Capitolo 3 Signal Processing

Capitolo

3

Signal Processing

Il Signal Processing del radar CLEARAD è stato realizzato in Simulink, il modello ha 2 canali, uno per il segnale Somma e uno per il segnale Differenza.

In ogni canale si hanno come input la parte in fase e la parte in quadratura del rispettivo segnale in banda base, generate dal programma ECOSIM.

Lo schema a blocchi realizzato segue quello della fig.3.1.

Figura 3.1: Modello Simulink del radar

3.1 Sviluppo del modello SIMULINK

Dopo aver caricato i campioni dei segnali, sono stati realizzati 2 filtri adattati per ogni canale. Ogni filtro adattato è stato creato prendendo dalla libreria Simulink il blocco

Figura 3.2: Parametri del blocco Matched Filter

Dopo i 2 filtri adattati per canale si è preso il blocco Real-Imag to Complex per ottenere i campioni complessi del segnale Somma e del segnale Delta ed è stato inserito un

Buffer per immagazzinare nel tempo i campioni.

Per accumularli in una matrice tempo lento-tempo veloce, avendo memorizzato i campioni in uscita dal filtro adattato PRI dopo PRI in un vettore colonna lungo elementi, si mette un blocco Reshape che produce una matrice di dimensioni

[

128 128 16384 R N ⋅M = ⋅ =

]

, R

N M in cui in ogni colonna sono presenti i campioni di una

sweep temporale.

Visto che il Simulink lavora sulle colonne delle matrici e noi dobbiamo operare una FFT per ogni campione riferito alla stessa cella in distanza, mettiamo un blocco

Transpose che ci fornisce la trasposta della matrice, così adesso possiamo inserire il

blocco FFT.

Prima del blocco FFT è meglio pesare ogni colonna tramite una finestra di Blackman per ridurre i lobi laterali degli spettri in uscita dal blocco FFT .

In uscita al blocco FFT si ha la matrice di dati complessi di tipo Range-Doppler, dato che Simulink, però, restituisce la trasformata sulle frequenze

[

0, PRF si è

]

implementato un blocco FFTshift che riporta la trasformata sulle frequenze

, 2 2 PRF PRF ⎡₋ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦.

Fino a qui l’elaborazione descritta viene fatta su entrambi i canali.

3.2 Rivelazione con tecnica CFAR

La rivelazione viene fatta esclusivamente sul canale Somma, tramite i dati ottenuti dopo l’operazione di modulo quadro della matrice Range-Doppler.

Come anticipato nel sottoparagrafo 1.5.5 la decisione viene presa tramite un algoritmo CFAR monodimensionale, cioè la soglia viene calcolata considerando sempre celle sullo stesso canale Doppler.

3.2.1 Caratteristiche delle tecniche CFAR

Un processore CFAR è un tool di signal processing che permette la rivelazione automatica dei bersagli immersi nel clutter e nel rumore. Usa una soglia adattiva, e i target sono dichiarati presenti quando la statistica di decisione supera questa soglia. La soglia è determinata in modo che la probabilità di falso allarme rimanga costante. Per una specificata e un livello di rumore, un sistema radar deve aumentare la potenza trasmessa per aumentare la probabilità di rivelazione ad un determinato range.

FA

P

Perciò, si ha un problema di ottimizzazione in cui, cerchiamo di massimizzare la P , D

fissato un valore di P_FA.

Per avere un criterio di decisione ottimo, si usa il test di Neyman-Pearson o la strategia di decisione di Bayes.

Il teorema di Neyman-Pearson afferma:

Si abbiano le variabili X X₁, ₂,...,X con densità di probabilità congiunta _n

(

1, ,...,2 n 1, ,...,2

f x x x θ θ θ , e si suppone di avere l’ipotesi k

)

0 0: i i

H θ θ= e l’ipotesi

1 1: i i

H θ θ= , dove θ e _i0 θ sono costanti note per ogni _i1 i∈

{

1, 2,...,k

}

)

, rappresentative

dei possibili stati predeterminati. Si supponga inoltre che U è l’insieme di punti

(

x x1, ,...,2 xn cosicchè :

(

)

(

11 22 10

)

, ,..., , ,..., n n f x x x H f x x x H >ζ , per qualsiasiζ >0; (3.1)

(

)

(

1, 2,..., n 0 . P X X X ∈U H

)

=α (3.2)

U è una regione di decisione di ampiezza α che ha la potenza più alta.

