Forze, lavoro energia Dinamica di particelle puntiformi

Forze, lavoro energia

Dinamica di particelle puntiformi

La base della dinamica sono i tre principi (dovuti a Newton) Le forze producono lavoro, che dipende dal particolare spostamento fatto

Per alcune forze, solo i punti iniziale e finale determinano il lavoro fatto

La forza di gravit` a ci aiuta a capire molti aspetti delle forze

Il secondo principio della dinamica

Forza e massa

Considero un corpo, che si possa considerare puntiforme, soggetto ad una forza

Noto che questo viene accelerato

Sperimentalmente F /a ` e una caratteristica del corpo che chiamo massa

Per le forze attive l’accelerazione ha direzione e verso della forza Posso quindi enunciare il

Secondo principio della dinamica

~ F = m~a

Se un corpo non ` e soggetto a forze, non viene accelerato e la sua velocit` a

resta costante. Vale quindi anche il primo principio della dinamica che dice

che un corpo resta in quiete o in moto rettilineo uniforme se non agisce

alcuna forza su di esso.

Lavoro

Se una forza produce uno spostamento, possiamo parlare di lavoro W = ~ F · ~ ∆x = F ∆s cos(θ)

Se F _k ` e la componente della forza parallela allo spostamento

W = F _k s. La componente perpendicolare allo spostamento, F ⊥ , non compie alcun lavoro

A parit` a di forza il lavoro ` e massimo quando lo spostamento ` e parallelo alla forza

Se ho uno spostamento lungo una linea C, che va da A a B posso dividere il percorso in trattini infinitesi di spostamento d~ x , e calcolare il lavoro fatto in ciascuno di questi trattini, sommando poi il tutto

W = Z

C

F · d~ ~ x

Se un corpo scivola su di un piano orizzonatale, che lavoro fa la forza

di gravit` a?

Lavoro di una forza

Esempi (1)

Forza Peso

Un corpo cade verticalmente, soggetto alla forza peso m~ g , per un dislivello h. La forza e lo spostamento sono paralleli ed equiversi, quindi

W = Z

C

~ F · d~ x = mgh = −mg (x _f − x _i )

Forza di una molla La forza esercitata da una molla ` e proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio e diretta in verso opposto

F = −k x

Il lavoro compiuto dalla molla per andare dalla posizione distante x _i dall’equilibrio alla posizione x f ` e quindi

W = Z x

x

−k x ⁰ d x ⁰ = − 1

2 k x _f ² − x _i ²

Lavoro di una forza

Esempi (2)

Forza radiale

La forza gravitazionale e quella elettrostatica hanno entrambe la forma F = C ~ ~r

r ³ con C pari rispettivamente a

C = GMm e C = q 1 q 2

4πε ₀ Per uno spostamento d~ x ho che ~r · d~ x = r dr e quindi

W = Z B

A

C ~ r ⁰ r ⁰³ d ~ x ⁰ =

Z B A

C dr ⁰ r ⁰² = −

C r    

B A

= −C  1 r B

− 1 r A



Nei tre casi precedenti il lavoro dipende solo dai punti iniziale e finale,

non dal percorso seguito per andare da A a B

Lavoro di una forza costante

Suppongo di avere una particella libera soggetta a una forza F costante Fisso l’asse x diretto come la forza F .

a = F /m, quindi il moto ` e uniformemente accelerato Se v <sub>i</sub> ` e la velocit` a iniziale v _f quella finale, ho che

v f = v i + at =⇒ t = v f − v _i a e il lavoro fatto ` e

W = F  1

2 at

+ v

t



= F 1

2 a  v

− v

a



+ v

v

− v

a

!

= 1

2 m v

− v

Lavoro ed energia cinetica

W = Z

F dx = Z

madx = Z

m dv dt

dx dt dt =

Z 1 2

d (mv

) dt = 1

2 m v

− v

Per cui, detta K la quantit` a K = <sup>1</sup> <sub>2</sub> mv <sup>2</sup> , K ` e l’energia cinetica di un corpo

W = K _f − K _i

forze conservative

Si ` e visto che per alcune forze il lavoro fatto dipende solo da x <sub>f</sub> e x <sub>i</sub> , e, anzi, si pu` o scrivere come

W = − (U(x _f ) − U(x _i )) = −∆U

Per una qualche funzione U, che viene chiamata energia potenziale.

Le forze che ammettono una energia potenziale si chiamano conservative Sono forze conservative la gravit` a, la forza elettrostatica,

la forza di una molla.

Non sono conservative le forze dovute all’attrito

Gravitazione

La legge di gravitazione universale, dovuta a Newton, ci dice che la forza che si esercita tra due masse (supposte puntiformi o sferiche) M e m ` e data, in modulo, da

F = G Mm

r ² G = 6.67 · 10 ⁻¹¹ Nm ² Kg ⁻²

`

e diretta come la congiungente delle due masse (o dei centri delle sfere) ed ` e sempre attrattiva

G si chiama costante di gravitazione universale.

Un corollario di questa formula ` e che la forza con cui M attira m ` e uguale

in modulo, ma opposta in verso, a quella che m esercita su M.

