Dinamica trasversa

Introduzione agli acceleratori e loro applicazioni - Parte II:

Dinamica trasversa

Gabriele Chiodini

Istituto Nazionale di Fisica Nucleare

Sezione di Lecce

Lezioni per il Dottorato di Ricerca in Fisica dell’Università del Salento Anno accademico 2018-2019 II Semestre

(20 ore, 4 CFD)

Sommario

• Dinamica trasversa

• Bending: dipoli

• Oscillazioni di betatrone

• Focalizzazione forte: quadrupoli

• Funzione beta e tune

• ^Stabilità

• Emittanza e fascio

• Dispersione del momento

• Dispersione nei dipoli

• Cromaticita’ quadrupoli

Dinamica trasversa e longitudinale

• La dinamica longitudinale e’ quella lungo la direzione di accelerazione

• La dinamica trasversa e’ quella ortogonale alla direzione di accelerazione

• In prima approssimazione conviene considerarle separatamente (sincrotrone per adroni)

• Useremo il sincrotrone come esempio ma concetti

applicabili direttamente a Linac (piu’ semplice) e

ciclotroni (piu’ complicato)

Dinamica trasversa

Spegniamo la radiofrequenza V=0

• Dipoli magnetici mantengono le particelle lungo l’orbita

• Le particelle girano a energia (velocita’) costante

Il problema della dinamica trasversa

• La sorgente emette un numero enorme di particelle (ad esempio 10 ¹⁰ per pacchetto)

• Come fare a mantenere tutte queste particelle all’interno dell’acceleratore(appena toccano le pareti sono perse)

• Se il moto trasverso non e’ inferiore al raggio del tubo a vuoto le particelle sono perse

Iniezione o sorgente

Orbita ideale

Forza centrifuga = Forza centripeta

F

= ma = m v

ρ ⁼

pv ρ

Forza centripeta = Forza di magnetica

p

q = ρ ^{B p(GeV / c)}

z = 0.3 ρ ^(m)B(T)

rigidita’ magnetica

F

= qvB

Dipolo (blu)

B = µ

^nI h

dove μ

=4π10

H/m, n=numero di spire, I corrente nelle spire, h altezza del traferro

p

q = ρ ^{B p(GeV / c)}

z = 0.3 ρ ^(m)B(T)

rigidita’ magnetica 1

ρ ^{= 0.3}

B(T)

p(GeV / c)

Sezioni dritte e archi del sincrotrone

L=Sezioni dritte A=Archi

Φ=angolo 
 dell’arco

Lunghezza orbita = C = 4xL + 4xA

ρ=raggio 


di curvatura dell’arco Lunghezza arco = A=ρΦ[rad]

Bending arco = Φ[rad]=A/ρ

Somma du tutti gli archi (Φi) = 2π

• Archi riempiti di dipoli magnetici di deflessione per realizzare orbita chiusa.

• Sezioni dritte usate per: iniezione, esperimenti, cavita’ risonanti, estrazione.

• LHC ha 8 archi e 8 sezioni dritte

• Dipoli magnetici mantengono le particelle lungo la direzione di accelerazione

Sezioni dritte caso limite degli archi: raggio=infinito e B=0.

Orbita reale

orbita reale

r = ρ + x y = y s = vt

"

# $

% $

orbita ideale

r = ρ y = 0 s = vt

"

# $

% $

v

= 0 v

= 0 v

= v

!

"

##

$

# #

v

= v

v

= v

v

~ v

!

"

##

$

# #

posizioni

velocita’

v

/ v = x' v

/ v = y'

v

~ v

!

"

##

$

# #

angoli trasversi

orbita ideale

orbita reale

L’orbita reale e’ piu’ semplice descriverla come deviazione dall’orbita ideale

Orbita ideale non ha moto trasverso: ρ~1-10m, x=y=0 Orbita reale ha moto trasverso: ρ~1-10m, x,y~mm


oscillazioni di betatrone

Spazio fasi trasverso: (x,y,x’,y’)

Sistema di riferimento

di Frenet (x,y,s) e lungo orbita ideale

Distanza percorsa e angoli trasversi

• Il tempo t non ci interessa.

