P ro b a b il it à : c o n c e tt i d i b a s e
•Prova: (o esperimento aleatorio) èun esperimento caratterizzato da due o piùpossibili risultati, per il quale esiste incertezza circa il risultato che si realizzerà •Evento elementare: ogni possibile risultato dell’esperimento aleatorio, indicato genericamente come ωi •Evento: insieme di eventi elementari, indicato genericamente come E •Probabilità: numero compreso tra 0 e 1 che misura il grado di incertezza connesso al risultato scaturito da una prova In una dataprova, l’eventoE si verifica conprobabilitàP(E)O p e ra z io n i s u g li i n s ie m i
•Le operazioni sugli insiemi possono essere visualizzate attraverso idiagrammi di Venn: ogniinsiemeèrappresentatoda unalineacurvachiusae sitrovaall’internodi unascatolache rappresentalo spazio, Ω, deirisultatidell’esperimento. •Unionedi due eventi A e B: èl’evento E = AUBche si verifica se almeno uno dei due eventi Ao Bsi verificano •Intersezionedi due eventi A e B: èl’evento E = A∩Bche si verifica se si verificano entrambi gli eventi Ae B •Negazionedi un evento A: èl’evento Acche si verifica se non si verifica A •Le operazioni di unione e intersezione godono delle proprietà commutativa, associativae distributiva. •Sfruttando le operazioni sugli insiemi si possono definire i seguenti eventi: Evento impossibile: èl’evento che non può mai verificarsi e può essere definito come Evento certo, ossia l’evento che si verifica sempre in quanto comprende tutti i possibili risultati dell’esperimento. Può essere definito come Eventi incompatibili: due eventi Ae Bsi dicono incompatibili seΩ≡∅ Ω==BBAAUU ∅=BAI
D e fi n iz io n i d e ll a p ro b a b il it à
•Definizione classica: la probabilitàèdata dal rapporto tra il numero dei casi favorevoliall’evento e il numero dei casi possibili purchéessi siano tutti ugualmente possibili. •Definizione frequentista: la probabilitàdi un evento Eèil limite a cui tende la frequenza relativacon cui si osserva il verificarsi di Ein un numero ndi prove ripetutenelle stesse condizioni, quando ntende a infinito •Definizione soggettiva: la probabilitàdi un evento E èil grado di fiduciache ciascun individuo, in maniera soggettiva, attribuisce al verificarsi dell’evento, in base alle informazioni a sua disposizione.A p p ro c c io a s s io m a ti c o
•La probabilitàèuna funzione di insieme che associa a ogni evento Eun numero reale. La probabilitàsaràindicata con P(E). •La probabilitàdeve sottostare alle seguenti proprietà assiomatiche: Postulato 1 Postulato 2 Postulato 3P(A)≥0 P(ΩΩΩΩ)=1 A ∩∩∩∩B = ø⇒P(A UB) = P(A)+P(B)
•A partire dai tre assiomi èpossibile derivare tutta una serie di leggi che la probabilitàdeve rispettare, tra cui: 0 ≤P(E) ≤1 P(Ø) = 0 B ⊂A →P(B) ≤P(A) P(Ac) =1-P(A) P(B) = 1 →P(B∩A) = P(A) P(B) = 0 →P(BUA) = P(A) P(BUA) = P(A)+P(B)-P(A∩B)
P ro b a b il it à c o n d iz io n a te e in d ip e n d e n z a
•A volte si vuole valutare la probabilitàdi un certo evento A, sapendo che si ègiàverificato un evento B ad esso collegato. Si parla allora di probabilitàdi Acondizionataa B e si indica come P(A|B) •La probabilitàdi A condizionata a B si calcola come: •Dalla probabilitàcondizionata segue che (principio delle probabilitàcomposte)() ()()0,)|(>=BP BP
BAP BAPI ()()()APABPBPBAPBAP)|()|(==I
•Se il verificarsi dell’evento B non modifica in alcun modo la probabilitàdi verificarsi dell’evento A, i due eventi si dicono indipendenti. •Il concetto di indipendenza èsimmetrico e può essere formalizzato in due modi equivalenti: )()|(APBAP= ()()BPAPBAP)(=I Due eventi A e B si dicono indipendenti se e solo se Due eventi A e B si dicono indipendenti se e solo se
Il t e o re m a d i B a y e s
•Si definisce partizione di Ωun insieme di eventi A1,…,Aj,…,Ak, tali che: ()()() ()()()()kkii i A|BPAP...A|BPAPA|BPAP B|AP ⋅++⋅⋅ = 11Teorema di Bayes •()iAP, probabilità a priori. •()iA|BP, probabilità condizionate overosimiglianze •()B|APi, probabilità a posteriori, in quanto si riferiscono agli eventiiA, dopo aver osservato l’evento B.
Ai∩Aj= Ø,per ogni i, j Ω= =Uk ijjA
