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1 Dinamica dei Rotori
1.1 I fondamenti della Dinamica dei Rotori
Un Rotore è un corpo dotato di perni cilindrici supportati da cuscinetti che gli permettono la rotazione attorno ad un asse; lo studio del movimento o “moto” di un rotore in relazione alle azioni flessionali1
Immaginando il rotore, composto da un albero ed un disco calettato, vincolato alle estremità per mezzo di cuscinetti è possibile distinguere due diversi movimenti, il primo è il moto “rotatorio” attorno all’asse dell’albero, il secondo è il moto così detto di “precessione”
(forze e momenti), che si generano durante la rotazione, viene definito “Dinamica del Rotore”.
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, cioè il moto che l’albero, deformato a causa della sua flessibilità, compie attorno all’asse ideale3
Se le due velocità ω e ωp sono uguali, si parla di precessione
“sincrona”.
; ovviamente tali moti saranno caratterizzati da due diverse velocità angolari: “ ω” in riferimento al primo moto e “ ωp” per il
secondo.
Chiamando C il punto di calettamento del disco sull’albero, la traiettoria da esso descritta durante la rotazione, su di un piano ortogonale all’asse ideale, si chiama “orbita”, ovviamente anche tutti gli altri punti del rotore compiono delle orbite, ma mentre la prima ha solitamente forme circolari o ellittiche4 o tutt’al più di retta in casi degeneri, gli altri punti del rotore, specie quelli del disco, compiono traiettorie molto più complesse dovute alla composizione dei due moti sopra descritti.
1.2 Sbilanciamenti statici e dinamici
Si ha “sbilanciamento statico” quando il baricentro “B” del disco, di massa “m”, calettato sull’albero non coincide con il punto di calettamento C; la distanza fra i punti B e C prende il nome di “eccentricità” e viene
1 Le vibrazioni Torsionali, tipiche delle macchine ad azionamento alternativo, non sono oggetto di studio in
questo lavoro.
2 Conosciuto anche come “Whirling” 3 La retta congiungente i centri dei supporti 4 In casi stabili e stazionari
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indicata con “e”. Durante la rotazione tale sbilanciamento causa una forza centrifuga con direzione CB ed intensità pari a:
Fcen=meω2 1.1
Tale forza causa deformazione dell’albero e reazioni vincolari sui cuscinetti.
Si ha “sbilanciamento dinamico” quando l’asse principale del disco non coincide con l’asse dell’albero o, più in generale, quando i due assi formano fra loro un angolo “β”, in tali condizioni durante la rotazioni si nota l’insorgere di una coppia in corrispondenza del punto C causa del così detto “Momento Giroscopico”, esso avrà direzione ortogonale al piano contenete i due assi sopra citati e (in caso di angoli β piccoli) di intensità pari a:
MG=-�Ip-Id�ω2β 1.2
Dove Ip rappresenta il momento d’inerzia polare e Id il momento
d’inerzia diametrale del disco5.
1.3 Pulsazioni naturali, modi di vibrare, risonanza e velocità critiche Come tutti i corpi anche i rotori hanno le proprie “pulsazioni naturali” indicate con “ωn”, ma, a differenza di altri tipi di corpi, esse sono
strettamente legate alla velocità di rotazione e sono tante quante il numero di masse concentrate di cui è composto il rotore; per estensione si può affermare che un “rotore continuo” è provvisto di infinite pulsazioni naturali.
