Esercizio 1. Si vuole progettare un filtro con la struttura rappresentata in figura.

I prova in itinere di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (TEMA A1) COGNOME e NOME:

Oltre ai necessari articoli di cancelleria (penna, matita, etc.) si pu` o utilizzare solo una calcolatrice non programmabile. Non si possono, in particolare, tenere fotocopie di alcun tipo, appunti, quaderni, telefoni, computer o altri strumenti con possibilit` a di trasmettere e/o ricevere informazioni. Le risposte vanno gius- tificate. Saranno rilevanti per la valutazione anche la concisione, l’ordine, la chiarezza di esposizione e la precisione delle risposte.

Durata della prova: 2 ore.

Esercizio 1. Si vuole progettare un filtro con la struttura rappresentata in figura.

b

b

2R +

u(t) _















L

b

b

















L 3R

y(t) +

Si consideri la tensione u(t) applicata come ingresso del filtro e la tensione y(t) (a morsetti di uscita aperti) come uscita.

1.1. Considerando come parametri tempo invarianti i valori di R, C e L, si descriva il sistema con un modello matematico “a variabili di stato”.

1.2. Si calcoli la funzione di trasferimento H(s) del filtro.

1.3. Si calcoli, se esiste, il valore di regime della risposta al gradino del filtro.

1.4. Si calcoli, se esiste, il valore di regime della risposta del filtro all’ingresso u(t) = 1(t) + sin(2t).

Esercizio 2. Si consideri lo schema rappresentato in figura dove si ha G(s) = 1

(1 − s)

, e il controllore ha la forma C(s) = K

s + 2 .

y

(t) y(t)

d(t) - i

−

- C(s) ^- G(s) ^{- i}

?

- 6

2.1. Si determinino, le funzioni di trasferimento da y

a y e da d a y (in funzione di K).

2.2. Si dica per quali valori di K > 0 il sistema a catena chiusa ` e BIBO stabile.

Domanda di teoria. Si consideri un sistema Σ :

( x = f (x, u) ˙ y = h(x, u)

Si dica, argomentando brevemente (max. 5 righe) la risposta, se la seguente affermazione ` e vera o falsa: “Detti Σ

e Σ

due sistemi lineari ottenuti dal sistema Σ linearizzandolo attorno a due diversi punti di equilibrio, Σ

`

e BIBO stabile se e solo se lo ` e Σ

”.