Capitolo 8 – Frontiera efficiente e portafoglio ottimo
Obiettivi del capitolo:
• Dimostrare che, con N titoli rischiosi, la varianza del portafoglio tende alla covarianza media tra titoli
Se non esiste correlazione tra titoli, il rischio diminuisce al crescere di N (benefici
diversificazione)
• Ottimizzazione portafoglio (Markowitz):
Individuazione della frontiera a varianza minima, generalizzando a N titoli il
portafoglio di tangenza, portafoglio a varianza min e la CAL
Portafoglio ugualmente bilanciato
Un portafoglio ugualmente bilanciato è costituito da N titoli, ciascuno con peso 1/N
Ne studieremo media e varianza perché queste saranno simili anche per portafogli non esattamente bilanciati
Nel caso di due titoli, la varianza del portafoglio è
𝜎𝑝2 = 𝑤𝐴2𝜎𝐴2 + 𝑤𝐵2𝜎𝐵2 + 𝑤𝐴𝑤𝐵𝜌𝐴𝐵𝜎𝐴𝜎𝐵 Nel caso di un portafoglio ugualmente bilanciato
𝜎𝑝2 = 1
𝑁 𝜎𝑀2 + 𝑁 − 1
𝑁 𝑐𝑜𝑣𝑀
La varianza del portafoglio è uguale alla media ponderata della varianza -covarianza media
Portafoglio ugualmente bilanciato / 2
Nel caso di due titoli, la varianza del portafoglio è
𝜎𝑝2 = 𝑤𝐴2𝜎𝐴2 + 𝑤𝐵2𝜎𝐵2 + 𝑤𝐴𝑤𝐵𝜌𝐴𝐵𝜎𝐴𝜎𝐵 Nel caso di un portafoglio ugualmente bilanciato
𝜎𝑝2 = 1
𝑁 𝜎𝑀2 + 𝑁 − 1
𝑁 𝑐𝑜𝑣𝑀
• La varianza del portafoglio è uguale alla media ponderata della varianza - covarianza media
• Al crescere di N, la varianza tende a 0 se 𝑐𝑜𝑣𝑀 = 0, altrimenti a 𝑐𝑜𝑣𝑀
• Se varianze/covarianze uguali, 𝑐𝑜𝑣 = 𝜌𝜎2
Portafoglio ugualmente bilanciato / 3
• Se la correlazione tra tutte le coppie di titoli è 0, ogni titolo ha rendimento indipendente e il rischio di un titolo non dipende da fattori comuni a altri titoli
Rischio diversificabile (idiosincratico, unico), sparisce in un portafoglio diversificato
Rischio non diversificabile (di mercato), permane anche in un portafoglio ampio e diversificato
Il rischio di un portafoglio ugualmente ponderato/bilanciato è nullo
Un portafoglio con tanti titoli non correlati non ha rischio sistematico, perché shock+ sono bilanciati da shock-
Se invece 𝑐𝑜𝑣𝑀 ≠ 0 è più probabile che siano shock+/-, creando volatilità per intero portafoglio
Portafoglio ugualmente bilanciato / 4
Asse verticale: volatilità; asse orizzontale: N
• Se 𝑐𝑜𝑣𝑀 ≠ 0 il rischio non si annulla neanche se 𝑁 → ∞
• Se 𝑐𝑜𝑣𝑀 = 0 il rischio del portafoglio tende a zero al crescere di N
E’ importante detenere un portafoglio bilanciato composto da molti titoli
• Quando 𝑐𝑜𝑣𝑀 ≠ 0 la volatilità è 22,4% (var 5%)
• Quando 𝑐𝑜𝑣𝑀 = 0 la volatilità è 17,3% (var 3%)
Diversificando un portafoglio bilanciato, la volatilità si riduce di 5 punti
Ottimizzazione di portafoglio
Precedentemente (cap. 7) abbiamo visto che con due asset rischiosi possiamo rappresentare grafico tra rendimento atteso e volatilità di ciascun portafoglio
• La forma della curva dipende dal coefficiente di correlazione
Con N asset rischiosi, però, i coefficienti di correlazione da considerare sono
𝑁(𝑁−1)
2 (vedi matrice var-covar)
Il modello matematico di Markowitz serve a tracciare la curva che descrive le migliori combinazioni di rendimento atteso e rischio
Il portafoglio ottimo è quello che viene trovato applicando tale modello
Avremo sempre una frontiera a volatilità (varianza) minima
Ogni punto della curva descrive il rendimento atteso e il rischio di un portafoglio trovato risolvendo il problema matematico
Ottimizzazione di portafoglio / 2
Il portafoglio a volatilità globale min descrive la combinazione degli asset rischiosi che produce il rischio più basso possibile
La parte superiore è la frontiera efficiente