• Interessa sapere la distanza s percorsa nell’anello per sapere dove sta la particella e se tocca le pareti.

• Il tempo e la distanza percorsa differiscono solo per la velocita’

tangenziale: s=vt.

t → s = vt

v

→ x ' = v

/ v a

→ a

' = a

/ v

• tempo moltiplicato per v diventa distanza percorsa

• velocita’ trasversa divisa per v diventa angolo

• accelerazione trasversa divisa per v

è l’inverso della curvatura della traiettoria.

v

^a

^{' = a}

^{/ v}

2

x’=v

/v=dx/ds

Equazione del moto (1)

• Radialmente (orizzontalmente) agisce la forza centrifuga e la forza magnetica

• Verticalmente agisce la forza di gravita’ che pero’ trascuriamo

• Longitudinalmente agisce l’accelerazione delle cavita’ risonanti che in questa lezione non consideriamo (vedi lezione sulla dinamica longitudinale)

F

= mv

r = mv

ρ + x F

= qB

v

ma

= F

+ F

ma

= mv

ρ + x + qB

v

r -

-

Equzione del moto (2)

1

ρ + x = 1 ρ

1 1 + ^x _ρ

"

# $

%

&

' ( ^{x <<} (( ^ρ → 1

ρ ^{(1 −} x ρ ⁾

ma _x = mv ² 1

ρ ^{(1 −} x

ρ ^{) + qB} - ^{0 v}

Equazione del moto (3)

t → s = vt

v

→ v

/ v

a

→ a

(s) / v

→ a

(s) = a

v

• Tempo diventa posizione lungo l’anello

• Velocita’ trasversa diventa angolo

• Accelerazione trasversa si moltiplica per v

e diventa inverso della curvatura della traiettoria

ma _x (s)v ² = mv ² 1

ρ ^{(1 −}

x

ρ ^{) + qB - 0 v}

ma _x = mv ² 1

ρ ^{(1 −} x

ρ ^{) + qB} - ^{0 v}

’

’

Equazione del moto (4)

E’ l’equazione dell’oscillatore armonico con numero d’onda k=1/ρ=2π/λ x

a _x (s) = − x ρ ² a _x (s) = 1

ρ ^{(1 −} x

ρ ^{) +}

qB ₀

- mv ^p

q = ρ ^B ₀

Nella direzione di curvatura c’e’ una forza di richiamo F=-m/(v ² ρ ² )x

’

’

Oscillazione di betatrone con un solo dipolo

λ

= 2 πρ (solo dipolo)

L’oscillazione e’ lungo x ma la lunghezza d’onda e’ lungo l’orbita s

P a r t i c e l l a

ideale P a r t i c e l l a

reale

p

q = ρ ^B ₀

Oscillazioni di betatrone

con dipoli _• La particella reale esegue attorno all’orbita ideale delle oscillazioni radiali dette di betatrone (orizzontale)

• Le oscillazioni orizzontali di betatrone dovute alla sola forza centripeta dei dipoli ha lunghezza d’onda pari alla circorferenza (una sola oscillazione)

• Per macchine grandi la forza attrattiva e’ piccola e la particella compie oscillazioni di betatrone molto ampie (“focalizzazione debole”)

• In assenza di una “focalizzazione forte” l’apertura dei magneti deve essere enorme ed i magneti disposti lungo tutto l’acceleratore

L’oscillazione e’ lungo x ma la lunghezza d’onda e’ lungo l’orbita

λ

Moto verticale

• Nella direzione verticale non c’e’

neppure la “focalizzazione debole” ed il moto e’ una parabola

• Anche se la velocita’ iniziale e’ nulla prima o poi tocca le pareti perche’ c’e’

la forza di gravita’ che e’ defocalizzante nella direzione verticale

• Come si spiega che gli acceleratori senza “focalizzazione forte” funzionano?

