Esercitazione 7 di Calcolo Scientico e Metodi Numerici

Esercitazione 7 di Calcolo Scientico e Metodi Numerici 21 novembre 2019

1. (Esercizio 1, compito del 19/06/2018) Data la matrice

A =





γ 1 0 2 γ 2 0 1 γ





stabilire per quali valori del parametro reale γ la matrice è invertibile e per quali risulta denita positiva. Considerato il sistema Ax = b, con b = [1, 2, 3]^T, si studi al variare del parametro γ la convergenza del metodo di Jacobi e si calcoli la prima iterata partendo dal vettore x⁽⁰⁾ = [0, 1, 0]^T. Senza svolgere nessun calcolo e moti- vando opportunamente la risposta, si dica se nel caso γ = 5 il metodo di Gauss-Seidel converge.

Soluzione. La matrice A risulta invertibile per γ ∈ R \ {−2, 0, +2} e denita positiva per γ > 2. Il metodo di Jacobi converge per γ < −2 ∧ γ > 2. La prima iterata è x⁽¹⁾ = [0, 2/γ, 2/γ]^T. Per γ = 5 il metodo di Gauss-Seidel converge essendo la matrice strettamente diagonalmente dominante (condizione suciente per la convergenza, vedi Teorema 5.5 del libro).

2. Continuo dell'esercizio 5.1 del libro di testo, iniziato a lezione Data la matrice

A =





2α −1 0

−1 2α −1

0 −1 2α



,

stabilire per quali valori del parametro reale α il metodo di Gauss-Seidel, applicato al sistema lineare Ax = b, risulta convergente. Fissato un tale valore, calcolare le prime due iterate del metodo di Gauss-Seidel considerando termine noto e vettore iniziale

b = [2, 3, 4]^T, x⁽⁰⁾ = [0, 1, 0]^T.

Soluzione. Sfruttando la condizione necessaria e suciente per la convergenza, si trova che il metodo di Gauss-Seidel converge per α < −^√₂² ∧ α >

√ 2

2 . Ponendo, ad esempio, α = 1, le prime due iterate sono

x⁽¹⁾ = [3/2, 9/4, 25/8]^T, x⁽²⁾ = [9/8, 17/8, 17/16]^T. 3. (Esercizio 1, compito del 18/09/2018)

Si consideri il seguente sistema lineare







8x₁+ 2βx₃ = −2 βx₂ = −1

βx₁+ 4x₃ = 0 ,

dove β è un parametro reale. Stabilire per quali valori del parametro il sistema ammette una sola soluzione e per quali il metodo di Jacobi converge. Posto β = 2, si calcolino le prime due iterate del metodo di Jacobi, a partire da x⁽⁰⁾ = [1, 1, 1]^T. Risolto il sistema utilizzando il metodo di Gauss, si calcoli l'errore relativo, rispetto alla norma innito, che si commette utilizzando il metodo iterativo anzichè quello diretto.

Soluzione. Il sistema ammette una sola soluzione per β ∈ R \ {−4, 0, 4} e il metodo di Jacobi converge per −4 < β < 4. Le prime due iterate sono

x⁽¹⁾ = [−3/4, −1/2, −1/2]^T, x⁽²⁾ = [0, −1/2, 3/8]^T.

Essendo la soluzione del sistema lineare il vettore x = [−1/3, −1/2, 1/6]^T, l'errore relativo è pari a err∞ = ²₃.