La frontiera efficiente descrive solo i portafogli il cui investimento è conveniente per un
investitore avverso al rischio che vuole max rendimento atteso per data volatilità
Per ogni livello di volatilità, offrono il
I portafogli degli investitori
Il portafoglio che combina asset risk-free e portafoglio rischioso genera combinazioni di
rendimento atteso e rischio che si collocano su una retta
• Il portafoglio di tangenza è
quello che supporta la CAL con il livello più elevato di Sharpe-
ratio
Per investire in modo efficiente è sufficiente combinare investimento in asset risk-free con investimento in portafoglio di tangenza (teorema di separazione)
I portafogli degli investitori / 2
La retta è il luogo dei portafogli più efficienti
Per data volatilità, il rendimento atteso che si ottiene scegliendo un portafoglio sulla retta è
maggiore del rendimento che si otterrebbe scegliendo un
portafoglio sulla curva
Per avere portafogli a vario livello di rischio e rendimento atteso è sufficiente variare il mix di investimento in risk-free e
portafoglio di tangenza
I portafogli degli investitori / 3
Per avere portafogli a vario livello di rischio e rendimento atteso è sufficiente variare il mix di investimento in risk-free e portafoglio di tangenza
• Non si modifica mai la composizione del portafoglio investito in asset
rischiosi, che mantiene la stessa struttura indipendentemente dal coefficiente di avversione al rischio
Titolo rischioso A B C
Portafoglio tangenza 25% 25% 50%
Investitore 1: 80% risk-free e 20% rischioso 5% 5% 10%
Investitore 2: 60% risk-free e 40% rischioso 10% 10% 20%
Ciò che distingue i due investitori è la quota investita nell’asset risk-free e non la composizione del portafoglio rischioso (portafoglio di tangenza)
I portafogli degli investitori / 4
Implicazioni per le scelte di investimento:
• Pur in presenza di N titoli rischiosi, ciò che conta è solo il portafoglio di tangenza
Rappresenta la struttura più efficiente
Più elevato rendimento atteso per ogni livello di volatilità
• Contrario a ciò che viene di solito suggerito, nella allocazione tra liquidità, azioni e obbligazioni
Chi è meno avverso al rischio dovrebbe investire con un rapporto più elevato tra azioni e obbligazioni
Asset allocation puzzle
La scelta del portafoglio ottimo
Per individuare la quota investita nell’asset risk-free e nel titolo rischioso (portafoglio di tangenza) un investitore risolve il problema di ottimo
𝑚𝑎𝑥𝑤1𝑈 = 𝐸𝑟𝑇 − 0,5 ∗ 𝐴 ∗ 𝜎𝑇2
Soggetto al vincolo rappresentato dalla CAL, dove 𝑤1è la quota investita nel portafoglio di tangenza
𝑚𝑎𝑥𝑤1𝑈 = [𝑤1𝐸𝑟𝑇 + (1 − 𝑤1)𝑟𝑓] − 0,5 ∗ 𝐴 ∗ 𝑤12𝜎𝑇2 𝛿𝑈
𝛿𝑤1 = 𝐸𝑟𝑇 − 𝑟𝑓 − 𝐴 ∗ 𝑤1𝜎𝑇2 = 0 𝑤1 = 𝐸𝑟𝑇 − 𝑟𝑓
𝐴 ∗ 𝜎𝑇2
La scelta del portafoglio ottimo / 2
𝑤1 = 𝐸𝑟𝑇 − 𝑟𝑓 𝐴 ∗ 𝜎𝑇2
Esempio: 𝐸𝑟𝑇 = 5%; 𝜎𝑇2 = 2%; 𝑟𝑓 = 1%; 𝐴 = 2 → 𝑤1 = 0,5 La quota investita nel portafoglio di tangenza (𝑤1):
• Aumenta al crescere del premio al rischio 𝐸𝑟𝑇 − 𝑟𝑓
• Diminuisce all’aumentare dell’avversione al rischio (A)
• Diminuisce all’aumentare della varianza del rendimento del portafoglio rischioso 𝜎𝑇2
La scelta del portafoglio ottimo / 3
𝑤1 = 𝐸𝑟𝑇 − 𝑟𝑓 𝐴 ∗ 𝜎𝑇2
Il portafoglio ottimo è individuato dalla tangenza tra curva indifferenza (CI) e CAL
• Una variazione di A modifica inclinazione CI e quindi individua diverso portafoglio ottimo
• A è difficile da stimare, ma è possibile «reverse engineering»
Partire dalla scelta storica del portafoglio ottimo e dedurre A
Esempio: se con 𝐸𝑟𝑇 − 𝑟𝑓 = 4%; 𝜎𝑇2 = 2% era 𝑤1 = 0,5 allora 0,5 = 4%
𝐴∗2% → 𝐴 = 4
