Un triangolo è rettangolo se e solo se la mediana relativa a un lato (ipotenusa) è metà del lato (ipotenusa) stesso (cioè lo divide in due triangoli isosceli)

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Ripasso Geometria Euclidea

Riguardiamo la Geometria …

Appunti e complementi per gli studenti

Franco Fusier - 2012

51. In un rombo le diagonali sono perpendicolari e bisettrici degli angoli.

52. Se un parallelogramma ha le diagonali perpendicolari o bisettrici degli angoli allora è un rombo.

53. In un quadrato le diagonali sono congruenti, perpendicolari e bisettrici degli angoli.

54. Se un parallelogramma soddisfa una caratteristica dei rettangoli (definizione o proprietà) e una caratteristica dei rombi (definizione o proprietà) allora è un quadrato.

55. Un triangolo è rettangolo se e solo se la mediana relativa a un lato (ipotenusa) è metà del lato (ipotenusa) stesso (cioè lo divide in due triangoli isosceli).

Se un parallelogramma ha le diagonali congruenti allora è un rettangolo.

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Ripasso Geometria Euclidea Sommario

Alcuni utili teoremi e definizioni di geometria elementare ... 3

Le definizioni di Euclide ... 3

I cinque postulati di Euclide ... 4

Le nozioni comuni di Euclide ... 4

Congruenza, angoli e segmenti ... 4

Rette, segmenti, angoli ... 5

Luoghi geometrici ... 5

Triangoli ... 5

Triangoli isosceli ... 6

Altre proprietà dei triangoli isosceli ... 6

Rette parallele e perpendicolari ... 6

Teorema dell’angolo esterno e criteri particolari (2° criterio generalizzato e triangoli rettangoli) ... 7

Parallelogrammi ... 7

Trapezi ... 8

Poligoni ... 8

Circonferenze ... 8

Teorema di Talete e conseguenze ... 10

Equivalenza ... 10

Similitudine ... 11 51. In un rombo le diagonali sono perpendicolari e bisettrici degli angoli.

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ALCUNI UTILI TEOREMI E DEFINIZIONI DI GEOMETRIA ELEMENTARE

Le definizioni di Euclide

1. Un punto è ciò che non ha parti.

2. Una linea è una lunghezza senza larghezza.

3. Gli estremi di una linea sono punti.

4. Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti su di essa.

5. Una superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza.

6. Gli estremi di una superficie sono linee.

7. Una superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette su di essa.

8. Un angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee in un piano le quali, si incontrino e non giacciano in linea retta.

9. Quando le linee che comprendono l’angolo sono rette, l’angolo è detto rettilineo.

10. Quando una retta innalzata a partire da un’altra retta forma con essa angoli adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli è retto, e la retta si dice perpendicolare a quella su cui è innalzata.

11. Dicesi angolo ottuso l’angolo maggiore di un angolo retto.

12. Dicesi acuto l’angolo minore di un angolo retto.

13. Dicesi termine è ciò che è estremo di qualche cosa.

14. Dicesi figura è ciò che è compreso da uno o più termini.

15. Dicesi cerchio una figura piana delimitata da un’unica linea tale che tutte le rette che terminano su di essa a partire da un medesimo punto fra quelli interni alla figura, siano uguali fra loro.

16. Quel punto si chiama centro del cerchio.

17. Dicesi diametro del cerchio è una retta condotta per il centro e terminata da ambedue le parti dalla circonferenza del cerchio, la quale retta taglia anche il cerchio per metà.

18. Dicesi semicerchio è la figura compresa dal diametro e dalla circonferenza da esso tagliata. E centro del semicerchio è quello stesso che è anche centro del cerchio.

19. Dicesi rettilinee le figure delimitate da rette, vale a dire: figure trilatere quelle comprese da tre rette, quadrilatere quelle comprese da quattro rette e multilatere quelle comprese da più di quattro rette.

20. Dicesi triangolo equilatero la figura trilatera che ha i tre lati uguali, triangolo isoscele quella che ha soltanto due lati uguali, e scaleno quella che ha i tre lati disuguali.

21. Dicesi inoltre triangolo rettangolo la figura trilatera che ha un angolo retto, triangolo ottusangolo quella che ha un angolo ottuso, e triangolo acutangolo 51. In un rombo le diagonali sono perpendicolari e bisettrici degli angoli.

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quella che ha i tre angoli acuti.

