Lezione 26 ( A-L ) 18/12/07
Esercizio 1. Sia C la conica di equazione x2+4xy +4y2+4x−4y +1 = 0 nel riferimento cartesiano RC(O, i, j). Determinare l’equazione canonica della conica e stabilire di che tipo di conica si tratta.
Soluzione dell’esercizio 1. La forma quadratica associata alla conica `e φ2(x, y) = x2+ 4xy + 4y2.
La matrice associata a φ2 rispetto alla base ortonormale B = {i, j} `e A00=
1 2 2 4
. Il polinomio caratteristico della matrice `e
det(A00− λI) =
1 − λ 2
2 4 − λ
= λ2− 5λ = λ(λ − 5).
Gli autovalori sono allora λ1= 0, λ2= 5.
Un autovettore associato all’autovalore λ1`e u1= −2i + j.
Un autovettore associato all’autovalore λ2`e u2= i + 2j.
Normalizzando tali vettori otteniamo una nuova base ortonormale B0 =
i0= vers u1= − 2
√5i + 1
√5j, j0 = vers u2= 1
√5i + 2
√5j
. La matrice del passaggio dalla base B = {i, j} alla base B0 ´e la matrice ortongonale
C = −√2
5
√1 5
√1 5
√2 5
!
, det C = 1.
Le equazioni del cambio di coordinate dalle coordinate (x0, y0) nel riferimento RC0(O, i0, j0) alle coordinate (x, y) nel riferimento RC(O, i, j) sono
( x = −√2
5x0 +√1
5y0 y = √1
5x0 +√2
5y0 L’equazione di C nel sistema di riferimento RC0(O, i0, j0) `e allora
5y02+ 4
− 2
√5x0+ 1
√5y0
− 4
1
√5x0+ 2
√5y0
+ 1 = 0.
Svolgendo i conti otteniamo C : 5
y02− 4 5√
5y0
− 12
√5x0+ 1 = 0.
Equivalente a
C : 5
y02− 2 2 5√
5y0+ ( 2 5√
5)
2
− 12
√5x0+ 1 − ( 2 5√
5)
2
= 0.
Ovvero
C : 5
y0− ( 2 5√
5)
2
− 12
√5x0+71 75= 0.
Che riscriviamo ancora come C : 5
y0− ( 2 5√
5)
2
− 12
√5 x0−71√ 5 900
!
= 0.
Tramite la traslazione
( x0 = X +71
√5 900
y0 = Y + 2
5√ 5
l’equazione di C nel sistema di riferimento RC(O0, i0, j0) diviene C : 5Y2− 12
√5X = 0, ovvero
Y2= 2
6 5√
5
X.
C `e una parabola.
La sfera...
La sfera `e il luogo geometrico dei punti dello spazio che hanno distanza assegnata, detta raggio, da un punto dato detto centro.
Un’equazione cartesiana del tipo
x2+ y2+ z2+ 2ax + 2by + 2cz + d = 0, rappresenta l’equazione di una sfera di centro C(−a, −b, −c) e raggio r =√
a2+ b2+ c2− d, sotto l’ipotesi a2+ b2+ c2− d > 0.
Equazioni parametriche della sfera sono
x = r sin ψ cos θ y = r sin ψ sin θ z = r cos ψ
Una circonferenza dello spazio pu`o essere rappresentata come intersezione di una sfera S di equazione cartesiana x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 con un piano ad essa secante α di equazione αx + βy + γz + δ = 0. Ovvero una circonferenza si rappresenta come insieme dei punti soluzione del sistema
x2+ y2+ z2+ 2ax + 2by + 2cz + d = 0 αx + βy + γz + δ = 0
Il cono...
Un cono `e una superficie luogo di ∞1 rette, dette generatrici del cono, passanti per uno stesso punto V , detto vertice del cono. Una direttrice del cono `e una curva che goda della propriet`a di incontrare ciascuna generatrice in un punto.
Il cilindro...
Un cilindro `e una superficie luogo di ∞1rette dello spazio.
In generale una superficie di rotazione, o superficie rotonda, `e una superficie generata dalla rotazione di una curva piana o sghemba C intorno ad una retta data, detta asse della superficie.
Esercizio 2. Stabilire per quali valori del parametro reale k la sfera S di equazione x2+ y2+ z2− 2x + 4y − 2z + k = 0 risulta tangente al piano α di equazione 2x + z − 2 = 0.
Soluzione dell’esercizio 2. La condizione di tangenza tra la sfera ed il pinao equivale ad imporre che la distanza del centro della sfera dal piano assegnato sia uguale al raggio della sfera. Il centro della sfera `e C(1, −2, 1), mentre il suo raggio vale r =√
6 − k. Imponendo la condizone descritta ricaviamo
d(C, α) = r =⇒ | 2 · 1 + 0 · (−2) + 1 · 1 − 2 |
√5 =√
6 − k.