Equazione del moto nella direzione verticale tenendo conto della gravita’ e sua soluzione (moto uniformemente accelerato).

y(t) = y

+ v

t − 1 2 gt

a

= −g = −9.8 m

s

h

= 1

2 gt

→ t

= 2 h

g

h

=10cm → t

=0.14s

Necessita’ della

Focalizzazione forte

N e g l i a c c e l e r a t o r i c i rc o l a r i e s i s t e u n a focalizzazione debole naturale in entrambe le direzioni trasversali grazie ai dipoli guida:

• curvatura nella direzione orizzontale (debole per grandi macchine)

• effetto bordo nella direzione verticale (debolissimo)

Purtroppo la focalizzazione e’ debole:

• ampie oscillazioni di betatrone orizzontali e verticali

• magneti a larga apertura (bassi campi)

Focalizzazione

La focalizzazione consiste in un sistema che devia una particella con un angolo proporzionale alla distanza dal centro.

Elemento magnetico

di lunghezza l e B~x

Quadrupolo (rosso)

g = 2 µ

^nI r

• g[25-220T/m] gradiente del quadrupolo

• r apertura del quadrupolo

B

= −gy B

= −gx

"

# $

%$

g g(T / m)

• Una particella spostata lungo l’asse x sperimenta un aumento di B verticale e una forza attrattiva lungo x (focalizza orizzontalmente)

• Una particella spostata lungo l’asse y sperimenta un aumento di B orizzontale e una forza di richiamo lungo y (defocalizza verticalmente)

Particella entrante nel foglio

F

= −qvgx F

= qvgy

"

# $

%$

F

= qvgy

F

= −qvgx

Equazione del moto con quadrupolo

k = 0.3 g(T / m) p(GeV / c) 1

ρ ^{= 0.3}

B(T) p(GeV / c)

x(s) = A

cos( 2πs

λ

+ ϕ

) Soluzione focalizzata forte

in direzione orizzontale

y(s) = A

cosh( 2 π ^s

λ

⁺ ϕ

⁾ Soluzione defocalizzata

in direzione verticale

cosh(z) = e

+ e

2

Coseno iperbolico

1

ρ

^{→ k +}

1 ρ

Rigidita’ magnetica

(dipolo) Gradiente normalizzato (quadrupolo)

ma

= mv

ρ + x + qB

v − qvgx = mv

ρ + x + qB

v − mv

gx mv / q = mv

ρ + x + qB

v − mv

kx ~ mv

ρ (1 − x

ρ ) + qB

v − mv

kx =

- -

- -

Dipolo Quadrupolo e Dipolo

Coseno trigonometrico

a

(s) = − k + 1 ρ

#

$%

&

'( x a

(s) = kx

)

* ++

,

+ + ^y

’

’

Oscillazioni di betatrone con quadrupoli

a

' = − k + 1 ρ

#

$%

&

'( x a

' = kx

)

* ++

, + +

1

ρ

^{→ k +}

1 ρ

Il quadrupolo introduce una forza di richiamo lungo una coordinata trasversa e di repulsione nell’altra molto più intensa di quella di dipolo

Le oscillazioni di betatrone sono molte lungo l’anello λ

<<2πρ

y

Oscillazione di betatrone con un quadrupolo

L’oscillazione e’

lungo x ma la

lunghezza d’onda e’ lungo l’orbita s

P a r t i c e l l a

ideale P a r t i c e l l a

reale

p

q = ρ ^B ₀

𝜆

=2 𝜋/√k

(un quadrupolo ed un dipolo lungo tutta l’orbita circolare con √k

>> 𝜌) NB: 2 𝜋R≠q𝜆

dove q intero

NB: Sul piano verticale l’orbita è divergente e

e la particella reale toccherebbe

velocemente le pareti. Con un solo quadrupolo non puo’ funzionare.

