Siano X ∼ Γ(α, λ) e Y ∼ Γ(β, λ) variabili casuali indipendenti

Probabilit`a e Statistica (LT in Matematica) Prof. P. Dai Pra, seconda prova parziale 12/02/2008.

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TEMA B

ESERCIZIO 1. Siano X ∼ Γ(α, λ) e Y ∼ Γ(β, λ) variabili casuali indipendenti. Definia- mo Z := X + Y e U := _X+Y^Y . Mostrare che Z e U sono variabili casuali indipendenti, e determinarne la densit`a.

Soluzione. Per l’indipendenza di X e Y f_X,Y(x, y) = λ^α+β

Γ(α)Γ(β)x^α−1y^β−1e^−λ(x+y)1(0,∞)×(0,∞)(x, y) .

Introduciamo l’applicazione T : (0, ∞) × (0, ∞) → (0, ∞) × (0, 1) definita da T (x, y) :=

(x + y,_x+y^y ), cosicch´e (Z, U ) = T (X, Y ). L’applicazione T `e differenziabile e invertibile, con inversa T⁻¹(z, u) = (z(1 − u), uz) differenziabile. La matrice jacobiana di T⁻¹ vale

D(T⁻¹)(z, u) =1 − u z

−z z



=⇒ |D(T⁻¹)(z, u)| = z . Di conseguenza la densit`a congiunta di (Z, U ) vale

f_Z,U(z, u) = |D(T⁻¹)(z, u)| f_X,Y(T⁻¹(z, u))

= λ^α+β

Γ(α)Γ(β) z · (1 − u)^α−1z^α−1u^β−1x^β−1e^−λz1_(0,∞)(z) 1_(0,1)(u)

=

 λ^α+β

Γ(α + β) z^α+β−1e^−λz1_(0,∞)(z)  Γ(α + β)

Γ(α)Γ(β)(1 − u)^α−1u^β−11_(0,1)(u)

 . Il fatto che f_Z,U(z, u) si scriva come prodotto di due funzioni di z e di u rispettivamente mostra che Z e U sono indipendenti. Dato che il primo termine tra parentesi `e la densit`a di una Γ(α + β, λ), il suo integrale vale 1 e di conseguenza la densit`a marginale di U `e data da

f_U(u) = Γ(α + β)

Γ(α)Γ(β)(1 − u)^α−1u^β−11_(0,1)(u) . Un analogo ragionamento conduce a

f_Z(z) = λ^α+β

Γ(α + β)z^α+β−1e^−λz1_(0,∞)(z) , da cui Z ∼ Γ(α + β, λ) (fatto gi`a noto).

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ESERCIZIO 2. Siano X₁, . . . , X_n, T variabili casuali scalari indipendenti. Le variabili X₁, . . . , X_n hanno la stessa distribuzione, con E(X_i) = µ e Var(X_i) = σ² < ∞, mentre la variabile T prende valori in {1, . . . , n}.

a) Si spieghi perch´e, per i, j ∈ {1, . . . , n}, le variabili casuali X_i e 1{T ≥j} sono indipen- denti.

Si introduca la variabile S definita da S :=

n

X

i=1

X_i1{i≤T }.

b) Si mostri che E(S) = µ E(T ).

c) Si mostri che Cov(S, X_j) = σ²P (T ≥ j), per ogni j ∈ {1, . . . , n}.

Soluzione.

a) Dato che X_ie T sono indipendenti, per un risultato visto a lezione anche f (X) e g(Y ) sono indipendenti, qualunque siano le funzioni (misurabili) f e g. Dato che 1{T ≥j}= 1_[j,∞)(T ), la conclusione segue prendendo f = funzione identica e g = 1_[j,∞)(·).

b) Dato che |S| ≤ Pn

i=1|X_i| e le variabili X_i ammettono valor medio, segue che anche S ammette valor medio, e per linearit`a e indipendenza

E(S) =

n

X

i=1

E(X_i1_{{i≤T }}) =

n

X

i=1

E(X_i)P (T ≥ i) = µ

n

X

i=1

P (T ≥ i) = µ E(T ) .

c) Dato che |S| ≤ Pn

i=1|X_i| e le variabili X_i sono per ipotesi in L², segue che anche S ∈ L², per cui Cov(S, Xj) `e ben definita. Per linearit`a e indipendenza si ha che

E(SX_j) =

n

X

i=1

E(X_iX_j1_{{i≤T }}) =

n

X

i=1

E(X_iX_j)P (T ≥ i)

=X

i6=j

µ²P (T ≥ i) + E(X_j²)P (T ≥ j) .

D’altro canto, E(S)E(X_j) = µ²E(T ) = µ²Pn

i=1P (T ≥ i), da cui

Cov(S, X_j) = E(SX_j)−E(S)E(X_j) = E(X_j²)P (T ≥ j)−µ²P (T ≥ j) = σ²P (T ≥ j) .

