Forze, lavoro energia
Dinamica di particelle puntiformi
La base della dinamica sono i tre principi (dovuti a Newton) Le forze producono lavoro, che dipende dal particolare spostamento fatto
Per alcune forze, solo i punti iniziale e finale determinano il lavoro fatto
La forza di gravit` a ci aiuta a capire molti aspetti delle forze
Il secondo principio della dinamica
Forza e massa
Considero un corpo, che si possa considerare puntiforme, soggetto ad una forza
Noto che questo viene accelerato
Sperimentalmente F /a ` e una caratteristica del corpo che chiamo massa
Per le forze attive l’accelerazione ha direzione e verso della forza Posso quindi enunciare il
Secondo principio della dinamica
~ F = m~a
Se un corpo non ` e soggetto a forze, non viene accelerato e la sua velocit` a resta costante. Vale quindi anche il primo principio della dinamica che dice che un corpo resta in quiete o in moto rettilineo uniforme se non agisce alcuna forza su di esso.
Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2012-13
Lavoro
Se una forza produce uno spostamento, possiamo parlare di lavoro W = ~ F · ~ ∆x = F ∆s cos(θ)
Se F k ` e la componente della forza parallela allo spostamento
W = F k s. La componente perpendicolare allo spostamento, F ⊥ , non compie alcun lavoro
A parit` a di forza il lavoro ` e massimo quando lo spostamento ` e parallelo alla forza
Se ho uno spostamento lungo una linea C, che va da A a B posso dividere il percorso in trattini infinitesi di spostamento d~ x , e calcolare il lavoro fatto in ciascuno di questi trattini, sommando poi il tutto
W = X
j
dW j = X
j
F ~ j · d~x j → Z
C
~ F · d~ x
Se un corpo scivola su di un piano orizzonatale, che lavoro fa la forza
di gravit` a?
Lavoro di una forza
Esempi (1)
Forza Peso
Un corpo cade verticalmente, soggetto alla forza peso m~ g , per un dislivello h. La forza e lo spostamento sono paralleli ed equiversi, quindi
W = Z
C
~ F · d~ x = mgh = −mg (x f − x i )
Forza di una molla La forza esercitata da una molla ` e proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio e diretta in verso opposto
F = −k x
Il lavoro compiuto dalla molla per andare dalla posizione distante x i dall’equilibrio alla posizione x f ` e quindi
W = Z x
fx
i−k x 0 d x 0 = − 1
2 k x f 2 − x i 2
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Lavoro di una forza
Esempi (2)
Forza radiale
La forza gravitazionale e quella
elettrostatica hanno entrambe la forma F = C ~ ~r
r 3 con C = GMm e C = q 1 q 2
4πε 0 Per uno spostamento d~ x ho che
~r · d~x = r dr e quindi W =
Z B
A
C ~ r 0 r 03 d ~ x 0 =
Z B
A
C dr 0 r 02 = −
C r
B A
= −C 1 r B
− 1 r A
Nei tre casi precedenti il lavoro dipende solo dai punti iniziale e finale,
non dal percorso seguito per andare da A a B
Lavoro di una forza costante
Suppongo di avere una particella libera soggetta a una forza F costante Fisso l’asse x diretto come la forza F .
a = F /m, quindi il moto ` e uniformemente accelerato Se v i ` e la velocit` a iniziale v f quella finale, ho che
v f = v i + at =⇒ t = v f − v i a e il lavoro fatto ` e
W = F 1
2 at
2+ v
it
= F 1
2 a v
f− v
ia
2+ v
iv
f− v
ia
!
= 1
2 m v
f2− v
i2Se ho molti intervalli in ciascuno dei quali la forza ` e costante il lavoro compiuto sar` a
W = X
j
∆W j = m
2 (v 1 2 − −v i 2 ) + m
2 (v 2 2 − v 1 2 ) + · · · + m
2 (v f 2 − v N−1 2 ) W = m
2 (v f 2 − v i 2 )
Il risultato vale quindi anche per una forza che varia nello spazio
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Lavoro ed energia cinetica
W = Z
F dx = Z
madx = Z
m dv dt
dx dt dt =
Z 1
2 m d (v
2) dt = 1
2 m v
f2− v
i2Per cui, detta K la quantit` a K = 1 2 mv 2 , K ` e l’energia cinetica di un corpo
W = K f − K i
Il lavoro fatto su di un corpo ` e uguale alla variazione della sua energia cinetica
E importante sempre chiedersi ` Chi fa il lavoro
Su chi ` e fatto il lavoro
forze conservative
Si ` e visto che per alcune forze il lavoro fatto dipende solo da x f e x i , e, anzi, si pu` o scrivere come
W = − (U(x f ) − U(x i )) = −∆U
Per una qualche funzione U, che viene chiamata energia potenziale.