Ad ogni pulsazione naturale è associato un “modo proprio di vibrare” detto nel caso di un rotore: “moto processionale libero”; nel caso di presenza di sbilanciamenti o forzanti esterne si parla di “moti
processionali forzati”, se le forzanti esterne hanno la stessa pulsazione
della velocità di rotazione (cioè sono sincrone) le pulsazioni naturali vengono chiamate “Velocità Critiche”; in pratica se la velocità di rotazione coincide con una velocità critica e il rotore viene eccitato da una forzante sincrona (ad esempio una forza centrifuga dovuta a sbilanciamento statico) si verifica il fenomeno della risonanza, cioè le orbite del rotore possono assumere ampiezze molto maggiori delle corrispondenti in caso di rotore fermo e sottoposto alla stessa di forzante. 5 𝐼𝐼 𝑝𝑝=𝑚𝑚𝑟𝑟 2 2 ; 𝐼𝐼𝑑𝑑 = 𝑚𝑚𝑟𝑟2 4 ;
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1.4 Rotore di Jeffcott con disco in posizione qualsiasi
Il rotore in questione è il più semplice rotore nel quale è possibile ritrovare tutte le caratteristiche sopra citate; esso è composto da un albero privo di massa, ma avente una rigidezza flessionale, sostenuto alle estremità da supporti ideali e da un disco avente massa e momenti di inerzia polare e diametrale come è possibile vedere in figura 1.1.
In questo paragrafo sarà esaminato questo rotore e ne sarà data una risoluzione analitica con l’immissione di valori per tutte le costanti.
Il moto libero di tale sistema (privo di sbilanciamenti) è governato dalla seguente equazione differenziale in forma matriciale:
�M 00 I d� �ẍα̈� + 𝑖𝑖ω� 0 0 0 −Ip� �ẋα̇� + � k11 k12 k21 k22� �xα� = � 0 0� 1.3 La prima matrice, detta “matrice di Massa”, rappresenta le caratteristiche inerziali del disco
La seconda matrice, detta appunto “matrice Giroscopica”, evidenzia la dipendenza del sistema dalla velocità angolare ω.
La terza matrice, detta “matrice di Rigidezza” o di elasticità, racchiude le caratteristiche dell’albero calcolate nel punto di calettamento del disco, ed evidenza lo stretto legame che vi è fra gli spostamenti “x” e le rotazioni “α”
Figura 1.1
Nell’equazione 1.3 è stata usata la notazione complessa, cioè:
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Dove i simboli della 1.4 hanno il significato riportato in figura 1.2
Figura 1.2
Come è possibile vedere in [4]6
k11 = 3EIL (a 2−ab +b2) a3b3 i coefficienti kij corrispondono a: k12 = k21 = 3EIL (a−b)a2b2 1.5 k22 =3EILab Come riportato in [3]7 𝑥𝑥 = 𝑋𝑋 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝛼𝛼 = 𝐴𝐴 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 1.6
le soluzioni dell’equazione 1.3 saranno del tipo:
Dove “S” rappresenta le pulsazioni proprie “ωn” del sistema; tali
soluzioni sostituite nella 1.3 ci danno la relazione che esiste fra le pulsazioni proprie e la velocità di rotazione ω:
MId𝐒𝐒4 − MIpω𝐒𝐒3 − (Idk11 + Mk22)𝐒𝐒2 + Ipk11ω𝐒𝐒 + (k11k22 − k122 ) = 0 1.7
Dalla 1.7 è facile capire che ad ogni valore di ω corrispondono quattro valori di “S” e quindi quattro pulsazioni proprie ωn. Il grafico che
rappresenta la 1.7 sotto forma di funzione S(ω) viene chiamato “Diagramma di Campbell”, figura 1.3.