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ESERCIZIO 3. Sia X₁, X₂, . . . una successione di variabili casuali scalari i.i.d. con di- stribuzione uniforme nell’intervallo (0, 1), definite su uno spazio di probabilit`a (Ω, A, P ).

Introduciamo per k ∈ IN l’evento A_k definiti da A_k =



X_k ≤ 2 3



e introduciamo la variabile casuale T : Ω → IN ∪ {+∞} definita per ω ∈ Ω da T (ω) := inf



k ≥ 1 : X_k(ω) ≤ 2 3

 .

a) Per ogni fissato n ∈ IN, si esprima l’evento {T = n} in termini degli eventi {A_k}_k∈IN.

b) Si determini la densit`a discreta p_T(n) di T , mostrando che P

n∈IN p^T(n) = 1.

Introduciamo la variabile Y := X_T, cio`e Y (ω) := X_{T (ω)}(ω).

c)* Si determini la funzione di ripartizione F_Y(x) di Y . (Sugg.: si calcoli innanzitutto P (Y ≤ x, T = n) per n ∈ IN.)

Soluzione.

a) {T = n} = A^c₁∩ . . . ∩ A^c_n−1∩ A_n

b) P (T = n) = P (A^c₁)ⁿ⁻¹· P (A₁) = ²₃(¹₃)ⁿ⁻¹, cio`e T ∼ Ge(²₃).

c) Si ha

P (Y ≤ x, T = n) = P (A^c₁∩ . . . ∩ A^c_n−1∩ A_n∩ {X_n≤ x}) . Dato che An∩ {Xn ≤ x} = {Xn≤ min(x,²₃)}, si ha

P (Y ≤ x, T = n) = 1 3

n−1

· P



X₁ ≤ min

 x,2

3



, da cui, sommando su n ∈ IN, si ottiene

P (Y ≤ x) = X

n∈IN

P (Y ≤ x, T = n) = 3 2P



X1 ≤ min

 x,2

3



=







0 x ≤ 0

3

2x 0 ≤ x ≤ ²₃ 1 x ≥ ²₃

.

Dunque Y `e distribuita uniformemente nell’intervallo (0,²₃).

3

ESERCIZIO 4. Sia (X_n)_n≥1 una successione di variabili casuali i.i.d. con distribuzione Ge(1/3) (per X ∼ Ge(p) si intende P (X = k) = p(1 − p)^k−1, k = 1, 2, . . .) . Sia Y_n il numero di componenti uguali a 1 nella n-pla (X₁, X₂, . . . , X_n). Con l’ausilio del Teorema del Limite Centrale determinare:

a) la probabilit`a (approssimata) che Y₁₀₀ sia maggiore o uguale a 35;

b) una successione (a_n)_n≥1 tale che

n→+∞lim P (Y_n≤ a_n) = 0.05.

Soluzione.

a) Introducendo le variabili W_i := 1{X_i=1}, possiamo scrivere Y₁₀₀ = P100

i=1W_i. Si noti che le variabili {W_i}_i≥1 sono i.i.d. con distribuzione Be(¹₃):

P (W_i = 1) = P (X_i = 1) = 1 3

 2 3

0

= 1 3.

Di conseguenza E(W_i) = ¹₃ e V ar(W_i) = ¹₃(1 − ¹₃) = ²₉. Posto W₁₀₀ := ^Y₁₀₀¹⁰⁰ il TLC (con l’approssimazione di continuit`a) d`a

P (Y₁₀₀ ≥ 35) = P (Y₁₀₀ ≥ 34.5) = P (W₁₀₀≥ 0.345)

= P





W₁₀₀− ¹₃ q2

9

√100 ≥ 0.345 −¹₃ q2

9

√100



≈ P (Z ≥ 0.25) , dove Z ∼ N (0, 1). Di conseguenza, usando le tavole della distribuzione normale,

P (Y₁₀₀ ≥ 35) ≈ P (Z ≥ 0.25) = 1 − Φ(0.25) = 1 − 0.6 = 0.4 . b) Per il TLC

P (Y_n ≤ a_n) = P

W_n ≤ a_n n



= P





W_n− ¹₃ q2

9

√n ≤

an

n − ¹₃ q2

9

√n





= P



Z ≤

an

n − ¹₃ q2

9

√n



+ o(1) = Φ





an

n − ¹₃ q2

9

√n



+ o(1) ,

dove Z ∼ N (0, 1) e o(1) indica una quantit`a che tende a zero per n → ∞. Da ci`o si vede che `e sufficiente scegliere (a_n)_n nel modo seguente:

an

n − ¹₃ q2

9

√n = Φ⁻¹(0.05) =⇒ a_n = n 3 +

√2

3 Φ⁻¹(0.05)√ n

(Dalle tavole della distribuzione normale si ricava che Φ⁻¹(0.05) ≈ −1.645.)

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