Il rapporto di densità di probabilità congiunte è un rapporto di funzioni di verosimiglianza, e quindi questo test è chiamato test del rapporto di verosimiglianza. Questa metodologia può essere usata per costruire un test in base al contesto di interesse.

Nel caso di rivelazione di un singolo target in osservazioni in presenza di rumore e clutter , siamo interessati a testare le ipotesi:

0:

H r= contro l’alternativa η H₁:r= + , dove υ η r=r t( ) denota il segnale ricevuto

dal radar, su una finestra di osservazione temporale

[ ]

0,Τ , υ υ=

( )

t è un’osservazione

del target e η η=

( )

t è clutter e rumore.

Nel caso del CA-CFAR, si modella sia il clutter che il rumore come processi Gaussiani. Con questa modellizzazione è possibile trovare una relazione analitica tra la e la soglia.

FA

P

3.2.2 Il rivelatoreCA-CFAR

Supponiamo di avere un insieme di M osservazioni di clutter e rumore X X₁, ₂,...,X ,ed M

in base a queste costruiamo una statistica di decisione Y =Y X X

(

₁, ₂,...,X_M

)

.

Assumiamo di avere una osservazione X , questa osservazione è detta cella sotto test ₀

(CUT: Cell Under Test).

Usando l’approccio del teorema di Neyman-Pearson, può essere dimostrato [7] che la forma del miglior test è decidere H₁ se X₀ >αY dove αè una costante.

L’interpretazione fisica di questo criterio di decisione è che confrontiamo il campione sotto test ad una statistica normalizzata, essendo, quest’ultima, basata sui campioni di clutter e rumore.

La statistica Ydà una stima dell’ampiezza del clutter, nel nostro contesto Yè un valore

Figura 3.3: Schema del CA-CFAR

Come si vede in figura 3.3 il processore CFAR opera in modo digitale sui campioni dell’ampiezza del segnale ricevuto: dopo il rivelatore di inviluppo di tipo quadratico si ha uno shift register di lunghezza N+ in cui vengono memorizzati i valori dei 1 campioni adiacenti al campione sotto esame. N sono le celle di riferimento,

2 N a sinistra e 2 N

a destra della CUT. Tra queste N celle di riferimento, che circondano la CUT, vi

possono essere G celle di guardia, 2

G

a sinistra della CUT e 2

G

a destra della CUT, il

cui valore non viene preso in considerazione dal processore CFAR, per evitare eventuali interferenze con il campione della CUT. La statistica Y è legata alla potenza media del

clutter ed è ottenuta a partire dal contenuto dei campioni delle N celle di riferimento che circondano la cella sotto test CUT, escluse

2

G

celle di guardia prima della CUT e 2

G

celle di guardia dopo la CUT. Dopo l’elaborazione del processore CFAR, viene generata la statistica y, che viene poi moltiplicata per un fattore scalare α, fissato in base alla probabilità di falso allarme desiderata. Viene così generata la soglia di decisione

FA

P

T = ⋅ . Il bersaglio è dichiarato presente (ipotesi α Y H₁) se il contenuto x

3.2.3 Il modello per l’algoritmoCA-CFAR

La tecnica CA-CFAR è una tecnica CFAR per clutter Gaussiano bianco a potenza incognita, per la nostra applicazione il clutter non è Gaussiano bianco avendolo modellato come un processo AR(1), ma per clutter colorato il ricevitore sarebbe più complicato da realizzare.

Per cercare, allora, di non allungare eccessivamente i tempi di elaborazione e quindi di decisione, una possibilità è quella di utilizzare comunque una delle tecniche CFAR per clutter Gaussiano bianco.

Tutte le tecniche CFAR semplici presuppongono campioni di clutter scorrelati. Il problema diventa molto più complicato da trattare se si tiene conto anche della correlazione. Nella realtà i campioni sono sempre correlati, sia in range che in azimuth. E' per questo che spesso le prestazioni degli algoritmi CFAR testate sui dati reali sono diverse da quelle nominali.

Deriviamo, adesso, la relazione tra la e la costante moltiplicativa della soglia per un CA-CFAR con rumore e clutter Gaussiani.

FA

P

Dimostriamo, dapprima, che le variabili aleatorie in uscita dal rivelatore quadratico sono esponenziali e quindi ricaviamo un’espressione per la probabilità di falso allarme in funzione della soglia.