6 Qui si fa riferimento alle equazioni [4] 11.74 e 11.76 7 Qui si fa riferimento all’equazione [3] 33.7
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Figura 1.3
Vediamo ora quali soluzioni da la relazione 1.7 immettendo i seguenti dati, che successivamente verranno paragonati con una simulazione FEM per attestarne la validità:
DATI ALBERO:
L= 1m ; Diametro sezione = 0,02m ; Massa Albero = 0 ; Materiale = Acciaio Strutturale E = 2,07*1011GPa ; I=7,85*10-9m4 ; DATI DISCO:
Diametro disco = 0,2m; Spessore Disco = 0,05m; Densità = 7800kg/m3 Massa Disco = 12,25kg ; Id = 0,03kgm2 ; Ip = 0,06kgm2 ;
Punto di Calettamento: a = L/3 ; Velocità angolare: ω = 500rad/s
Ricaviamo i coefficienti della matrice “K” per a=L/3 e b=2L/3: k11 = 7298 ∗LEI3 = 1,5 ∗ 105N m�
k12 = −814 ∗LEI2 = 3,3 ∗ 104N m� 1.8
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Inserendo tutti i dati precedenti nell’equazione 1.7 otteniamo la seguente:
0,3675𝐒𝐒4 − 367,5𝐒𝐒3 − 2,74 ∗ 105𝐒𝐒2 + 7,5 ∗ 107𝐒𝐒 + 2,17 ∗ 109 = 0 1.9
Tale espressione ha quattro soluzioni, che sono state calcolate con ausilio di un foglio di calcolo utilizzante l’algoritmo iterativo
“Lin-Bairstow”:
S1=92 rad/s ; S2=-86,4 rad/s ; S3=1492,4 rad/s ; S4=-498 rad/s;
Tali valori corrispondono a: S1=ωn1 + ; S3=ωn2 + ; S2=ωn1 ; S4=ωn2
; valori visti in figura 1.3. Trasformiamo tali valori in frequenze, perché successivamente i risultati forniti da Ansys saranno dati in Hz: 𝜈𝜈 = 𝜔𝜔 2𝜋𝜋� 𝐻𝐻𝐻𝐻
𝜈𝜈1+ = 14,5 𝐻𝐻𝐻𝐻 ; 𝜈𝜈2+ = 237 𝐻𝐻𝐻𝐻 ; 𝜈𝜈1− = −13,7 𝐻𝐻𝐻𝐻 ; 𝜈𝜈2− = −79,3 𝐻𝐻𝐻𝐻
1.5 Rotori complessi
Dopo aver analizzato approfonditamente il rotore di Jeffcott, è necessario commentare brevemente come sia possibile studiare un rotore contenente più masse o dischi calettati su di un unico albero. Un esempio tipico sono gli alberi delle Turbo-Macchine, sui quali sono calettate diverse serie di palette ed inoltre la massa propria dell’albero non è trascurabile.
Per mostrare la complessità di calcolo verrà qui mostrata la tipica equazione della dinamica di un rotore con due dischi calettati su di un albero privo di massa:
� M1 0 0 M2 0 0 0 0 0 0 0 0 Id10 I0d2 � � ẍ1 ẍ2 α̈1 α̈2 � + iω � 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 −Ip1 0 0 −Ip2 � � ẋ1 ẋ2 α̇1 α̇2 � + ⎣ ⎢ ⎢ ⎡k011′ k0 11 ′′ k12 ′ 0 0 k12′′ k21′ 0 0 k21′′ k22′ 0 0 k22′′ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ � x1 x2 α1 α2 � = � 0 0 0 0 � 1.10
Dove gli apici nella matrice K indicano la posizione del primo o del secondo grado di libertà.
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E’ facile intuire come la complessità delle matrici che regolano la dinamica di queste strutture aumenti rapidamente con l’aumentare del numero delle masse calettate.
La complessità di questi sistemi richiede l’ausilio del computer ed è ormai prassi comune utilizzo di software che sfruttano le potenzialità applicative del calcolo F.E.M. .
1.6 Effetto dello smorzamento esterno
Ora vedremo cosa succede al modello precedente introducendo uno smorzatore esterno in corrispondenza di uno dei due gradi di libertà.
Come già anticipato nell’introduzione, per mantenere la simmetria assiale del rotore, vengono introdotti due smorzatori uno lungo l’asse Y ed uno lungo l’asse Z; in questo specifico caso non utilizziamo, come in molte altre trattazioni di dinamica strutturale, il così detto “smorzamento
proporzionale”, perché ci porterebbe ad avere una matrice di
smorzamento nella quale sarebbero presenti termini che comportano l’accoppiamento di smorzamento nelle direzioni miste YZ e ZY a causa della composizione della matrice K e che non avrebbero corrispondenza con il modello sopra descritto.
La matrice C sarà quindi del tipo:
[C] = � ce′ 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 � ; ce′ = �cey ′ cez′ � 1.11
Tale matrice potrà essere accorpata alla matrice Giroscopica poiché entrambe daranno contributi proporzionali alle velocità 𝑥𝑥̇ e 𝛼𝛼̇.
