MECCANICA RAZIONALE Corso di Laurea in Ingegneria Civile
Anno Accademico 2016-2017
A. Ponno
(aggiornato al 11 gennaio 2017)
Ottobre 2016
3/10/16 Benvenuto, presentazione del corso e dei suoi contenuti. Descrizione del materiale didat- tico e delle modalit`a di esame. Concetti di base: punto materiale, massa, carica. Curve nello spazio euclideo e legge oraria di un punto materiale. Velocit`a di un punto materiale che si muove con assegnata legge oraria.
4/10/16 Accelerazione di un punto materiale. Esempi di moti: moto rettilineo uniforme; moto uniformemente accelerato; moto elicoidale. Principi della dinamica del punto materiale.
Primo principio (principio di inerzia). Classe di equivalenza dei sistemi inerziali.
5/10/16 Punto materiale non isolato. Secondo principio (legge di Newton). Esempio: punto soggetto a forza assegnata come funzione del tempo; soluzione generale ed esempi. Coppie isolate di punti materiali: terzo principio (principio di azione e reazione). Interazioni fondamentali: forza di gravit`a e forza elettrostatica. Principio di sovrapposizione delle forze.
10/10/16 Esempio: sistema Terra-Luna-Sole. Principio di determinismo newtoniano e sue conse- guenze. Esempio: determinazione del moto di un punto in dimensione uno. Principio di relativit`a galileiana e sue conseguenze. Esempio: sistema isolato di due punti materia- li. Struttura generale delle forze di interazione di coppia tra punti materiali. Esempi di dinamica del punto: moto di un punto soggetto alla propria forza peso e moto di una particella carica in un campo elettrico uniforme e costante.
11/10/16 Forza esercitata da una molla reale. Approssimazione di molla ideale. Studio della di- namica di un punto materiale attaccato a una molla ideale (moto armonico tridimensio- nale). Soluzione generale dell’equazione dell’oscillatore armonico unidimensionale e solu- zione corrispondente a un assegnato dato iniziale. Esercizio: implicazioni del principio di relativit`a sul moto di un punto materiale.
12/10/15 Esercizi. Soluzione dell’equazione dell’oscillatore armonico per sviluppo in serie. Solu- zione dell’equazione non omogenea (dinamometro). Studio del problema della caduta dei gravi in presenza di attrito del mezzo. Analisi del moto armonico 3D: conservazione del momento angolare e dell’energia totale.
17/10/16 Osservazione generale sulla regola di Leibniz per prodotti bilineari tra vettori. Problema dei due corpi. Equazioni. Moto del baricentro, massa ridotta e spostamento relativo.
Conservazione del momento angolare del moto relativo e conseguente planarit`a del moto.
18/10/16 Studio del moto relativo (piano) in coordinate polari. Eliminazione dell’angolo dalla conservazione del momento angolare ed equazione radiale. Analisi qualitativa del moto radiale. Conservazione dell’energia ed energia potenziale efficace. Determinazione degli intervalli di moto radiale. Regole generali. Esempio: oscillatore armonico 3D.
19/10/16 Analisi qualitativa del moto radiale nel caso gravitazionale: classificazione dei moti pos- sibili. Leggi di conservazione generali (energia e momento angolare) per il problema dei due corpi e loro relazione con le leggi di conservazione del moto relativo.
24/10/16 Deduzione delle leggi di Keplero. Vettore di Laplace-Runge-Lenz: definizione, conser- vazione e propriet`a. Equazione generale dell’orbita in forma polare. Generalit`a sulla rappresentazione polare delle sezioni coniche. Parametro ed eccentricit`a dell’orbita in funzione di energia e momento angolare. Enunciato delle tre leggi di Keplero. Dimostra- zione della prima legge. Definizione della velocit`a areolare e dimostrazione della seconda legge.
25/10/16 Dimostrazione della terza legge di Keplero. Discussione generale sulle tre leggi. Introdu- zione alle equazioni differenziali ordinarie (EDO). Definizioni generali. EDO autonome del primo ordine. Analisi qualitativa.
26/10/16 EDO autonome del primo ordine. Linearizzazione intorno agli zeri semplici. Metodo di separazione delle variabili e soluzione “esplicita”. Esempi: non esistenza della soluzione per tutti i tempi e non unicit`a della soluzione (Pennello di Peano).
Novembre 2016
02/11/16 EDO del secondo ordine conservative. Conservazione dell’energia e analisi qualitativa:
diagramma di fase. Esempi: oscillatore armonico, oscillatore anarmonico e pendolo.
07/11/16 Esercizi su analisi qualitativa delle EDO conservative di ordine due: analisi locale delle curve di fase intorno a minimi e massimi locali dell’energia potenziale tramite conserva- zione dell’energia. EDO lineari a coefficienti costanti. Metodo di soluzione. Principio di sovrapposizione per il caso non omogeneo.
08/11/16 Tecnica di soluzione per le EDO lineari a coefficienti costanti. Soluzione dell’omogenea.
Polinomio caratteristico e sue propriet`a. Soluzione in forma reale. Ruolo della parte reale e della parte immaginaria delle radici del polinomio caratteristico. Esempi: caduta dei gravi con resistenza del mezzo e dinamometro ideale.
09/11/16 Esercizio: EDO lineare, a coefficienti costanti, omogenea, di ordine tre. Dinamica dell’o- scillatore armonico smorzato con forzante armonica di data frequenza. Soluzione generale dell’equazione.