Matrice di Trasporto lungo un quadrupolo di lunghezza finita

( x(s) = x(0)cos( p

k

s

) x

(s) = p

k

· x(0)sin( p

k

s

) = x

(0)sin( p

k

s

) ( x(s) = x(0)[cos( p

k

s)cos(

) + sin( p

k

s)sin(

)] = x(0)cos( p

k

s) + x

(0)

x

x

(s) = x

(0)[sin( p

k

s)cos(

) cos( p

k

s)sin(

)] = x

(0) p

k

sin( p

k

s) + x(0)cos( p

k

s)

✓ x(s) x ⁰ (s)

◆

= M

✓ x(s ₀ ) x ⁰ (s ₀ )

◆

M =

 cos( p

k _x s) ^{p 1} _k

x

sin( p

k _x s) p k _x sin( p

k _x s) cos( p

k _x s)

Soluzione

focalizzata forte in direzione

orizzontale Soluzione focalizzata forte

in direzione verticale

Soluzione nello spazio di drift (sezioni dritte)

cos

cosh

linear ^k

⁼⁰

lunghezza quadrupolo = 2L quindi formule valide per -L<s<L

un dipolo è focalizzante debole k

=1/ 𝜌

nel piano di bending ed è uno spazio di drift k

=0 nel piano verticale

rotazione nello spazio fasi (x,x’)

iperbole nello spazio fasi (x,x’)

linea orizzontale nello spazio fasi (x,x’)

Approssimazione lente sottile

l !0 k lim

l !

M _F =

 cos( p

k _x l) ^{p 1} _k

x

sin( p

k _x l) p k _x sin( p

k _x l) cos( p

k _x l) =

 1 0

1

f 1

l !0 k lim

l !

M _D =

 Ch( p

k _x l) ^{p 1} _k

x

Sh( p

k _x l) p k _x Sh( p

k _x l) Ch( p

k _x l) =

 1 0

1

f 1

Funzione beta

x(s) = A _x cos( K x s + ϕ _x ⁾

K

= 1 β

A

= ε

β

#

$ %%

&

% %

β

e’ detta funzione beta, ha le dimensioni di una lunghezza e dipende dalla posizione lungo l’anello.

La funzione beta x (2π) e’ la periodicita’ spaziale locale delle oscillazioni di betatrone.

λ

= 2 πβ

β

= 1

K

= 1

k(Quadrupolo) + 1

ρ

(Dipolo)

La funzione beta e’ una proprieta’ dell’ottica dell’anello 
 (sezioni dritte, dipoli, quadrupoli, ...)

x(s) = ε

β

^{cos( s}

β

⁺ ϕ

⁾

K

= k + 1 ρ

√π √π

Moto della particella e funzione beta

• La particella esegue una oscillazione di betatrone con periodo spaziale locale 2πβ(s) nella posizione longitudinale s.

• Caso particolare facile da capire: β = costante lungo l’anello (difficile nella pratica)

x

s

λ

=2πβ

A

= ε

β

/√π

Il TUNE è l’avanzamento di fase delle oscillazioni di

betatrone della particella reale dopo un giro

dell’anello

Tune Q

Q

=numero di oscillazioni di betatrone orizzontali lungo l’anello = C/(2πβ

) = ρ/β

Q

=numero di oscillazioni di betatrone verticali lungo l’anello = C/(2πβ

) = ρ/β

4<Q<5 C=2πρ

Q=One turn phase advance

ρ

Smooth approximation

TUNE determinato dalla forza dei quadrupoli

Tune e Stabilità

Q=3/2=1.5 


orbita chiusa dopo 2 giri Q=5/3=1.66 


orbita chiusa dopo 3 giri

Ogni p giri una qualsiasi perturbazione in fase cresce a

dismisura come su una altalena in cui c’e’ una giusta spinta.