In questo caso, introducendo anche una forzante dovuta a sbilanciamento statico sul primo disco, l’equazione 1.10 si trasformerà nella seguente: � M1 0 0 M2 0 0 0 0 0 0 0 0 Id10 I0d2 � � ẍ1 ẍ2 α̈1 α̈2 � + � 𝐜𝐜𝐞𝐞′ 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 −iωIp1 0 0 −iωIp2 � � ẋ1 ẋ2 α̇1 α̇2 � + ⎣ ⎢ ⎢ ⎡k011′ k0 11 ′′ k12 ′ 0 0 k12′′ k21′ 0 0 k21′′ k22′ 0 0 k22′′ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ � x1 x2 α1 α2 � = � F(t) 0 0 0 �
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Senza scendere nei particolari dello studio analitico di tale sistema, possiamo vedere qualitativamente cosa succede, in corrispondenza della prima velocità critica “ω1c” in uno spettro di risposta di un sistema
eccitato da sbilanciamento statico su uno dei due dischi, al variare del coefficiente “c’e”, figura 1.4.
Figura 1.4
Poiché nella realtà all’introduzione di uno smorzatore corrisponde anche la contemporanea introduzione di una rigidezza esterna “Ke”,
come schematizzato in figura 1.5, l’equazione 1.12 subirà ancora una modifica, come segue:
� M1 0 0 M2 0 0 0 0 0 0 0 0 Id10 I0d2 � � ẍ1 ẍ2 α̈1 α̈2 � + � ce′ 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 −iωIp1 0 0 −iωIp2 � � ẋ1 ẋ2 α̇1 α̇2 � + ⎣ ⎢ ⎢ ⎡k11′ + 𝐤𝐤0 𝐞𝐞 k0 11′′ k12′ 0 0 k12′′ k21′ 0 0 k21′′ k22′ 0 0 k22′′ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ � x1 x2 α1 α2 � = � F(t) 0 0 0 � ke = �kkey ez� 1.13 Figura 1.5
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Inserendo la rigidezza Ke, si nota anche uno spostamento della
pulsazione propria tanto maggiore quanto più elevato è il coefficiente inserito, in questo caso uno spettro di risposta qualitativo può essere quello riportato in figura 1.6.
Figura 1.6
1.7 Uso del FEM nella dinamica dei rotori
Un generico rotore continuo, assimilabile ad un albero con sezioni circolari di diametro variabile (figura 1.7), può essere discretizzato con l’utilizzo di elementi BEAM8 lineari a due nodi, come noto dalla teoria FEM, le matrici che ne descrivono la dinamica sono del tutto simili a quelle viste in precedenza, ma con la particolarità che in questo caso si tratta di matrici “Consistenti”9
Ogni elemento sarà caratterizzato da otto gradi di libertà, due spostamenti (direzioni Y e Z) e due rotazioni (angoli φ e θ) per ogni nodo. Quindi, ad esempio, il vettore spostamento del primo elemento sarà composto come riportato in [4]
. 10 x(1) = [y1 z1 φ 1 θ1 y2 z2 φ2 θ2] 1.14 : 8 Elementi Trave
9 Matrici in cui alcuni (o tutti) gli elementi fuori dalla diagonale principale sono diversi da zero 10 Capitolo 11.5
14 Figura 1.7 Come riportato in [4]11 𝑘𝑘(𝑒𝑒)= 𝐸𝐸𝐼𝐼 ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 12𝑙𝑙3 0 12𝑙𝑙3 6 𝑙𝑙2 0 0 𝑙𝑙62 4 𝑙𝑙 0 4𝑙𝑙 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒𝑖𝑖𝑟𝑟𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠 −12𝑙𝑙3 0 0 −12𝑙𝑙3 −𝑙𝑙62 0 0 −𝑙𝑙62 6 𝑙𝑙2 0 0 𝑙𝑙62 2 𝑙𝑙 0 0 2𝑙𝑙 12 𝑙𝑙3 0 12𝑙𝑙3 6 𝑙𝑙2 0 0 𝑙𝑙62 4 𝑙𝑙 0 4𝑙𝑙⎦⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 1.15
, la matrice di rigidezza dell’elemento assume la forma:
Se consideriamo lo smorzatore di figura 1.5 collegato al nodo 2, bisogna introdurre le rigidezze concentrate Key e Kez.
