Esercitazione 4 di Calcolo Scienti co e Metodi Numerici 5 novembre 2019
1. Risolvere i seguenti sistemi lineari utilizzando la fattorizzazione P A = LU della matrice dei coe cienti:
x1+ x2 + 2x3 = 12 2x2+ x4 = 0
2x1+ x3+ x4 = −12 x1+ 2x2+ 2x4 = −12
x1+ x2 + 2x3 = 1 2x2 + x4 = 1 2x1 + x3+ x4 = 0 x1+ 2x2+ 2x4 = 1 Soluzione.
P =
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
, L =
1 0 0 0 0 1 0 0
1 2
1
2 1 0
1
2 1 −13 1
, U =
2 0 1 1 0 2 0 1 0 0 32 −1 0 0 0 16
.
Soluzione del primo sistema x = [−12, 0,12, 0]T. Soluzione del secondo sistema x = [−1, 0, 1, 1]T.
2. Utilizzando l'algoritmo di Gauss senza pivoting risolvere il seguente sistema:
4x1+ 2x2+ x3 + 2x4 = 9 6x1+ 2x2+ x3 = 3 2x1+ x2+ 3x3 + x4 = 7 5x1+ 2x2+ 7x3 = 8 Soluzione. x = [1, −2, 1, 4]T
3. Ricavare la fattorizzazione A = LU della matrice
A =
6 6 0 2 3 1 12 0 6 2 7 0 3 2 1 0
,
e utilizzarla per calcolare l'inversa di A e il suo determinante.
Soluzione.
L =
1 0 0 0
1
2 1 0 0
1 2 1 0
1 2
1 2
1
8 1
, U =
6 6 0 2
0 −2 12 −1
0 0 6 0
0 0 0 −12
A−1 =
0 23 0 −13 0 −56 −121 1 0 −13 16 0
1 2
1 2
1
4 −2
, det (A) = 36
4. Assegnata la matrice
A =
3 2 1 0 6 2 1 0 3 0 3 1 6 2 7 0
ricavare la fattorizzazione P A = LU e utilizzarla per il calcolo di A−1 e det(A).
Soluzione.
P =
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
, L =
1 0 0 0
1
2 1 0 0
1 0 1 0
1
2 −1 12 1
, U =
6 2 1 0 0 1 12 0 0 0 6 0 0 0 0 1
.
A−1 =
−13 13 0 0 1 −125 0 −121 0 −16 0 16 1 −12 1 −12
, det (A) = 36