Il segnale trasmesso è un’onda sinusoidale di durata Τ e frequenza ω_c, l’eco ricevuto sarà una versione attenuata e ritardata del segnale trasmesso, sommata al rumore ed al clutter.

L’eco radar viene filtrato con un filtro passa-banda con frequenza centrale ωc,

assumiamo questo filtro con risposta rettangolare con banda f . _B

Assumendo fB > 1

Τ, il segnale ricevuto può essere scritto :

( )

(

( )

)

( )

( )

0 cos c s cos c sin

s t = A ω t −φ =a ωt +b ω_ct , (3.3)

dove s arctan

b a

φ = ⎛ ⎞_{⎜ ⎟}

⎝ ⎠ è la differenza di fase del segnale, e l’ampiezza

2 2

A= a +b .

Quando il rumore Gaussiano passa in un filtro passa-banda, l’uscita può essere scritta:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 cos c sin

n t =X t ωt +Y t ω_ct , (3.4)

dove X t

( )

e Y t

( )

sono variabili aleatorie Gaussiane indipendenti a media nulla e

L’eco radar al rivelatore può allora essere scritto:

( )

t s t0

( )

n t0

( )

(

a X t

( )

)

cos

( )

ct

(

b Y t

( )

)

sin

( )

ct R t

( )

cos

(

ct

( )

t

)

ζ = + = + ω + + ω = ω +Φ , (3.5) dove R t

( )

=

(

a+X t

( )

)

2+ +

(

b Y t

( )

)

2 e

( )

( )

( )

arctan b Y t t a X t ⎡ + ⎤ Φ = _{⎢ ⎥} + ⎣ ⎦. (3.6) Vogliamo ottenere l’espressione della densità di probabilità dell’ampiezza R t

( )

dalle

caratteristiche del segnale ricevuto.

Si noti che il quadrato di R t

( )

è la somma dei quadrati di due variabili aleatorie

Gaussiane: chiamiamo X₁ = +a X t

( )

e Y₁= +b Y t

( )

. Usando la densità congiunta di

, e passando in coordinate polari

(

X Y1, 1

)

(

R,Φ , definite dalla trasformazione (3.6),

)

può essere facilmente dimostrato che, la densità congiunta trasformata è

( )

( )

2 2 2 , 2 2 2 cos 2 sin , exp 2 2 R r r a b ra rb f r φ φ φ πσ σ Φ ⎡ + + − − ⎤ = _⎢− _⎥ ⎣ ⎦, (3.7) dove _{σ è la varianza di} 2 1 X e Y₁.

Per ottenere la d.d.p. di R t

( )

, integriamo la densità congiunta su tutti i valori di fase e

abbiamo

( )

2 ₍ , ₎

( )

2 2 2 2 0 0 , exp 2 R R r r A r f r f r d I π φ φ A₂ σ σ σ Φ ⎡ + ⎤ ⎡ ⎤ = = _⎢− _{⎥ ⎢ ⎥} ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫

, (3.8) dove I è la funzione di Bessel modificata di ordine zero. ₀

Si noti che la fR

( )

r nel caso di assenza di segnale, quindi , la d.d.p.

dell’ampiezza dell’eco di ritorno è di Rayleigh con parametro

0

A=

2

σ .

L’ampiezza passa, in seguito, attraverso un quadratore, quindi siamo interessati alla distribuzione del quadrato di R. Consideriamo la variabile Z =R2, può essere

dimostrato che la sua d.d.p. è data da

( )

₂ 2 2 2 2 1 exp 2 1 2 1 Z z f z A A σ σ σ σ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ = − ⎢ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + _⎢ + _⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠⎦ 2 ⎥⎥. (3.9)

Quindi i campioni del segnale ricevuto, processati attraverso il rivelatore quadratico,

sono distribuiti esponenzialmente. Il rapporto

2 2

A S

σ = è una misura del rapporto

Adesso, possiamo studiare il sistema CFAR con rumore e clutter Gaussiani, su variabili aleatorie esponenziali.

Nel caso di assenza di bersaglio nella CUT, la statistica avrà una distribuzione esponenziale con parametro 1₂

2σ , visto che A= . 0

Quando c’è un target nella CUT, questa distribuzione è la stessa, fatta eccezione per il

parametro che diventa

(

)

2

1

2σ 1 S+ , col parametro S che contiene la presenza dell’eco del target.