Eseguendo i conti ed elevando al quadrato ambo i membri 1
5 = 6 − k =⇒ k = 29 5 . La sfera cercata ha equazione
x2+ y2+ z2− 2x + 4y − 2z +29 5 = 0.
Esercizio 3. Scrivere l’equazione del piano tangente alla sfera S : x2+ y2+ z2− 2x + 2y − 2 = 0 nel punto P0(0, −2, 0).
Soluzione dell’esercizio 3. Il piano cercato `e il piano passante per P0e perpendicolare alla retta r passante per P0 e per il centro della sfera C. Il centro C della sfera ha coordinate (1, −1, 0).
I parametri direttori della retta r sono (l, m, n) = (1 − 0, −1 + 2, 0 − 0) = (1, 1, 0). Il piano π perpdendicolare ad r ha i coefficienti (a, b, c) delle’equazione cartesiana proprorzionali ai parametri direttori della retta, quindi ha equazione
1 · (x − 0) + 1(y + 2) + 0(z − 0) = 0.
Ovvero
π : x + y + 2 = 0.
Esercizio 4. Determinare equazioni della circonferenza tangente all’asse x nel punto A(−1, 0, 0) e passante per il punto B(1, 1, 1).
Soluzione dell’esercizio 4. Possiamo costruire la circonferenza richiesta come intersezione del piano passante per l’asse x e per il punto B e di una qualunque sfera tangente l’asse x nel punto A e passante per il punto B.
Il fascio di piani generato dall’asse x ha equazione y + kz = 0, k ∈ R.
Imponendo il passaggio per B otteniamo
1 + k = 0 =⇒ k = −1.
Ovvero il piano di equazione
α : y − z = 0.
Il centro C di una sfera passante per la circonferenza cercata appartiene alla retta intersezione del piano β ortogonale all’asse x nel punto A con il piano γ, assiale del segmento −−→
AB. Il piano β ha equazione x = −1. Il piano γ, avendo la retta per A e B parametri direttori (l, m, n) = (2, 1, 1) ed essendo il punto medio M del segmento il punto di coordinate (0,12,12), ha equazione
2(x − 0) + 1(y −1
2) + 1(z −1 2) = 0.
Ovvero
γ : 2x + y + z − 1 = 0.
Il centro della sfera ha allora coordinate C(−1, −t + 3, t), t ∈ R. Scelto ad esempio t = 0 ottenaimo la sfera di centro C0(−1, 3, 0) e raggio r = C0B = 3. La circonferenza ha alllora equazione
x2+ y2+ z2+ 2x − 6y + 1 = 0 y − z = 0
Esercizio 5. Scrivere equazioni della circonferenza tangente all’asse z, passante per il punto A(1, 0, −1), avente centro sulla retta r di equazioni parametriche
x = 0
y = 1 − t
z = t
, t ∈ R.
Soluzione dell’esercizio 5. La circonferenza appartiene al piano α generato dall’asse z e passante per il punto A. Il fascio di piani generato dall’asse z ha equazione
x + ky = 0, k ∈ R.
Imponendo il passaggio per A otteniamo un assurdo, quindi il piano cercato ha equazione α : y = 0.
Il centro della circonferenza `e l’intersezione di tale piano con la retta r, quindi il centro C della circonferenza ha coordinate C(0, 0, 1). Il raggio della circonferenza `e r = CA =√
5. Tra tutte le sfere che contengono tale circonferenza possiamo considerare in particolare la sfera che contiene tale circonferenza come circonferenza massima. Possiamo considerare la sfera di equazione
(x − 0)2+ (y − 0)2+ (z − 1)2= 5.
La circonferenza ha allora equazione
x2+ y2+ z2− 2z − 4 = 0 y = 0
Esercizio 6. Data la curva C di equazioni parametriche
x(t) = t3 y(t) = t2 −3 z(t) = t −1
, t ∈ R,
verificare che si tratta di una curva sghemba. Determinare l’equazione della retta tangente C nel punto P1 corrispondente al valore t = 1 del parametro.
Soluzione dell’esercizio 6. Per verificare che la curva assegnata dobbiamo verificare che non esiste alcun piano π di equazione cartesiana ax + by + cz + d = 0 la cui equazione sia identicamente soddisfatta dai punti della curva. Calcolando l’equazione del piano nel generico punto della curva otteniamo
a(t3) + b(t2− 3) + c(t − 1) + d = 0 =⇒ at3+ bt2+ ct(−3b − c + d) = 0.
