(4) (b) Si mostri che il processo Zn:= Xn n + 2 `e una martingala

I Appello di Processi Stocastici 2013/14 Cognome:

Laurea Magistrale in Matematica Nome:

18 giugno 2014 Email:

Quando non `e espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi `e possibile usare tutti i risultati visti a lezione (compresi quelli di cui non `e stata fornita la dimostrazione).

Esercizio 1. In un’urna ci sono inizialmente una pallina nera e una bianca. A ogni istante pesco una pallina dall’urna, dopodich´e reinserisco nell’urna la pallina appena estratta insieme a un’altra dello stesso colore. Indichiamo con Xnil numero di palline nere presenti nell’urna dopo l’n-esima estrazione (quindi X₀ = 1, mentre X₁ vale 2 se la prima pallina estratta `e nera, mentre vale 1 se la pallina estratta `e bianca) e poniamo F_n := σ(X₀, . . . , X_n). Si osservi che, dopo l’n-esima estrazione e reimmissione, nell’urna ci sono in totale n + 2 palline.

(a) Si mostri che, per ogni k ∈ N, P(X_n+1= k|F_n) = X_n

n + 21_{k=Xn+1}+



1 − X_n n + 2



1_{k=Xn}. (4)

(b) Si mostri che il processo

Zn:= Xn

n + 2

`e una martingala.

(c) Si mostri che il limite Z∞ := lim_n→∞Z_n esiste finito q.c.. Per quali valori di p ∈ [1, ∞) la convergenza ha luogo in L^p? Quanto vale E[Z∞]?

(d) Si mostri che

P(Xn+1= k) = k − 1

n + 2P(Xn= k − 1) +



1 − k n + 2



P(Xn= k) .

(e) Si mostri che P(X_n = k) = _n+1¹ 1{k∈{1,2,...,n+1}} per ogni n ∈ N0, k ∈ N, ossia Xn ha distribuzione uniforme nell’insieme {1, 2, . . . , n + 1}.

[Sugg. Si pu`o usare l’induzione su n ∈ N0.]

(f) (*) Si determini la distribuzione di Z∞.

Soluzione 1. (a) Fn `e generata dagli eventi A := {X1 = k1, . . . , Xn = kn}, quindi basta verificare che i membri destro e sinistro di (4) integrati su A coincidono. Si ha

E[P(X_n+1= k|F_n)1_A] = E[E[1_{Xn+1=k}|F_n]1_A] = E[E[1_{Xn+1=k}1_A|F_n]] = E[1_{Xn+1=k}1_A]

= P({Xn+1 = k} ∩ A) = P(A) P(Xn+1= k|A)

= P(A) P(Xn+1= k|X1= k1, . . . , Xn= kn)

= P(A)

 k_n

n + 21{k=kn+1}+ n + 2 − k_n

n + 2 1{k=kn}

 ,

dove nell’ultima uguaglianza abbiamo usato il fatto che, condizionalmente all’evento {X₁ = k1, . . . , Xn= kn}, la pallina n+1-esima `e scelta uniformemente tra le n+2 presenti nell’urna, di cui k_n sono nere. D’altro canto, integrando il membro destro di (4) sullo stesso evento

2

A = {X1= k1, . . . , Xn= kn} si ottiene la stessa espressione:

E

 Xn

n + 21_{k=Xn+1}+



1 − Xn

n + 2



1_{k=Xn}



1_{{X1=k1,...,Xn=kn}}



=

 kn

n + 21{k=k_n+1}+n + 2 − kn

n + 2 1{k=k_n}



E1_{{X1=k1,...,Xn=kn}}

=

 k_n

n + 21_{k=kn+1}+n + 2 − k_n

n + 2 1_{k=kn}



E1_{{X1=k1,...,Xn=kn}} . (b) Il fatto che Zn sia un processo adattato e in L¹ `e immediato; inoltre si ha

E[Xn+1|F_n] =X

k∈N

k P(Xn+1= k|Fn) = Xn



1 − Xn

n + 2



+ (Xn+ 1) Xn

n + 2 = n + 3 n + 2Xn, da cui segue che E[Zn+1|F_n] = Zn.

(c) Essendo una martingala positiva, Z∞esiste ed `e q.c. finita. Inoltre, essendo 1 ≤ Xn≤ n + 1, si ha 0 ≤ Z_n≤ 1, quindi per convergenza dominata la convergenza ha luogo in L^p per ogni p ∈ [1, ∞). In particolare E[Z∞] = limn→∞E[Zn] = E[Z0] = ¹₂.

(d) Basta prendere il valore atteso di (4).

(e) Induzione su n ∈ N0.

(f) Calcolando la funzione di ripartizione `e facile mostrare che Zn converge in distribuzione verso una variabile aleatoria U (0, 1), quindi Z∞ ha distribuzione U (0, 1).

3

Esercizio 2. Siano A, B variabili aleatorie indipendenti, entrambe con distribuzione N (0, σ²).

(a) Si mostri che le variabili aleatorie C := A + B e D := A − B sono indipendenti. Qual `e la loro distribuzione?

(b) Si mostri che EA²+ B²

C = ¹₂C²+ σ².

[Sugg. Pu`o essere utile esprimere A e B in funzione di C e D.]

Sia ora (B_t)_t≥0 un moto browniano. Definiamo per n ∈ N0

Sn:=

2ⁿ

X

i=1

X_i⁽ⁿ⁾
2

, dove X_i⁽ⁿ⁾:= B ⁱ

2n

− Bi−1 2n .

(c) Il processo a due parametri (X_i⁽ⁿ⁾)_i∈N,n∈N0 `e gaussiano? Per n ∈ N0 fissato, le variabili aleatorie (X_i⁽ⁿ⁾)_i∈N sono indipendenti?