𝑘𝑘(2)= 𝐸𝐸𝐼𝐼 ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡12𝑙𝑙3 + 𝒌𝒌𝒆𝒆𝒆𝒆 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 0 12𝑙𝑙3 + 𝒌𝒌𝒆𝒆𝒆𝒆 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 6 𝑙𝑙2 0 0 𝑙𝑙62 4 𝑙𝑙 0 4𝑙𝑙 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒𝑖𝑖𝑟𝑟𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠 −12𝑙𝑙3 0 0 −12𝑙𝑙3 −𝑙𝑙62 0 0 −𝑙𝑙62 6 𝑙𝑙2 0 0 𝑙𝑙62 2 𝑙𝑙 0 0 2𝑙𝑙 12 𝑙𝑙3 0 12𝑙𝑙3 6 𝑙𝑙2 0 0 𝑙𝑙62 4 𝑙𝑙 0 4𝑙𝑙⎦⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 1.16 11 Equazioni 11.141 e seguenti
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La matrice di massa dell’elemento assume la forma:
𝑀𝑀(𝑒𝑒)= 𝜌𝜌𝐴𝐴 420 ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 156𝑙𝑙 0 156𝑙𝑙 22𝑙𝑙2 0 0 22𝑙𝑙2 4𝑙𝑙 3 0 4𝑙𝑙3 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒𝑖𝑖𝑟𝑟𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠 54𝑙𝑙 0 0 54𝑙𝑙 13𝑙𝑙 2 0 0 13𝑙𝑙2 −13𝑙𝑙2 0 0 −13𝑙𝑙2 −3𝑙𝑙 3 0 0 −3𝑙𝑙3 156𝑙𝑙 0 156𝑙𝑙 −22𝑙𝑙2 0 0 −22𝑙𝑙2 4𝑙𝑙 3 0 4𝑙𝑙3⎦⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 1.17
La matrice di smorzamento “C”, dovuta allo smorzamento concentrato
nel nodo 2, può essere accorpata a quella Giroscopica12
𝐵𝐵(2)= 1 2 ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡𝐶𝐶 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐶𝐶𝑔𝑔1 𝑒𝑒𝐻𝐻 𝑔𝑔1 0 0 𝑔𝑔2 0 𝑔𝑔4 0 0 −𝑔𝑔1 𝑔𝑔1 0 𝑔𝑔1 0 0 𝑔𝑔2 𝑔𝑔2 0 0 𝑔𝑔2 0 −𝑔𝑔3 𝑔𝑔3 0 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖𝑠𝑠𝑖𝑖𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒𝑖𝑖𝑟𝑟𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠 0 𝑔𝑔1 0 −𝑔𝑔02 −𝑔𝑔02 0 𝑔𝑔4 0 ⎦⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 1.18 “G”, producendo la seguente matrice “B”
𝑔𝑔1 =125 𝜌𝜌𝐼𝐼𝜔𝜔𝑙𝑙 ; 𝑔𝑔2 =15𝜌𝜌𝐼𝐼𝜔𝜔 𝑔𝑔3 = 151 𝑙𝑙𝜌𝜌𝐼𝐼𝜔𝜔 ; 𝑔𝑔4 =154 𝑙𝑙𝜌𝜌𝐼𝐼𝜔𝜔
In questo esempio non sono stati considerati i coefficienti di smorzamento e rigidezza dovuti ai cuscinetti collegati ai nodi 1 e 413
Sotto tali condizioni, eseguendo il processo di assemblaggio dei vari elementi, l’equazione della dinamica assume la forma sintetica seguente
, per una trattazione completa vedere [4] (cap.11.5)
14
[M]ẍ + [B]ẋ + [K]x = F(t) 1.19
:
12 Riportata in [5] equazione 16.38
13 Anche nelle simulazioni FEM successive verrà usata questa schematizzazione 14 Tale equazione è meglio discussa in [5] cap. 16.4
