Calcolo delle Probabilità 2012/13 – Foglio di esercizi 4
†Variabili aleatorie e distribuzioni.
Esercizi teorici
Esercizio 1. Sia X una variabile aleatoria reale. Si mostri che P(X ∈ A) ∈ {0, 1} per ogni A ∈ B(R) se e solo se X è q.c. costante (ossia esiste c ∈ R tale che X = c q.c.).
Equivalentemente: µ una probabilità su (R, B(R)) è tale che µ(A) ∈ {0, 1} per ogni A ∈ B(R) se e solo se µ = δc per un opportuno c ∈ R.
Esercizio 2 (Conservazione della legge). Siano X, Y due variabili aleatorie (non necessaria- mente definite sullo stesso spazio di probabilità) a valori nello stesso spazio misurabile (E, E ) e con la stessa legge: µX = µY. Sia (F, F ) uno spazio misurabile e ϕ : E → F un’applicazione misurabile. Si mostri che ϕ(X) e ϕ(Y ) sono variabili aleatorie con la stessa legge.
Esercizio 3. Siano X, Y due variabili aleatorie definite sullo stesso spazio di probabilità (Ω, A, P) a valori nello stesso spazio misurabile (E, E ). Si mostri che se X e Y sono q.c.
uguali, ossia P(X = Y ) = 1, allora X e Y hanno la stessa legge.
Variabili aleatorie discrete
Esercizio 4. 120 studenti sono suddivisi in 3 gruppi di 36, 40 e 44 studenti rispettivamente.
(a) Scelgo un gruppo a caso e indico con Y il numero di studenti nel gruppo scelto.
Determinare distribuzione e valor medio di Y .
(b) Scelgo uno studente a caso e indico con X il numero di studenti nello stesso gruppo dello studente scelto. Determinare distribuzione e valor medio di X.
Esercizio 5. Si considerino 3 urne identiche, ognuna contenente una pallina rossa e quattro palline verdi. Ogni urna viene assegnata ad uno di tre giocatori, e ogni giocatore estrae una pallina dalla propria urna. Un montepremi di 300 Euro viene diviso tra i giocatori che estraggono la pallina rossa.
(a) Sia X il numero di Euro vinti da ogni giocatore vincente (X = 0 se nessun giocatore estrae la pallina rossa). Determinare la densità discreta e il valor medio di X.
(b) Si supponga di considerare uno dei tre giocatori, chiamiamolo Tizio, e sia Y il numero di Euro vinti da Tizio. Si determinino la densità discreta e il valor medio di Y . Esercizio 6. Un’urna contiene n ≥ 1 palline bianche e 2 palline rosse. Si eseguono estrazioni ripetute senza reimmissione. Introduciamo la variabile aleatoria
X = numero di palline bianche estratte prima di estrarre una pallina rossa.
Si mostri che X(Ω) = {0, 1, . . . , n} e che la densità discreta di X è data da
pX(k) = 2
(n + 2)(n + 1)(n − k + 1) , ∀k ∈ X(Ω) . Si calcoli quindi E(X).
[Sugg.: si ricordi che Pn
k=1k = n(n+1)2 e Pn
k=1k2= n(n+1)(2n+1)
6 .]
†Ultima modifica: 13 novembre 2012.
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Esercizio 7. Si sceglie a caso un campione di 3 oggetti da un lotto di 100, di cui 10 sono difettosi. Si determinino la distribuzione e il valor medio del numero di oggetti difettosi X contenuti nel campione.
Esercizio 8. Un gioco a premi ha un montepremi di 512 euro. Vengono poste ad un concorrente 10 domande. Ad ogni risposta errata il montepremi viene dimezzato. Alla prima risposta esatta il concorrente vince il montepremi rimasto. Se non si dà alcuna risposta esatta non si vince nulla.
Un certo concorrente risponde esattamente ad una domanda con probabilità p ∈ (0, 1), indipendentemente dalle risposte alle altre domande. Indicando con X la vincita di questo concorrente, si determini la distribuzione di X e se ne calcoli il valor medio E(X).
Esercizio 9. Si consideri la seguente classica strategia per il gioco della roulette. Punto sempre sul rosso (la probabilità che esca il rosso in una giocata vale 1837; se si vince si riceve il doppio della posta). Alla prima giocata punto un euro: se vinco, mi ritiro con l’euro guadagnato e il gioco finisce; se perdo, raddoppio la posta alla seconda puntata; e così via.
Il mio capitale iniziale è pari a 1023 euro, quindi se perdo 10 volte di seguito devo smettere.
Sia X la differenza tra il mio capitale alla fine del gioco e all’inizio. Si calcolino la distribuzione e il valor medio di X.
[Sugg.: quali valori può assumere X?]
Esercizio 10. Sia Xnuna variabile casuale con distribuzione uniforme in {n1,n2, . . . ,n−1n , 1}, dove n ∈ N. Data f : [0, 1] → R continua, si calcoli il limite di E(f (Xn)) per n → ∞.
Variabili aleatorie generali
Esercizio 11. Sia X ∼ U (0, 1). Si mostri che Y := X2 è una variabile aleatoria assoluta- mente continua e se ne calcoli la densità.
Esercizio 12. Sia X un punto scelto uniformemente nell’intervallo [0, 2]. Qual è la probabilità che il triangolo equilatero di lato X abbia area maggiore di 1?
Esercizio 13. Una variabile aleatoria reale X è detta di Cauchy se è assolutamente continua con densità
fX(x) := 1 π
1
1 + x2 , x ∈ R .
(a) Si mostri che fX è effettivamente una densità e si calcolino P(X > 1) e P(X < −1).
(b) Si dimostri che la variabile aleatoria Y := 1/X è di Cauchy.
Esercizio 14. Sia X ∼ U (−1, 1) e sia Y := X+= max(X, 0).
(a) Si determini la funzione di ripartizione di Y . Si deduca che la distribuzione di Y non è né discreta né assolutamente continua.
(b) Si mostri che µY = αν + (1 − α)ν0, dove α ∈ (0, 1), ν è una probabilità discreta e ν0 una probabilità continua su R. (Equivalentemente: FY = αFν+ (1 − α)Fν0.)
Esercizio 15. Sia Z := (X, Y ) un vettore aleatorio con distribuzione uniforme nel disco unitario D1, dove poniamo Dr := {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ r2}. Si mostri che la variabile aleatoria R :=√
X2+ Y2, a valori in [0, 1], è assolutamente continua e se ne determini la distribuzione, mostrando che non è uniforme.
