Calcolo delle Probabilità 2013/14 – Foglio di esercizi 5
†Variabili aleatorie e distribuzioni.
Esercizi teorici
Esercizio 1 (Conservazione della legge). Siano X, Y due variabili aleatorie (non necessaria- mente definite sullo stesso spazio di probabilità) a valori nello stesso spazio misurabile (E, E ) e con la stessa legge: µX = µY. Sia (F, F ) uno spazio misurabile e ϕ : E → F un’applicazione misurabile. Si mostri che ϕ(X) e ϕ(Y ) sono variabili aleatorie con la stessa legge.
Esercizio 2. Siano X, Y due variabili aleatorie definite sullo stesso spazio di probabilità (Ω, A, P) a valori nello stesso spazio misurabile (E, E ). Si mostri che se X e Y sono q.c.
uguali, ossia P(X = Y ) = 1, allora X e Y hanno la stessa legge.
[Sugg. Si mostri che se P(A) = 1 allora P(A ∩ C) = P(C) per ogni evento C.]
Esercizi “pratici”
Esercizio 3. 120 studenti sono suddivisi in 3 gruppi di 30, 40 e 50 studenti rispettivamente.
(a) Scelgo un gruppo a caso e indico con Y il numero di studenti nel gruppo scelto.
Determinare distribuzione e valor medio di Y .
(b) Scelgo uno studente a caso e indico con X il numero di studenti nello stesso gruppo dello studente scelto. Determinare distribuzione e valor medio di X.
Esercizio 4. Si considerino 3 urne identiche, ognuna contenente una pallina rossa e quattro palline verdi. Ogni urna viene assegnata ad uno di tre giocatori, e ogni giocatore estrae una pallina dalla propria urna. Un montepremi di 300 Euro viene diviso tra i giocatori che estraggono la pallina rossa.
(a) Sia X il numero di Euro vinti da ogni giocatore vincente (X = 0 se nessun giocatore estrae la pallina rossa). Determinare la densità discreta e il valor medio di X.
(b) Si supponga di considerare uno dei tre giocatori, chiamiamolo Tizio, e sia Y il numero di Euro vinti da Tizio. Si determinino la densità discreta e il valor medio di Y . Esercizio 5. Un’urna contiene n ≥ 1 palline bianche e 2 palline rosse. Si eseguono estrazioni ripetute senza reimmissione. Introduciamo la variabile aleatoria
X = numero di palline bianche estratte prima di estrarre una pallina rossa.
Si mostri che X(Ω) = {0, 1, . . . , n} e che la densità discreta di X è data da
pX(k) = 2
(n + 2)(n + 1)(n − k + 1) , ∀k ∈ X(Ω) . Si calcoli quindi E(X).
[Sugg.: si ricordi che Pn
k=1k = n(n+1)2 e Pn
k=1k2= n(n+1)(2n+1)
6 .]
†Ultima modifica: 7 novembre 2013.
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Esercizio 6. Un gioco a premi ha un montepremi di 512 euro. Vengono poste ad un concorrente 10 domande. Ad ogni risposta errata il montepremi viene dimezzato. Alla prima risposta esatta il concorrente vince il montepremi rimasto. Se non si dà alcuna risposta esatta non si vince nulla.
Un certo concorrente risponde esattamente ad una domanda con probabilità p ∈ (0, 1), indipendentemente dalle risposte alle altre domande. Indicando con X la vincita di questo concorrente, si determini la distribuzione di X e se ne calcoli il valor medio E(X).
Esercizio 7. Si consideri la seguente classica strategia per il gioco della roulette. Punto sempre sul rosso (la probabilità che esca il rosso in una giocata vale 1837; se si vince si riceve il doppio della posta). Alla prima giocata punto un euro: se vinco, mi ritiro con l’euro guadagnato e il gioco finisce; se perdo, raddoppio la posta alla seconda puntata; e così via.
Il mio capitale iniziale è pari a 1023 euro, quindi se perdo 10 volte di seguito devo smettere.
Sia X la differenza tra il mio capitale alla fine del gioco e all’inizio. Si calcolino la distribuzione e il valor medio di X.
[Sugg.: quali valori può assumere X?]
Esercizio 8. Sia Xn una variabile casuale con distribuzione uniforme in {n1,n2, . . . ,n−1n , 1}, dove n ∈ N. Data f : [0, 1] → R continua, si calcoli il limite di E(f (Xn)) per n → ∞.
Esercizio 9. Scegliamo casualmente una permutazione di {1, . . . , n} in modo uniforme e indichiamone con X il numero di punti fissi. Si determini E(X).
[Sugg.: Non è necessario determinare la distribuzione di X.]
Esercizio 10. Una variabile aleatoria reale X è detta di Cauchy se è assolutamente continua con densità
fX(x) := 1 π
1
1 + x2 , x ∈ R .
(a) Si mostri che fX è effettivamente una densità e si calcolino P(X > 1) e P(X < −1).
(b) Si dimostri che la variabile aleatoria Y := 1/X è di Cauchy.
(c) Si mostri che X non ammette valor medio.
Esercizio 11. Sia X ∼ U (−1, 1) e sia Y := X+= max(X, 0).
(a) Si determini la funzione di ripartizione di Y . Si deduca che la distribuzione di Y non è né discreta né assolutamente continua.
(b) Si mostri che µY = αν + (1 − α)ν0, dove α ∈ (0, 1), ν è una probabilità discreta e ν0 una probabilità continua su R. (Equivalentemente: FY = αFν+ (1 − α)Fν0.)
Esercizio 12. Sia Z := (X, Y ) un vettore aleatorio con distribuzione uniforme nel disco unitario B1, dove poniamo Br := {(x, y) ∈ R2 : x2+y2≤ r2}. Si determinino le distribuzioni delle variabili aleatorie R :=√
X2+ Y2, X e Y .
