Esercitazioni di Probabilit` a e Statistica Foglio n. 4 (13 maggio 2009)
Teoria: propriet`a basilari della varianza.
Esercizio 1 (es. 70 dell’elenco). Un gioco a premi ha un montepremi di 512 euro.
Vengono poste ad un concorrente 10 domande. Ad ogni risposta errata il montepre- mi viene dimezzato. Alla prima risposta esatta il concorrente vince il montepremi rimasto. Se non si d`a alcuna risposta esatta non si vince nulla. Un certo concorrente risponde esattamente ad una domanda con probabilit`a p ∈ (0, 1), indipendentemente dalle risposte alle altre domande. Indicando con X la vincita di questo concorrente, si determini la distribuzione di X e se ne calcoli il valor medio E(X).
[X(Ω) = {5122k = 29−k}0≤k≤9∪ {0}, pX(29−k) = (1 − p)kp, pX(0) = (1 − p)10, E(X) = P9
k=029−k(1 − p)kp = 29pP9
k=0(1−p2 )k = 29p(1 − (1−p2 )10)/(1+p2 )]
Esercizio 2 (simile all’es. 73 dell’elenco). Si sceglie a caso un campione di 3 oggetti da un lotto di 100, di cui 10 sono difettosi. Si determinino la distribuzione, il valor medio e la varianza del numero di oggetti difettosi X contenuti nel campione.
[X(Ω) = {0, 1, 2, 3}, pX(k) = 10k 90
3−k/ 1003 ' {0.73, 0.25, 0.025, 0.00074}, E(X) = pX(1)+2 pX(2)+3 pX(3) ' 0.3, E(X2) = pX(1)+4 pX(2)+9 pX(3) ' 0.35, Var(X) = E(X2) − E(X)2 ' 0.26]
Esercizio 3 (versione ampliata dell’es. 67 dell’elenco). Sia X una variabile casuale a valori in N ∪ {0}. Si mostri che
E(X) =
∞
X
n=1
P (X ≥ n) ,
facoltativo: E(X2) =
∞
X
k=1
(2k − 1)P (X ≥ k)
. [E(X) = P∞
k=1k P (X = k) = P∞ k=1
Pk
n=1P (X = k) = P∞ n=1
P∞
k=nP (X = k) = P∞
n=1P (X ≥ n). La seconda relazione segue dalla prima, notando che P (X2 ≥ n) = P (X ≥√
n) = P (X ≥ k) per ogni n ∈ {(k − 1)2 + 1, . . . , k2}.]
Esercizio 4 (simile all’es. 72 dell’elenco). Si considerino 3 urne identiche, ognuna contenente una pallina rossa e quattro palline verdi. Ogni urna viene assegnata ad uno di tre giocatori, e ogni giocatore estrae una pallina dalla propria urna. Un montepremi di 300 Euro viene diviso tra i giocatori che estraggono la pallina rossa.
(a) Sia X il numero di Euro vinti da ogni giocatore vincente (X = 0 se nessun giocatore estrae la pallina rossa). Determinare la densit`a e la media di X.
(b) Si supponga di considerare uno dei tre giocatori, chiamiamolo Tizio, e sia Y il numero di Euro vinti da Tizio. Si determinino la densit`a e la media di Y . [X(Ω) = Y (Ω) = {0, 300, 150, 100} = {x0, x1, x2, x3}, pX(xk) = 3k(15)k(45)3−k, pY(0) = 45, pY(xk) = 15 · k−12 (15)k−1(45)3−k per k = 1, 2, 3, E(X) = . . ., E(Y ) = . . .]
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