Per il principio di identit`a dei polinomi allora
a = 0, b = 0, c = 0, −3b − c + d = 0 =⇒ d = 0.
La curva assegnata `e effettivamente sghemba.
Il vettore tangente alla curva ha coordinate
x(t)0 = 3t2 y(t)
0
= 2t z(t)
0
= 1
Il vettore tangente a C nel punto P1(1, −2, 0) ha coordinate (3, 2, 1). Le equazioni parametriche della retta t tangente a C nel punto P1(1, −2, 0) sono
t :
x = 1 +3p
y = −2 +2p
z = p
, p ∈ R.
Equazioni cartesiane della retta sono t :
x −3z −1 = 0
y −2z +2 = 0
Esercizio 7. Determinare l’equazione del cono avente il vertice nel punto V (0, 0, 3), costituito dalle rette che si appoggiano alla curva
D :
x2− y2+ 2z2+ x − y = 0 x + y + z = 0.
Soluzione dell’esercizio 7. Sia P0(x0, y0, z0) il generico punto di D. Allora
x02− y02+ 2z02+ x0− y0= 0 x0+ y0+ z=0.
Le equazioni della retta passante per P0 e V sono x − x0
x0
=y − y0
y0
= z − z0
z0− 3. Al variare del punto P0 su D otteniamo il cono cercato. Da x−xx 0
0 = y−yy 0
0 possiamo ricavare y0(x − x0) = x0(y − y0) =⇒ x0y = y0x =⇒ x0=y0
y x.
Da y−yy 0
0 = z−zz 0
0−3 ricaviamo
(z0− 3)(y − y0) = y0(z − z0) =⇒ z0y = 3(y − y0) + y0z =⇒ z0= 3 +y0
y (z − 3).
Imponendo la condizione x0+ y0+ z0= 0 abbiamo y0
y x + y0+ 3 +y0
y (z − 3) = 0 =⇒ y0(x
y + 1 +z − 3
y )) = −3.
Ovvero
y0(x + y + z − 3
y ) = −3 =⇒ y0= −3y
x + y + z − 3. Da cui si ricava
x0= −3x
x + y + z − 3, z0= 3(x + y) x + y + z − 3. Sostituendo nell’equazione x02− y02+ 2z02+ x0− y0= 0 abbiamo
( −3x
x + y + z − 3)
2
− ( −3y
x + y + z − 3)
2
+ 2( 3(x + y) x + y + z − 3)
2
+ ( −3x
x + y + z − 3) − ( −3y
x + y + z − 3) = 0.
Effettuando i conti otteniamo per il cono l’equazione
8x2+ 4y2+ 12xy − x(z − 3) − y(z − 3) = 0.
Si tratta, come `e giusto che sia, di un’equazione omoegenea di secondo grado in x, y, z − 3.
Esercizio 8. Scrivere l’equazione del cilindro proiettante, parallelamente alla retta r di equazioni cartesiane
2x −z = 0
2y −z = 0 , la curva C di equazioni parametriche
x(t) = t2 y(t) = t z(t) = t3
, t ∈ R.
Soluzione dell’esercizio 8. Sia P0(t2, t, t3) un punto della curva. La retta passante per P0 e parallela a r ha equazioni
x − t2
1 = y − t
1 = z − t3 2 .
Eliminando il parametro t dalle precedenti uguaglianza otteniamo l’equazione del cilindro.
x − t2= y − t =⇒ t2= x − y + t.
Sostituendo tale espressione di t2 in 2(y − t) = z − tt2 otteniamo
2y − 2t = z − t(x − y + t) =⇒ t2= z − 2y + t(x − y + 2).
Di conseguenza
x − y + t = z − 2y + t(x − y + 2) =⇒ t(x − y + 1) = x + y − z =⇒ t = x + y − z x − y + 1. Sostiutendo tale espressione di t ad esempio in x − t2= y − t abbiamo
x − (x + y − z x − y + 1)
2
= y − (x + y − z x − y + 1).
Effettuando i dovuti conti otteniamo infine
x3+ xy2− 2x2y + x2− y2− z2− 5xy − 2xz − 2yz − 2y − z = 0.
Esercizio 9. Scrivere l’equazione della superficie generata dalla rotazione della conica C : z = y2, x = 0, intorno all’asse z.
Soluzione dell’esercizio 9. In generale l’equazione di una superficie S ottenuta ruotando una curva C del piano coordinato yz di equazioni f (y, z) = 0, x = 0 attorno all’asse z ha equazione cartesiana f (±p
x2+ y2, z) = 0. Sostiutendo allora ad y l’espressione ±sqrtx2+ y2 otteniamo l’equazione cercata
S; z = x2+ y2.
