Capitolo 8 Frontiera efficiente e portafoglio ottimo

Testo completo

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Capitolo 8 – Frontiera efficiente e portafoglio ottimo

Obiettivi del capitolo:

• Dimostrare che, con N titoli rischiosi, la varianza del portafoglio tende alla covarianza media tra titoli

 Se non esiste correlazione tra titoli, il rischio diminuisce al crescere di N (benefici

diversificazione)

• Ottimizzazione portafoglio (Markowitz):

 Individuazione della frontiera a varianza minima, generalizzando a N titoli il

portafoglio di tangenza, portafoglio a varianza min e la CAL

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Portafoglio ugualmente bilanciato

Un portafoglio ugualmente bilanciato è costituito da N titoli, ciascuno con peso 1/N

Ne studieremo media e varianza perché queste saranno simili anche per portafogli non esattamente bilanciati

Nel caso di due titoli, la varianza del portafoglio è

𝜎𝑝2 = 𝑤𝐴2𝜎𝐴2 + 𝑤𝐵2𝜎𝐵2 + 𝑤𝐴𝑤𝐵𝜌𝐴𝐵𝜎𝐴𝜎𝐵 Nel caso di un portafoglio ugualmente bilanciato

𝜎𝑝2 = 1

𝑁 𝜎𝑀2 + 𝑁 − 1

𝑁 𝑐𝑜𝑣𝑀

 La varianza del portafoglio è uguale alla media ponderata della varianza -covarianza media

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Portafoglio ugualmente bilanciato / 2

Nel caso di due titoli, la varianza del portafoglio è

𝜎𝑝2 = 𝑤𝐴2𝜎𝐴2 + 𝑤𝐵2𝜎𝐵2 + 𝑤𝐴𝑤𝐵𝜌𝐴𝐵𝜎𝐴𝜎𝐵 Nel caso di un portafoglio ugualmente bilanciato

𝜎𝑝2 = 1

𝑁 𝜎𝑀2 + 𝑁 − 1

𝑁 𝑐𝑜𝑣𝑀

• La varianza del portafoglio è uguale alla media ponderata della varianza - covarianza media

• Al crescere di N, la varianza tende a 0 se 𝑐𝑜𝑣𝑀 = 0, altrimenti a 𝑐𝑜𝑣𝑀

• Se varianze/covarianze uguali, 𝑐𝑜𝑣 = 𝜌𝜎2

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Portafoglio ugualmente bilanciato / 3

• Se la correlazione tra tutte le coppie di titoli è 0, ogni titolo ha rendimento indipendente e il rischio di un titolo non dipende da fattori comuni a altri titoli

 Rischio diversificabile (idiosincratico, unico), sparisce in un portafoglio diversificato

 Rischio non diversificabile (di mercato), permane anche in un portafoglio ampio e diversificato

 Il rischio di un portafoglio ugualmente ponderato/bilanciato è nullo

 Un portafoglio con tanti titoli non correlati non ha rischio sistematico, perché shock+ sono bilanciati da shock-

 Se invece 𝑐𝑜𝑣𝑀 ≠ 0 è più probabile che siano shock+/-, creando volatilità per intero portafoglio

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Portafoglio ugualmente bilanciato / 4

Asse verticale: volatilità; asse orizzontale: N

• Se 𝑐𝑜𝑣𝑀 ≠ 0 il rischio non si annulla neanche se 𝑁 → ∞

• Se 𝑐𝑜𝑣𝑀 = 0 il rischio del portafoglio tende a zero al crescere di N

 E’ importante detenere un portafoglio bilanciato composto da molti titoli

• Quando 𝑐𝑜𝑣𝑀 ≠ 0 la volatilità è 22,4% (var 5%)

• Quando 𝑐𝑜𝑣𝑀 = 0 la volatilità è 17,3% (var 3%)

 Diversificando un portafoglio bilanciato, la volatilità si riduce di 5 punti

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Ottimizzazione di portafoglio

Precedentemente (cap. 7) abbiamo visto che con due asset rischiosi possiamo rappresentare grafico tra rendimento atteso e volatilità di ciascun portafoglio

• La forma della curva dipende dal coefficiente di correlazione

Con N asset rischiosi, però, i coefficienti di correlazione da considerare sono

𝑁(𝑁−1)

2 (vedi matrice var-covar)

 Il modello matematico di Markowitz serve a tracciare la curva che descrive le migliori combinazioni di rendimento atteso e rischio

 Il portafoglio ottimo è quello che viene trovato applicando tale modello

 Avremo sempre una frontiera a volatilità (varianza) minima

 Ogni punto della curva descrive il rendimento atteso e il rischio di un portafoglio trovato risolvendo il problema matematico

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Ottimizzazione di portafoglio / 2

Il portafoglio a volatilità globale min descrive la combinazione degli asset rischiosi che produce il rischio più basso possibile