Le forze che ammettono una energia potenziale si chiamano conservative
Sono forze conservative Gravit` a
Forza elettrostatica Forza di una molla
Energia potenziale U = mgy , G Mm r U = 4πε q
1q
20
r U = 1 2 kx 2 Non sono conservative
le forze dovute all’attrito
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Legge di conservazione dell’energia
Posso separare il lavoro fatto in quello di forze conservative e non conservative
Il lavoro delle forze conservative ` e opposto all’energia potenziale Il lavoro totale ` e uguale alla variazione di energia cinetica
W = W C + W NC = −∆U + W NC = ∆K dove ∆U = U f − U i e ∆K = K f − K i
Da questo segue
W NC = ∆K + ∆U
Se tutte le forze sono conservative
∆K + ∆U = 0 ⇒ K i + U i = K f + U f
La somma di energia cinetica e potenziale si conserva
Gravitazione
La legge di gravitazione universale, dovuta a Newton, ci dice che la forza che si esercita tra due masse (supposte puntiformi o sferiche) M e m
E data, in modulo, da `
F = G Mm
r 2 G = 6.67 · 10 −11 Nm 2 Kg −2 E diretta come la congiungente delle due ` masse (o dei centri delle sfere)
E sempre attrattiva `
G si chiama costante di gravitazione universale.
Un corollario di questa formula ` e che la forza con cui M attira m ` e uguale in modulo, ma opposta in verso, a quella che m esercita su M.
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Terza legge della dinamica
Faccio alcuni esperimenti sulle forze:
Pianto un chiodo in un muro robusto: ogni volta che do’ una martellata il martello rimbalza all’indietro (Se martello pi` u forte rimbalza pi` u forte)
Do’ uno spintone a un compagno di 200 Kg: l’effetto ` e come se lui avesse spinto me
Lancio il pallone da pallacanestro sul pavimento: perch´ e rimbalza?
perch´ e non riesco a camminare sul ghiaccio perfettamente liscio, e come funziona il camminare?
Tutte queste domande possono avere risposta dal terzo principio della dinamica
Se un corpo A esercita una forza ~ F su un corpo B,
anche B esercita una forza su A, uguale in modulo e opposta in verso a ~ F
Gravitazione
e massa della Terra
Posso usare la legge di gravitazione universale e l’accelerazione sulla superficie terrestre per trovare la massa della Terra, noto il suo raggio.
Dalla legge di gravitazione universale so che la forza di gravit` a che agisce su di una massa m posta sulla superficie terrestre ha modulo
F = G M T m R T 2 L’accelerazione ` e quindi
g = G M T R T 2 da cui ricavo
M T = gR T 2 G
So che g = 9.8ms −2 e R T = 6300 Km e trovo M T ≈ 6 · 10 24 Kg
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Caduta delle mele
e legge di gravitazione
Provo a dedurre la legge di gravitazione universale dalle leggi della dinamica
Suppongo che la stessa forza faccia cadere la mela e restare in orbita la luna
conosco l’accelerazione della mela, ma qual ` e quella della luna?
se la luna fa un moto circolare uniforme, la sua accelerazione ` e v 2 /d dove d ` e la distanza dal centro della Terra (circa 384000 Km).