E’ cruciale avere il TUNE lontano dalle risonanze

Punto di lavoro: tune shift

• Acceleratori di elettroni hanno il dumping di sincrotrone basta evitare fino alla 3a risonanza

• Acceleratori di adroni non hanno il dumping di sincrotrone bisogna evitare fino alla 12a risonanza

BLOW-UP del fascio da evitare durante inizione, accelerazione e plateau

(1,2) Esempio 3rd order

p=Qx+2Qy

Qx=1/3, Qy=1/3 p=1 (risonanza)

1/3 1/2 2/3

1/3

1/2

2/3

Traiettoria nello spazio fasi di una particella

x x’

La particella nello spazio fasi ruotando nell’anello descrive una ellisse di area ε in

Ampiezza massima

Angolo massimo Particella parallela all’orbita ideale ma

lontana dall’orbita ideale

Particella divergente rispetto orbita ideale ma

vicine all’orbita ideale

x(s) = ε

β

^{cos( s}

β

⁺ ϕ

⁾

x '(s) = − ε

β

^sin(

s

β

⁺ ϕ

⁾ ε

β

π

ε

πβ

Area Elisse = π ab = π ε

β

ε

β

⁼ ε

ε

β

π

ε

πβ

ε

πβ

ε

β

π

1⁰ giro 2⁰ giro

3⁰ giro

…

𝛷

𝛷

Posizione sull’ellisse dipende da condizioni iniziali

Particella dopo tanti giri

x tempo 0

x tempo T

x tempo 2T

x tempo nT

Siccome il tune Q deve essere lontano da un numero razionale l’orbita non si chiude su se stessa ed ad ogni giro la fase e’ diversa.

Circonferenza dell’ellisse riempita uniformemente dopo tanti giri.

x’

x’

x’

x’

Moto di piu’ particelle

ϕ

= ϕ

ϕ

= ϕ

, ϕ

ϕ

= ϕ

, ϕ

, ϕ

ϕ

= ϕ

, ϕ

, ϕ

, ϕ

v x

x

v x

x v x

v x

x

v x

x

• ^{10 10} particelle di fase diversa

• Circonferenza dell’ellisse e’ riempita

Ensemble statistico di piu’

particelle = fascio

• ^{10 10} particelle di fase, ampiezze e velocita’ trasversa diverse

• Ellisse piena

x v x

Questo e’ il fascio di particelle nella sezione trasversa

x v x

y

v y

Funzione beta ed emittanza

β

e’ detta funzione beta, ha le dimensioni di una lunghezza e dipende dalla posizione lungo l’anello.

La funzione beta x (2π) e’ la periodicita’ spaziale locale delle oscillazioni di betatrone.

λ

= 2 πβ

La funzione beta e’ una proprieta’ dell’ottica dell’anello 
 (sezioni dritte, dipoli, quadrupoli, ...)

ε x e‘ una proprieta‘ del fascio (dipendente dalla sorgente) ed è costante lungo tutto l’anello.

ε

e’ detta emittanza ha le dimensioni di una lunghezza x angolo ed è una costante del moto

(teorema di Liouville).

Emittanza del fascio

x x’

ε

πβ

ε

β

π

Dimensione del fascio = ^ε

_π ^β

ε

πβ

Divergenza del fascio =

• Se la funzione beta aumenta il fascio si allarga e la divergenza si riduce

• Se l’emittanza aumenta il fascio si allarga e la divergenza aumenta

sezione del fascio = π × raggio orizzontale × raggio verticale = ε

β

ε

β

Nella zona di interazione si vogliono fasci densi per (basso beta perchè emittanza è costante)

L’ensamble statistico delle particelle del fascio riempie tutta l’elisse nello spazio fasi

Tante particelle dalla sorgente o nella iniezione con una variazione nella posizione e

nella pendenza riempono l’ellisse dell’emittanza. L’emittanza non è mai nulla.