 La parte superiore è la frontiera efficiente

La frontiera efficiente descrive solo i portafogli il cui investimento è conveniente per un

investitore avverso al rischio che vuole max rendimento atteso per data volatilità

 Per ogni livello di volatilità, offrono il

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I portafogli degli investitori

Il portafoglio che combina asset risk-free e portafoglio rischioso genera combinazioni di

rendimento atteso e rischio che si collocano su una retta

• Il portafoglio di tangenza è

quello che supporta la CAL con il livello più elevato di Sharpe-

ratio

 Per investire in modo efficiente è sufficiente combinare investimento in asset risk-free con investimento in portafoglio di tangenza (teorema di separazione)

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I portafogli degli investitori / 2

La retta è il luogo dei portafogli più efficienti

 Per data volatilità, il rendimento atteso che si ottiene scegliendo un portafoglio sulla retta è

maggiore del rendimento che si otterrebbe scegliendo un

portafoglio sulla curva

 Per avere portafogli a vario livello di rischio e rendimento atteso è sufficiente variare il mix di investimento in risk-free e

portafoglio di tangenza

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I portafogli degli investitori / 3

Per avere portafogli a vario livello di rischio e rendimento atteso è sufficiente variare il mix di investimento in risk-free e portafoglio di tangenza

• Non si modifica mai la composizione del portafoglio investito in asset

rischiosi, che mantiene la stessa struttura indipendentemente dal coefficiente di avversione al rischio

Titolo rischioso A B C

Portafoglio tangenza 25% 25% 50%

Investitore 1: 80% risk-free e 20% rischioso 5% 5% 10%

Investitore 2: 60% risk-free e 40% rischioso 10% 10% 20%

 Ciò che distingue i due investitori è la quota investita nell’asset risk-free e non la composizione del portafoglio rischioso (portafoglio di tangenza)

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I portafogli degli investitori / 4

Implicazioni per le scelte di investimento:

• Pur in presenza di N titoli rischiosi, ciò che conta è solo il portafoglio di tangenza

 Rappresenta la struttura più efficiente

 Più elevato rendimento atteso per ogni livello di volatilità

• Contrario a ciò che viene di solito suggerito, nella allocazione tra liquidità, azioni e obbligazioni

 Chi è meno avverso al rischio dovrebbe investire con un rapporto più elevato tra azioni e obbligazioni

 Asset allocation puzzle

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La scelta del portafoglio ottimo

Per individuare la quota investita nell’asset risk-free e nel titolo rischioso (portafoglio di tangenza) un investitore risolve il problema di ottimo

𝑚𝑎𝑥𝑤1𝑈 = 𝐸𝑟𝑇 − 0,5 ∗ 𝐴 ∗ 𝜎𝑇2

Soggetto al vincolo rappresentato dalla CAL, dove 𝑤1è la quota investita nel portafoglio di tangenza

𝑚𝑎𝑥𝑤1𝑈 = [𝑤1𝐸𝑟𝑇 + (1 − 𝑤1)𝑟𝑓] − 0,5 ∗ 𝐴 ∗ 𝑤12𝜎𝑇2 𝛿𝑈

𝛿𝑤1 = 𝐸𝑟𝑇 − 𝑟𝑓 − 𝐴 ∗ 𝑤1𝜎𝑇2 = 0 𝑤1 = 𝐸𝑟𝑇 − 𝑟𝑓

𝐴 ∗ 𝜎𝑇2

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La scelta del portafoglio ottimo / 2

𝑤1 = 𝐸𝑟𝑇 − 𝑟𝑓 𝐴 ∗ 𝜎𝑇2

Esempio: 𝐸𝑟𝑇 = 5%; 𝜎𝑇2 = 2%; 𝑟𝑓 = 1%; 𝐴 = 2 → 𝑤1 = 0,5 La quota investita nel portafoglio di tangenza (𝑤1):

• Aumenta al crescere del premio al rischio 𝐸𝑟𝑇 − 𝑟𝑓

• Diminuisce all’aumentare dell’avversione al rischio (A)

• Diminuisce all’aumentare della varianza del rendimento del portafoglio rischioso 𝜎𝑇2

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La scelta del portafoglio ottimo / 3

𝑤1 = 𝐸𝑟𝑇 − 𝑟𝑓 𝐴 ∗ 𝜎𝑇2

Il portafoglio ottimo è individuato dalla tangenza tra curva indifferenza (CI) e CAL

• Una variazione di A modifica inclinazione CI e quindi individua diverso portafoglio ottimo

• A è difficile da stimare, ma è possibile «reverse engineering»

 Partire dalla scelta storica del portafoglio ottimo e dedurre A

Esempio: se con 𝐸𝑟𝑇 − 𝑟𝑓 = 4%; 𝜎𝑇2 = 2% era 𝑤1 = 0,5 allora 0,5 = 4%

𝐴∗2% → 𝐴 = 4

figura

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Riferimenti

  1. var-covar
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