3.2.4 Lo schema di rivelazioneCA-CFARper un singolo impulso

Supponiamo che i campioni dell’eco radar, già processati dal rivelatore quadratico, sono variabili aleatorie esponenziali IID.

Supponiamo X X₁, ₂,...,X un insieme di campioni di solo clutter e rumore attorno alla _M

CUT, ogni X_j ha una distribuzione esponenziale con parametro 1

μ , questo implica che

la media di questa distribuzione è μ . Con riferimento al sottoparagrafo precedente, segue che _μ=2σ2 _{visto che 0. Questa è la potenza media di rumore più clutter.}

A=

La statistica della CUT X è o rumore e clutter, e quindi è identicamente distribuita ai ₀

campioni X_j, o un eco di target in presenza di rumore e clutter.

Mettiamoci in questo secondo caso, in cui X ha una distribuzione esponenziale con ₀

parametro

(

1 S1

)

μ + , dove S è l’SNR di un target Swerling 1.

Quindi, per decidere la presenza di un target, abbiamo un test con H₀:ρ μ= in alternativa a H₁:ρ μ=

(

1+S

)

, avendo assunto che la variabile sotto test X ha una ₀

distribuzione esponenziale con parametro 1

ρ .

La forma del test è:

decidere H₁ se 0 1 M j j X M X α = >

∑

, dove αè un fattore moltiplicativo per la soglia.

Perciò, la soglia adattiva per lo schema CA-CFAR è

1 M j j X M α =

∑

.

La probabilità di falso allarme P_FA può essere determinata così:

(

1 0

)

0 1 M FA j j

P P decidereH è veraH P X X è veraH

M α = ⎛ ⎞ = = _⎜ > ⎝

∑

0⎠⎟ . (3.10) Nell’ipotesi H₀, X ha una distribuzione esponenziale con parametro ₀ 1

μ . La somma 1 M j j X =

∑

di variabili aleatorie esponenziali IID ha una distribuzione Gamma γ M,1

μ

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠. Questa distribuzione ha una densità

( )

1

_{( )}

M 1 z Z z f z M e μ μ μ − − ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} Γ _{⎝ ⎠} , (3.11) dove è la funzione Gamma, definita come l’integrale Γ

( )

1

(

)

0 1 ! M x M x e dx M ∞ − − Γ =

∫

= − , (3.12) dove l’ultima uguaglianza vale solo se M è un numero intero non negativo.

Ricordando che 1 M j j Z X = =

∑

, otteniamo

( )

( )

0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 . 1 FA Z M z M M P P X Z H P X Z H f z M M z e dz M M α μ α α μ μ α ∞ − _{⎛ ⎞} ∞ _{− +} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = _⎜ > _⎟= _⎜ > _⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} Γ _{⎝ ⎠} = ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∫

∫

dz (3.13)

Perciò, per una data costante moltiplicativa α per la soglia e il numero di celle M , la probabilità di falso allarme può essere ottenuta esattamente come nella formula sopra. Dal punto di vista del rivelatore CA-CFAR , un bersaglio nella CUT è dichiarato presente se 1 0 1 1 M M FA j j X P − = ⎛ ⎞ >_⎜ − _⎟ ⎝ ⎠

∑

X (3.14) E’ anche interessante notare che la probabilità di rivelazione, P , può essere ricavata in _D

maniera simile. Notando che questa è la probabilità che si decide quando è vera , segue che

1

(

)

( ) ( )

( )

(

)

0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 . 1 1 M D j j z M S M M M P P X X X Exp M S e z e dz M M M S α μ μ α μ μ α = ∞ _{− −} + − ⎛ _{⎛ ⎞}⎞ ⎜ ⎟ = > = _{⎜⎜ ⎟⎟} ⎜ _⎝ + _⎠⎟ ⎝ ⎠ = Γ Γ = ⎛ ⎞ + ⎜ ₊ ⎟ ⎝ ⎠

∑

∫

(3.15)

Si osservi che entrambe le probabilità, P e _D P_FA, sono indipendenti dal valor medio

μ di clutter e rumore. [8]

3.2.5 Implementazione della tecnica CFAR

La tecnica CA-CFAR è stata realizzata in Matlab, per analizzarla è importante sottolineare come sono state scelte le celle di riferimento nelle analisi in Matlab. Poiché i dati appartengono ad un piano bidimensionale range – doppler, le celle di riferimento sono disposte nel piano e sono presenti in ogni direzione attorno alla CUT. Esistono tre criteri di scelta delle celle di riferimento:

1) Gli M campioni vengono presi attorno alla CUT in direzione range, ossia considerando solo la stessa cella in range del campione sotto test;

. . 5 . .