Dimensione trasversa del fascio e accettanza

sezione del fascio = π × raggio orizzontale × raggio verticale = ε

β

ε

β

La sezione del fascio dipende dalla emittanza orizzontale e verticale (dipende dalla sorgente) e dalla ottica che propaga il

fascio (sezioni dritte, dipoli, magneti, ...)

Fasci densi si ottengono con bassa emittanza e basso beta

L’accettanza e’ la sezione del tubo a vuoto dove circola il fascio e deve essere piu’ grande della sezione del fascio medesimo altrimenti sara’ tagliato lungo le dimensioni eccedenti.

π

Focalizzazione forte a gradiente alternato

• I quadrupoli focalizzano in una direzione trasversa ma defocalizzano in quella trasversa ortogonale

• Due quadrupoli in serie uno focalizzante e uno defocalizzante hanno come effetto una focalizzazione forte

D=Defocalizzante in x F=Focalizzante in x D

F

Principio generale: campi magnetici a gradienti alterni implicano focalizzazione forte

a_x' = − k + 1 ρ²

#

$%

&

'( x a_y' = kx

)

*++

, ++ a_x' = − −k + 1

ρ²

#

$%

&

'( x a_y' = −kx

)

*++

,

++ ^{y y}

Equazione di Hill

Lungo l’anello di circonferenza C esistono zone dritte (drift space), dipoli (bending), quadrupoli (focalizzazione) e 𝜷 dipende da s in modo periodico con periodo C.

d ² x

ds ² + K _x (s)x = 0; K _x (s + C) = K _x (s) Equazione di Hill omogenea Soluzione eq. di Hill

(oscillazioni di betatrone)

Avanzamento di fase determinato dalla funzione beta

(s) =

Z s s

ds ⁰ (s ⁰ )

x(s) =

r ✏ _x

⇡ ^x (s)cos( (s) _{x x} (s ₀ ))

x x

x ⁰ (s) =

r ✏ _x

⇡ _x (s) [ ^{x 0} (s)

2 cos( _x (s) _x (s ₀ )) + sin( _x (s) _x (s ₀ ))]

Traiettoria nello spazio fasi

La traiettoria nello spazio fasi della singola particella ha una forma ellittica ed è descritta dai parametri: 𝜶, 𝜷 e 𝜸 detti TWISS PARAMETERS.

✏ = x

+ 2↵xx

+ x

= 1 + ↵

area = A = ⇡✏

x

= p

✏ larghezza del fascio

x⁰

= p

✏ divergenza del fascio

Se 𝜷’(s)=0 allora i semiasse dell’ellisse coincidono con gli assi x,x’

Focalizzazione a gradiente alternato

Cella FODO=FOCALIZZAZIONE+GUIDA+DIVERGENZA

=QUAD FOC.+DIPOLO GUIDA+QUAD DIV.

Le particelle compiono delle oscillazioni di betatrone attorno

all’orbita ideale ma rimangono all’interno dell’acceleratore

Cella FODO

Collisore con periodicità 8 dell’ottica (8 FODO) F = focalizza orizzontalmente

O = spazio dritto o dipolo

D = focalizza verticalmente

O = spazio dritto o dipolo

Avanzamento di fase del FODO

La singola particella compie una oscillazione di betatrone dopo 4

celle consecutive FODO quindi 0.25 oscillazioni in un FODO.

Trasporto fascio

In generale un fascio, cioè l’ensamble statistico delle particelle può essere iniettato nella macchina con una forma qualsiasi nello spazio fasi e tutte le particelle andrebbero trasportate lungo l’anello per capire come il fascio si trasforma nel trasporto. Cioe’ il fascio dovrebbe essere parametrizzato e trasportare i parametri del fascio lungo l’anello.

Una parametrizzazione conveniente del fascio e’ la forma ellittica nello spazio fasi

descritta dai parametri: 𝜶, 𝜷 e 𝜸 così come succedeva per le soluzioni

dell’equazioni di Hill omogenea per singola particella.

dimostrazione

I n s e r e n d o n e l l ’ e q u a z i o n e

dell’elisse dell’emittanza a s0 si

ottiene una nuova ellisse di

emittanza a s con i parametri

trasportati.