Terza legge della dinamica

Faccio alcuni esperimenti sulle forze:

Pianto un chiodo in un muro robusto: ogni volta che do’ una martellata il martello rimbalza all’indietro (Se martello pi` u forte rimbalza pi` u forte)

Do’ uno spintone a un compagno di 200 Kg: l’effetto ` e come se lui avesse spinto me

Lancio il pallone da pallacanestro sul pavimento: perch´ e rimbalza?

perch´ e non riesco a camminare sul ghiaccio perfettamente liscio, e come funziona il camminare?

Tutte queste domande possono avere risposta dal terzo principio della dinamica

Se un corpo A esercita una forza ~ F su un corpo B,

anche B esercita una forza su A, uguale in modulo e opposta in verso a ~ F

Gravitazione

e massa della Terra

Posso usare la legge di gravitazione universale e l’accelerazione sulla superficie terrestre per trovare la massa della Terra, noto il suo raggio.

Dalla legge di gravitazione universale

g = G M _T

R _T ² =⇒ M T = gR _T ² G

So che g = 9.8ms ⁻² e R _T = 6300 Km e trovo M _T ≈ 6 · 10 ²⁴ Kg

Caduta delle mele

e legge di gravitazione

Provo a dedurre la legge di gravitazione universale dalle leggi della dinamica

Suppongo che la stessa forza faccia cadere la mela e restare in orbita la luna

conosco l’accelerazione della mela, ma qual ` e quella della luna?

se la luna fa un moto circolare uniforme, la sua accelerazione ` e v <sup>2</sup> /d dove d ` e la distanza dal centro della Terra (circa 384000 Km).

la luna fa un giro in T L = 28 giorni , quindi la sua velocit` a ` e v = 2πd

T L

= 2 · 3.14 · 3.84 · 10 ⁸ m

28 · 86400s = 10 ³ m/s Ne segue che l’accelerazione ` e

a = 10 ⁶

3.84 · 10 ⁸ = 2.6 · 10 ⁻³ m/s ²

Caduta delle mele

e legge di gravitazione (2)

Faccio il rapporto tra le accelerazioni a/g ≈ 2.64 · 10 ⁻⁴

faccio il rapporto tra le distanze dal centro della Terra R _T /d = 0.016 (R _T /d ) ² = 2.6 · 10 ⁻⁴ Da questa espressione capisco che

a/g = (R _T /d ) ² e quindi

ad ² = gR _T ²

Questo fatto, unito al terzo principio mi porta alla legge di

gravitazione universale

Forze di van der Waals

Sono forze tra molecole non polari

A grandi distanze sono attrattive e si annullano rapidamente, come 1/r ⁷

a piccole distanze sono fortemente repulsive

il tipo esatto di forza dipende dal fatto che le molecoli siano polari

oppure no

Forze elastiche

Sono forze che si osservano se un certo materiale viene compresso i tirato

Dal punto di vista microscopico, ogni molecola ` e leggermente spostata dalla posizione di equilibrio, che ` e un minimo del potenziale la forza di richiamo e la somma di moltissimi piccole molle

Se la trazione supera un certo valore della deformazione, detto limite

elastico, il sistema non ritorna alla posizione iniziale neppure se la

forza cessa di agire

Moto armonico

E il moto di un corpo soggetto ad una forza ~ ` F = −k~ x In una dimensione F = −kx

k, costante elastica, ` e sempre positiva, per cui posso scrivere k = ω ² l’equazione del moto armonico diventa quindi

F = ma = m d ² x (t)

dt ² = −mω ² x (t) e quindi

d

x (t)

dt

+ ω ² x (t) = 0

Sono soluzioni di questa equazione cos(ωt) e sin(ωt) e tutte le combinazioni lineari di queste.

Due possibili modi di scrivere la soluzione generale sono

x (t) = C ₁ sin(ωt) + C ₂ cos(ωt) e x (t) = A cos(ωt + φ)

Per trovare, di volta in volta, la soluzione che mi serve, devo imporre

delle condizioni iniziali

Moto armonico

Legame con il moto circolare uniforme

Considero il moto circolare con velocit` a angolare ω

Se per t = 0 si ha che θ = 0 allora x = R e in un istante successivo x (t) = R cos(ωt)

Se invece alll’istante iniziale θ = φ, allora x (t) = R cos(ωt + φ) che ` e precisamente la soluzione dell’equazione del moto armonico del moto armonico se A = R

La proiezione del moto circolare uniforme sugli assi ` e un moto

Propriet` a elastiche dei sistemi continui

Se ho un cilindro (filo) di lugnhezza L e sezione A e applico una forza F di trazione, il filo si allunga di una quantit` a ∆L sperimentalmente data da

F

A = Υ ∆L L

La forza per unit` a di area si chiama sforzo e si misura in N/m <sup>2</sup> = Pa (Pascal) o in MPa. Υ si chiama modulo di Young: quanto pi` u esso ` e grande tanto pi` u ` e rigido il materiale

Tipicamente, Υ per l’osso ` e paragonabile a quello del legno, intorno a 10 <sup>4</sup> MPa, per i vasi sanguigni ` e un quinto di quello della gomma, circa 0.2 MPa .

Quando la deformazione supera circa lo 0,5% le ossa si rompono