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Calcolare Z 2π 0 dθ 5 + 4 sin θ 2

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Academic year: 2021

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Prova scritta di Metodi matematici della fisica 1 (8 agosto 2011)

1. Calcolare

Z 0

dθ 5 + 4 sin θ 2. Calcolare

Z

−∞

e−ikx

1 + x2dx , −∞ < k < ∞ .

3. Siano p1, p2 e p3 tre polinomi ortogonali ottenuti dall’insieme {1, x, x2} mediante il metodo di Gram-Schmidt, dove −1 ≤ x ≤ 1. Determinare i coefficienti costanti nel polinomio di secondo grado a1p1(x) + a2p(x) + a3p3(x) che danno la migliore approsimazione in L2[−1, 1]

di ex.

4. Calcolare la serie di Fourier della funzione 12x2, −π ≤ x ≤ π, senza calcolare esplicitamente le sue coordinate di Fourier, ma sfruttando il fatto che

x ∼ 2

X

n=1

(−1)n−1

n sin nx , −π ≤ x ≤ π . 5. Risolvere il seguente problema al contorno









2u

∂t2 = ∂2u

∂x2 (−∞ < x < ∞ , t > 0)

u(x, 0) = 1 1 + x2

∂u

∂t(x, 0) = 0 6. Per Re(z) > 0, la funzione gamma `e definita da

Γ(z) = Z

0

tz−1e−tdt . (a) Dimostrare la formula di ricorrenza Γ(z + 1) = zΓ(z) .

(b) Si pu`o usare la formula di ricorrenza per prolungare analiticamente la funzione gamma nel semi-piano Re(z) < 0? In che modo?

(c) Dimostrare che Γ(12) = √ π.

(d) Dimostrare che Γ(−12) = −2√

π, usando il prolungamento analitico.

7. Sia

Z 0

f (t)e−stdt = 1 s − 2.

Determinare f (t) usando la formula di inversione complessa della trasformata di Laplace.

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