. . 8 . .

. . 3 . .

. . 6 . .

. . 9 . .

A

⎛

⎞

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

=

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

Cella sotto test

2) Gli M campioni vengono presi attorno alla CUT in direzione azimuth, ossia considerando solo la stessa cella doppler del campione sotto test;

. . . . . . . . . . 5 6 4 8 3 . . . . . . . . . . A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

3) Gli M campioni vengono presi attorno alla CUT in direzione range - doppler, ossia considerando il settore corona circolare, attorno al campione sotto test.

. . . . . . 3 6 6 . . 8 5 4 . . 9 10 3 . . . . . . A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Il nostro algoritmo è di tipo mono-dimensionale e segue il secondo criterio, cioè la soglia è calcolata considerando sempre celle sullo stesso canale doppler, come mostrato in fig.3.4.

Figura 3.4: Scelta delle celle nella matrice Range-Doppler

Sono state usate 3 celle di guardia per lato e 8 celle di riferimento per lato, quindi .

16

M =

Per ridurre il calcolo computazionale, visto che in ogni cella in range, sia il clutter che il rumore hanno le stesse caratteristiche, viene usata una soglia unica per ogni cella in

Cella sotto test

Corona circolare

…

Range

range, quindi il numero di soglie da calcolare si riduce da N_T =128 128 16384⋅ = a .

128

T

N =

I valori delle celle di riferimento per un certo range, invece, vengono presi facendo una media su tutto il canale doppler di appartenenza.

3.3 Stima angolare con tecnica monopulse

La seguente figura mostra l’andamento dei pattern Somma (in blu) e Delta (in rosso) in funzione dell’angolo azimutale θ. In figura è anche riportata (in verde) la retta a -3db rispetto al massimo (normalizzato) del segnale somma.

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0

Figura 3.5: Diagrammi di radiazione normalizzati

Nota 1: L’eco radar in arrivo sull’antenna viene dunque pesato dai pattern somma e delta in funzione dell’angolo di arrivo dell’eco radar e si generano così i due segnali Somma e Delta.

Nota 2: Come si vede dalla figura precedente, il fascio Somma ha larghezza (a 3 db) pari al settore di copertura del radar (20°) .

La figura precedente mostra soltanto il modulo dei segnali Somma e Delta. Tuttavia, come si vedrà in seguito, per la determinazione dell’angolo d’arrivo cui si trova un bersaglio (DOA), è necessario conoscere anche la fase dei due segnali (o meglio lo sfasamento tra i due).

Dalla letteratura relativa alla tecnica monopulse si evince che l’angolo di arrivo di un bersaglio, può essere determinato se si conosce il rapporto tra i segnali Delta e Somma. La figura 3.6 mostra l’andamento teorico della funzione Delta/Somma in funzione dell’angolo azimutale θ compreso tra ±45D_.

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figura 3.6: Andamento del rapporto Delta/Somma

Come si vede, la funzione Delta/Somma è monotona crescente nell’intervallo angolare di interesse , il che implica la possibilità di determinare univocamente per un certo bersaglio il DOA corrispondente una volta noto il rapporto Delta/Somma.

(

±10D

)

2 2

S= Σ

D= Δ

, dove

Σ

e

Δ

sono i campioni nella cella range-doppler in cui si trova il bersaglio. La stima dell’angolo θ cui si trova il bersaglio è data dal rapporto θ∧

S D K_m B θ θ∧ = (3.16) Dove : -

( )

( )

0 1 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ Δ ∂ ∂ = θ θ θ θ θ m B K (3.17)

Nel caso per la stima angolare si utilizzi un numero di impulsi indipendenti >1, è possibile ottenere un certo numero di stime per uno stesso target, ed utilizzare come valore stimato finale la media tra queste. [9]

i

∧

θ Cosi facendo si ha il valore stimato:

N N i i

∑

= ∧ ∧ = 1 θ θ (3.18)