(d) Fissiamo ora i = 1. Si mostri che le variabili aleatorie (X₁⁽ⁿ⁾)_n∈N0 non sono indipendenti.

Introduciamo ora la filtrazione Fn:= σ(X_i⁽ⁿ⁾: i ∈ N).

(e) Si mostri che, per ogni n ∈ N0 e j ∈ N fissati, la variabile aleatoria X_2j−1⁽ⁿ⁾
2

+ X_2j⁽ⁿ⁾
2

` e indipendente dalle variabili X_j⁽ⁿ⁻¹⁾0 con j⁰ 6= j, e si deduca che

E

X_2j−1⁽ⁿ⁾
2

+ X_2j⁽ⁿ⁾
2

F_n−1 = E  X_2j−1⁽ⁿ⁾
2

+ X_2j⁽ⁿ⁾
2

X_j⁽ⁿ⁻¹⁾ .

[Sugg. Si noti che X_j⁽ⁿ⁻¹⁾= X_2j−1⁽ⁿ⁾ + X_2j⁽ⁿ⁾oppure si osservino con cura le filtrazioni rispetto a cui le variabili aleatorie in questione risultano misurabili]

(f) Si calcoli

E

X_2j−1⁽ⁿ⁾
2

+ X_2j⁽ⁿ⁾
2 F_n−1 e, raggruppando a due a due i termini di S_n si provi che

ES_n

F_n−1 = 1

2Sn−1+1 2, (g) si determinino a e b numeri reali positivi tali che

Mn:= aⁿ(Sn− b) sia una martingala.

Soluzione 2. (a) C e D sono congiuntamente gaussiane, perch´e ogni loro combinazione lineare pu`o essere scritta come combinazione lineare di A e B, che sono gaussiane indipendenti.

Per bilinearit`a Cov(C, D) = Var(A) − Var(B) = 0, quindi C e D sono indipendenti. Si ha E(C) = 0 e Var(C) = Cov(C, C) = Var(A) + Var(B) = 2σ², quindi C ∼ N (0, 2σ²), e lo stesso per D.

(b) Si ha A²+ B²= ¹₂[(A + B)²+ (A − B)²] = ¹₂[C²+ D²] da cui, usando l’indipendenza di C e D, E[A²+ B²|C] = ¹₂(C²+ E[D²]) = ¹₂C²+ σ².

(c) Il processo (X_i⁽ⁿ⁾)_i∈N,n∈N0 `e gaussiano perch´e ogni combinazione lineare di sue componenti

`e normale (in quanto combinazione lineare di componenti del moto browniano, che `e un processo gaussiano). Per n ∈ N fissato, le variabili aleatorie (X_i⁽ⁿ⁾)_i∈N sono scorrelate (in- crementi del moto browniano su intervalli disgiunti) e dunque indipendenti, essendo un processo gaussiano.

(d) Basta notare che Cov(X₁⁽ⁿ⁾, X₁^(m)) = Cov(B 1 2n, B 1

2m) = min{₂¹n,₂¹m} 6= 0.

4

(e) Abbiamo gi`a osservato che, per n ∈ N fissato, le variabili aleatorie (Xi<sup>(n)</sup>)<sub>i∈N</sub> sono indipen- denti; in particolare, per j ∈ N fissato, le famiglie di variabili aleatorie Y := (X<sub>2j−1</sub><sup>(n)</sup> , X<sub>2j</sub><sup>(n)</sup>) e Z := (X<sub>i</sub><sup>(n)</sup>)i∈N\{2j−1,2j}corrispondenti a indici disgiunti sono indipendenti. Di conseguenza, ogni funzione (misurabile) di Y `e indipendente da ogni funzione (misurabile) di Z. Notando che X_2j−1⁽ⁿ⁾
2

+ X_2j⁽ⁿ⁾
2

`

e funzione di Y , mentre X_j⁽ⁿ⁻¹⁾0 = X_2j⁽ⁿ⁾0−1+ X_2j⁽ⁿ⁾0 `e funzione di Z per j⁰ 6= j, segue che X_2j−1⁽ⁿ⁾
2

+ X_2j⁽ⁿ⁾
2

`e indipendente da X_j⁽ⁿ⁻¹⁾0 per j⁰6= j.

Possiamo scrivere Fn−1 = σ(G, H) con G := σ(X_j⁽ⁿ⁻¹⁾) e H := σ(X_j⁽ⁿ⁻¹⁾0 : j⁰ 6= j).

Ponendo W := X_2j−1⁽ⁿ⁾
2

+ X_2j⁽ⁿ⁾
2

, notiamo che H `e indipendente da σ(G, W ), quindi per una propriet`a della speranza condizionale E[W |σ(G, H)] = E[W |G], che `e proprio la relazione cercata.

(f) Applicando il punto (b), si ha che E[S_n|F_n−1] =

2ⁿ⁻¹

X

j=1

E(X_2j⁽ⁿ⁾)²+ (X_2j−1⁽ⁿ⁾ )²

F_n−1 =

2ⁿ⁻¹

X

j=1

E(X_2j⁽ⁿ⁾)²+ (X_2j−1⁽ⁿ⁾ )²

X_j⁽ⁿ⁻¹⁾

=

2ⁿ⁻¹

X

j=1

 1

2(X_j⁽ⁿ⁻¹⁾)²+ 1 2ⁿ



= 1

2S_n−1+1 2 quindi Z_n:= 2ⁿ(S_n− 1) `e una martingala.

(g) Per il punto precedente, E[Mn|F_n−1] = aⁿ(¹₂Sn−1+¹₂) − b. Uguagliando questa espressione a M_n−1 = aⁿ⁻¹(S_n−1− b) si trova che l’unica soluzione `e data da a = 2, b = 1.