Teorema di Liouville

In un sistema fisico conservativo la densita’ di particelle nello spazio fasi si conserva qv=costante:

• La forma dell’ellisse segue la periodicita’ della funzione beta cioe’ dell’anello.

• I parametri di TWISS vengono trasformati lungo l’anello

• ^ε

e’ l’area dell’elisse nello spazio fasi del fascio allora e‘ costante lungo tutto l’anello..

β

(s) e’ una proprieta’ locale dell’ottica del anello e quindi ha la sua periodicita’ spaziale

s x

v x

Grande β

:

grande ampiezza e ridotta pendenza angolare (fascio grande a bassa divergenza: focalizzazione) Piccolo β

:

piccola ampiezza e elevata pendenza angolare (fascio stretto ad alta divergenza: defocalizzazione)

F D F

Beam Waist

Diverging Beam Converging Beam

s

x v x

F D F

• β locale determina l’inviluppo √εβ/ 𝜋 di tutte le particelle del fascio (banda verde) quindi il fascio ha la periodicita‘ 8 di β che e’ quella del reticolo.

• Valore medio di β determina il numero di oscillazioni di betatrone Q~1.6 di singola particella (linea verde).

𝛼 𝛾

√εβ/ 𝜋

Zona d’interazione

Nella zona d’interazione le dimensioni dei fasci che collidono devono essere piccole sia in x che in y per aumentare la probabilita’ di interazione.

Nella zona d’interazione sono collocati a destra ed a sinistra dei quadrupoli a basso beta a larga apertura e separati da una sezione diritta priva di magneti (eventualmente i magneti degli esperimenti)

β = β _min + s ² β _min

apertura = ε β

+ s

β

#

$%

&

'(

β _min

Domanda: dove non ci sono

magneti il moto di drift è in

linea retta. Perche’ il fascio è una

parabola?

dimostrazione

La traiettoria di singola particella è in linea retta ma l’iviluppo dl fascio è quadratico

Dispersione del momento

p → p + Δp

Cosa succede se l’energia della particella e’ diversa da quella della particella ideale?

• I dipoli causano lo spostamento orizzontale dell’orbita detto DISPERSIONE D

• I quadrupoli causano la variazione del TUNE detta CROMATICITA’ Q’

Motivi: sorgente e accelerazione RF implicano emittanza longitudinale finita (oscillazione di sincrotrone, vedi parte III)

Δφ

Δp

Dispersione

ρ

x

(s) = D

(s) Δp

x

(s) p Valori tipici

Δp

p ~ 10

;D

~ 1m;x

~ 1mm D

(s) = x

(s)

Δp / p

La funzione di dispersione e’ l’orbita ideale per Δp/p=1

La funzione di dispersione D

(s) e’ la proporzionalita’ tra lo spostamento dall’orbita ideale e la variazione percentuale del momento della particella.

p → p + Δp

Dispersione

qB

mv = qB

p ' = qB

p + Δp = qB

p 1 − Δp p

#

$%

&

'( = qB

p − qB

Δp

p

= 1 ρ ⁻

Δp ρ ^p

x(s) = x

(s) + x

(s)

La dispersione del momento introduce un termine disomogeneo nella equazione del moto quindi la soluzione generale e’ data dalla somma delle soluzioni dell’equazione omogena (vedi slide precedenti) ed una soluzione speciale.

