcos'altro.

434d VERO

435a FALSO nelle intenzioni degli autori, in realtà la seconda uguaglianza è vera.

435b VERO nelle intenzioni degli autori, dando per scontato che

a≠0∧a≠−1

435c FALSO, nella divisione tra potenze con la stessa base, dobbiamo calcolare la differenza tra gli esponenti.