14/11/16 Analisi del ritardo di fase e del fattore di ampiezza per l’oscillatore armonico forzato da una data armonica. Frequenza di risonanza, fattore di ampiezza e ritardo di fase nel caso di piccolo attrito. Soluzione generale nel caso di forzante somma di armoniche tramite principio di sovrapposizione.
15/11/16 Analogo elettronico: circuito LRC serie con voltaggio applicato; sintonia della radio.
Battimenti e risonanza nel caso di attrito nullo. Studio della risposta (soluzione partico- lare) a forzante armonica nel caso di frequenza della forzante prossima a quella propria.
Impostazione del problema generale delle oscillazioni dei sistemi di punti.
16/11/16 Formulazione nello spazio delle configurazioni. Equilibri e linearizzazione delle equazioni del moto intorno ad essi. Studio dei piccoli moti. Ipotesi di lavoro sulle matrici costanti.
Formulazione del problema delle piccole oscillazioni e sua soluzione. Decomposizione in modi normali di oscillazione; frequenze proprie. Soluzione generale del problema.
21/11/16 Esercizi su sistemi oscillanti.
22/11/16 Esercizi su sistemi oscillanti.
23/11/16 Esercizi su sistemi oscillanti.
29/11/16 Esercizi su sistemi oscillanti.
30/11/16 Esercizi su sistemi oscillanti. Introduzione ai vincoli.
Dicembre 2016
05/12/16 Definizione di vincolo e di reazione vincolare. Punto vincolato a muoversi su una curva o su una superficie. Reazione vincolare come incognita del problema. Proiezione dell’equa- zione di Newton parallelamente e ortogonalmente al vincolo. Determinazione della com- ponente normale della reazione. Necessit`a dell’introduzione di ipotesi sulla componente tangenziale della reazione. Caso dei vincoli ideali (reazione tangenziale nulla). Problemi di statica del punto con vincolo non ideale. Legge di Coulomb-Morin dell’attrito statico.
Esempio: punto su piano soggetto a richiamo elastico e a forza peso; soluzione nel caso ideale e nel caso non ideale.
06/12/16 Teorema sull’apertura di piccoli intervalli di equilibrio in presenza di piccolo attrito statico nel caso di punto materiale vincolato su una curva piana. Conseguenze e generalizzazione.
Legge dell’attrito dinamico. Esempio: punto materiale in caduta su piano inclinato;
condizione di arresto. Tipi di reazioni vincolari. Reazioni nei punti di fissaggio. Esempio:
dinamometro. Reazioni nei punti mobili di ancoraggio. Esempio: dinamometro con punto di sospensione oscillante.
07/12/16 Reazioni di appoggio. Discussione sui vincoli unilateri. Esercizi su vincoli e attrito statico.
12/12/16 Equazioni cardinali della meccanica newtoniana. Deduzione della prima e della secon- da equazione cardinale. Discussione sull’utilizzo della prima equazione cardinale per la determinazione del moto del baricentro. Esempi: sistemi isolati e sistemi nel campo di gravit`a.
13/12/16 Determinazione del momento angolare di un sistema di punti nel campo di gravit`a. Di- scussione sull’utilizzo delle equazioni cardinali nel caso dei corpi rigidi. Definizione di corpo rigido; vincoli di rigidit`a e numero di parametri indipendenti per la determina- zione della posizione. Esempio: confronto tra un manubrio ideale e un sistema di due punti connessi da molle; illustrazione della sufficienza delle equazioni cardinali per la determinazione della dinamica nel primo caso.
14/12/16 Equazioni cardinali della statica. Definizione e condizioni di equilibrio di asta e filo ideali.
Sistemi di forze applicate, definizione. Risultante e momento risultante di un sistema di forze applicate. Formula di trasposizione del momento risultante. Esempio: coppia.
Equivalenza di due sistemi di forze applicate. Equivalenza di un sistema generale a un sistema di tre forze applicate. Sistemi di forze applicate parallele e sua equivalenza al risultante (non nullo) applicato nel centro. Esempio: sistema di forze peso.
19/12/16 Teoria dei solidi in appoggio ideale. Definizioni: insieme di appoggio e poligono di appog- gio. Esempi. Sistemi di forze agenti sul solido appoggiato: sistema dei carichi, sistema delle reazioni di appoggio e loro equivalenza a risultante nel rispettivo centro. Definizio- ne di centro di pressione. Dimostrazione dell’appartenenza del centro delle reazioni al poligono di appoggio.
20/12/16 Teorema sul centro di pressione: enunciato e dimostrazione. Esercizio su aste ideali e reazioni vincolari.
21/12/16 Esercizi di statica Gennaio 2017
09/01/17 Esercizio: statica della gru. Teorema dell’energia cinetica e sue formulazioni; lavoro infinitesimo come forma differenziale.
10/01/17 Forze conservative. Condizione di esattezza del lavoro infinitesimo: energia potenzia- le. Teorema di conservazione dell’energia. Condizione necessaria e sufficiente per la conservativit`a delle forze. Esempi.
11/01/17 Teorema di variazione dell’energia totale nel caso di forze generali. Elementi di teoria della stabilit`a. Spazio delle fasi (o degli stati). Definizione di stabilit`a di un punto di equilibrio secondo Lyapunov. Esempio: oscillatore armonico. Caso conservativo a pi`u dimensioni. Teorema di Lagrange-Dirichlet (enunciato e idea della dimostrazione).
Definizione generale dei vincoli ideali. Principio di D’Alambert e principio dei lavori virtuali.