La soluzione speciale normalizzata rispetto alla variazione percentuale del momento e’ detta funzione di dispersione D

(s).

p → p + Δp

D

(s) = x

(s)

Δp / p La funzione di dispersione e’ l’orbita ideale per Δp/p=1

a _x (s) + xy = 1 ρ

Δp

+K

x(s)= p K

= k + 1

ρ

La funzione di

dispersione Dx(s)

1. La funzione di dispersione e’ l’orbita della particella ideale per Δp/p=1 cioe’ con momento doppio

2. L’orbita di qualsiasi particella e’ l’orbita senza dispersione più la dispersione moltiplicata per dp/p

3. La funzione di dispersione come qualsiasi orbita e’

soggetta alla focalizzazione del reticolo

Dispersione causata dai dipoli

Energia ideale

Energia <

Energia ideale Energia >

Energia ideale

D x ~(L dipolo ) ² /ρ

D y = 0

Calcolo dispersione nei dipoli

Nel dipolo Kx e’ costante

La funzione di dispersione e’ la soluzione del moto per una variazione del momento del 100%

Equazione della funzione di dispersione x(s) soluzione della omogenea e’ una sovrapposizione di seno e coseno e dipende dalle condizioni al contorno

Soluzione particolare

Dispersione e sezione

del fascio

Beta e Dispersione lungo l’anello

Orizzontale Verticale

IP: low beta q u a d r u p o l e s (No dipoli=No dispersione)

Errore di quadrupolo

Q=One turn phase advance determinato dalla forza dei quadrupoli

Un errore dk nella forza del quadrupolo compor ta un errore di TUNE dQ proporzionale all’errore e alla funzione beta

Gradiente normalizzato

(quadrupolo)

Aberrazione cromatica dei quadrupoli

Energia ideale

Energia <

Energia ideale

Energia >

Energia ideale

Piu’ alto e’ il momento della particella meno focalizzante e’ il quadrupolo perche’ piu’ difficile da curvare.

Come varia il TUNE con il momento

p → p + Δp

Cromaticità Q’

ΔQ = Q ' Δp

p → Q ' = ΔQ / Δp p

#

$%

&

'(

La cromaticita’ Q’ e’ la variazione del numero di giri (TUNE) per

Δp/p=1 o equivalentemente il fattore di proporzionalita’ tra la

variazione di TUNE e la variazione relativa del momento p.

Cromaticità di un quadrupolo

ΔQ = Q ' Δp

p → Q ' = ΔQ / Δp p

#

$%

&

'(

La dispersione del momento Δp/p comporta un errore sul quadrupolo k=eg/p pari a Δk=-egΔp/p^2=-kΔp/p.

Quindi il quadrupolo ha una cromaticità intrinseca inevitabile.

Il reticolo ha intrisecamente una cromaticità:

La funzione cromaticità

La cromaticità Q’ e’ dovuta al reticolo cioe’ alla focalizzazione mediante quadrupoli

Il TUNE non e’ uno SPOT ma un PANCAKE

La cromaticità Q’ determina la dimensione del TUNE nel

punto di lavoro sul diagramma (Qx,Qy)

Sestupolo (verde)

Il TUNE determina la stabilita’ del fascio e deve essere sempre tenuto lontano da numeri razionali q/p con q e p piccoli per tutti i valori tra p-Δp e p+Δp.

La cromaticita’ della macchina e’ quindi molto importante perche’ ne determina la stabilita’.

Un modo per correggere la cromaticita’ della macchina e’ mettere dei sestupoli dopo ogni quadrupolo

Quadrupolo Sestupolo

Lineare nella posizione Quadratico nella posizione

Correzione cromaticità (tune spread) con sestupolo

Sestupolo

Campo quadratico nella posizione

Gradiente lineare nella posizione. Gradiente di “quadrupolo” normalizzato dipende da x.

Sommario

• Dinamica trasversa

• Bending: dipoli

• Oscillazioni di betatrone

• Focalizzazione forte: quadrupoli

• Funzione beta e tune

• ^Stabilità

• Emittanza e fascio

• Dispersione del momento

• Dispersione nei dipoli

• Cromaticita’ quadrupoli

D x ~(L dipolo ) ² /ρ

Q’ x =-L quadrupolo β x k x /2π

ε

β

d= _𝜋

ε

β

r= √ 𝜋