la luna fa un giro in T L = 28 giorni , quindi la sua velocit` a ` e v = 2πd
T L
= 2 · 3.14 · 3.84 · 10 8 m
28 · 86400s = 10 3 m/s Ne segue che l’accelerazione ` e
a = 10 6
3.84 · 10 8 = 2.6 · 10 −3 m/s 2
Caduta delle mele
e legge di gravitazione (2)
Faccio il rapporto tra le accelerazioni a/g ≈ 2.64 · 10 −4
faccio il rapporto tra le distanze dal centro della Terra R T /d = 0.016 (R T /d ) 2 = 2.6 · 10 −4 Da questa espressione capisco che
a/g = (R T /d ) 2 e quindi
ad 2 = gR T 2
Questo fatto, unito al terzo principio mi porta alla legge di gravitazione universale
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Forze di van der Waals
Sono forze tra molecole, importanti in biologia
A grandi distanze sono attrattive e si annullano rapidamente, come 1/r 7
A piccole distanze sono fortemente repulsive Sono di natura elettrica
Sono dovute a dipoli e a fluttuazioni nella distribuzione della carica Sono anisotrope
il tipo esatto di forza dipende dal fatto che le molecoli siano polari
oppure no
Forze elastiche
Sono forze che si osservano se un certo materiale viene compresso o tirato
Dal punto di vista microscopico, ogni molecola ` e leggermente spostata dalla posizione di equilibrio, che ` e un minimo del potenziale la forza di richiamo e la somma di moltissimi piccole molle
Se la trazione supera un certo valore della deformazione, detto limite elastico, il sistema non ritorna alla posizione iniziale neppure se la forza cessa di agire
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Moto armonico
E il moto di un corpo soggetto ad una forza ~ ` F = −k~ x In una dimensione F = −kx
k, costante elastica, ` e sempre positiva, per cui posso scrivere k = mω 2 l’equazione del moto armonico diventa quindi
F = ma = m d 2 x (t)
dt 2 = −mω 2 x (t) e quindi
d
2x (t)
dt
2+ ω 2 x (t) = 0
Sono soluzioni di questa equazione cos(ωt) e sin(ωt) e tutte le combinazioni lineari di queste.
Due possibili modi di scrivere la soluzione generale sono
x (t) = C 1 sin(ωt) + C 2 cos(ωt) e x (t) = A cos(ωt + φ)
Per trovare, di volta in volta, la soluzione che mi serve, devo imporre
delle condizioni iniziali
Moto armonico
Legame con il moto circolare uniforme
Considero il moto circolare con velocit` a angolare ω
Se per t = 0 si ha che θ = 0 allora x = R e in un istante successivo x (t) = R cos(ωt)
Se invece alll’istante iniziale θ = φ, allora x (t) = R cos(ωt + φ) che ` e precisamente la soluzione dell’equazione del moto armonico del moto armonico se A = R
La proiezione del moto circolare uniforme sugli assi ` e un moto armonico
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Come si svolge un esercizio
Gli esercizi servono per capire la teoria, quindi prima si studia quella Ci sono informazioni che conosco, e si chiamano dati del problema Ci sono informazioni che voglio ottenere, che sono i risultati
il risultato pu` o essere raggiunto solo quando so esprimerlo in funzione di sole cose che conosco
risultato = f(dati, altre cose che conosco)
Devo trovare una o pi` u formule che portano dai dati al risultato, e ogni quantit` a estranea a queste deve essere eliminata
Ottenuto il risultato devo controllare se ` e ragionevole e se le unit` a di
misura sono quelle giuste
Esercizio 1
Un corpo parte con velocit` a v 0 diretta come l’asse x positivo ed ` e soggetto ad una forza costante che lo accelera in verso opposto. Trovare il valore del modulo dell’accelerazione per cui il corpo si ferma a distanza d .
v 0 = 16.74 m/s d = 8.58 m Dati: v 0 e d
Non ` e tutto! So che il corpo si ferma alla fine del moto, quindi v f = 0 Non ` e tutto! So che il corpo si muove sogegtto ad una forza costante, quindi il moto ` e uniformemente accelerato (con a negativa)
Ora cerco la formula giusta: deve essere una formula del moto uniformemente accelerato in cui compaiono v 0 , d , v f (velocit` a al tempo finale t)
In realt` a ci vogliono due formule
v (t) = v 0 − at e x − x 0 = v 0 t − 1 2 at 2 Dalla prima formula trovo il tempo che impiego a fermarmi imponendo v (t 1 ) = 0 ⇒ v 0 = at
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Esercizio 1
seguito
Moltiplicando per a entrambi i membri della seconda equazione trovo a(x − x 0 ) = ad = v 0 at − 1
2 a 2 t 2 = v 0 2 − 1 2 v 0 2 = 1
2 v 0 2 da cui ottengo
a = v 0 2 2d verifico le dimensioni
[a] = m/s 2 [v 0 2 /2d ] = m 2 /s 2 /m = m/s 2 calcolo il valore numerico
a = 16.74 2 /2/8.58 m/s 2 = 16.33 m/s 2
Complementi 1
Potevo trovare il risultato pi` u facilmente derivando una formula in cui non comparisse il tempo
Usando le due equazioni precedenti posso ricavarla. Nella prima ricavo il tempo dalla velocit` a
t = v (t) − v 0 a Sostituisco nella seconda
x − x 0 = v 0
v (t) − v 0
a + 1
2a
v (t) − v 0 a
2
= v (t) 2 − v 0 2 2a Moltiplicando per 2a trovo infine
v (t) 2 = v 0 2 + 2a (x (t) − x 0 )
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