22. Dicesi quadrato la figura quadrilatera che ha i lati uguali e gli angoli retti.

23. Diconsi parallele rette giacenti nello stesso piano che, prolungate illimitatamente in entrambe le direzioni, non si incontrino fra loro da nessuna delle due parti.

I cinque postulati di Euclide

Risulti postulato che:

I. è possibile condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto;

II. è possibile prolungare illimitatamente una retta finita in linea retta;

III. è possibile descrivere un cerchio con qualsiasi centro e distanza (raggio) qualsiasi;

IV. tutti gli angoli retti sono uguali fra loro;

V. se (in un piano) una retta, intersecando due altre rette, forma con esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora queste due rette indefinitamente prolungate finiscono con l’incontrarsi dalla parte detta.

Sulla violazione di questi postulati, e soprattutto sull’ultimo, si fondano le geometrie non-euclidee come ad esempio la geometria iperbolica.

Le nozioni comuni di Euclide

I. Cose uguali a un’altra medesima sono tra loro uguali.

II. Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, allora si ottengono cose uguali.

III. Se da cose uguali si tolgono cose uguali, allora si ottengono cose uguali.

IV. Cose che possono essere portate a sovrapporsi l’una con l’altra sono uguali tra loro.

V. Il tutto è maggiore della parte.

Congruenza, angoli e segmenti

1. Proprietà transitiva della congruenza: due figure congruenti ad una terza sono congruenti tra loro.

2. Somme o differenze di segmenti congruenti sono congruenti.

3. Doppi, tripli, metà … di uno stesso segmento o di segmenti congruenti sono congruenti.

4. Somme o differenze di angoli congruenti sono congruenti.

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5. Doppi, tripli, metà … di uno stesso angolo o angoli congruenti sono congruenti.

6. Angoli complementari o supplementari di uno stesso angolo o di angoli congruenti sono congruenti.

7. Angoli opposti al vertice sono congruenti.

8. Due angoli congruenti e supplementari sono retti.

Rette, segmenti, angoli

9. Il punto medio di un segmento è unico.

10. Gli angoli opposti al vertice sono congruenti.

Luoghi geometrici

11. La bisettrice di un angolo convesso è il luogo dei punti equidistanti dai lati dell’angolo.

12. L’asse di un segmento è il luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento.

13. Le bisettrici degli angoli formati da due rette secanti sono perpendicolari.

Triangoli

14. Teorema: gli assi dei lati di un triangolo si incontrano in uno stesso punto detto circocentro.

15. Teorema: le bisettrici degli angoli interni di un triangolo si incontrano in uno stesso punto detto incentro.

16. Teorema: le altezze di un triangolo si intersecano in uno stesso punto detto ortocentro.

17. Teorema: le mediane di un triangolo si incontrano in uno stesso punto (detto baricentro) che divide ciascuna di esse in due parti delle quali una, e cioè quella avente come altro estremo il vertice, è congruente con il doppio dell’altra parte.

18. Primo criterio di congruenza dei triangoli: se due triangoli hanno ordinatamente congruenti due lati e l’angolo tra essi compreso allora sono congruenti.

19. Secondo criterio di congruenza dei triangoli: se due triangoli hanno ordinatamente congruenti due angoli e il lato tra essi compreso allora sono congruenti.

20. Terzo criterio di congruenza dei triangoli: se due triangoli hanno ordinatamente congruenti tre lati allora sono congruenti.

21. Se due triangoli sono congruenti allora le altezze e le mediane relative ai lati congruenti e le bisettrici relative agli angoli congruenti sono congruenti.

22. Teorema sui punti medi di due lati: Il segmento che ha per estremi i punti 51. In un rombo le diagonali sono perpendicolari e bisettrici degli angoli.

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medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo e la sua lunghezza è la metà del terzo.

23. Teorema della bisettrice La bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato opposto all’angolo in parti proporzionali agli altri due lati e viceversa.

24. Teorema della bisettrice dell’angolo esterno La bisettrice di un angolo esterno di un triangolo interseca il prolungamento del lato opposto in un punto le cui distanze dagli estremi di questo lato sono proporzionali agli altri due lati.

Triangoli isosceli

Un triangolo si dice isoscele (dal greco isos uguale e skelos gamba) se e solo se ha due lati congruenti, ossia aventi la stessa lunghezza.

In ragione di questa definizione, si privilegia il punto di intersezione dei due lati congruenti (o isometrici) dicendo che è il vertice del triangolo isoscele e che il lato opposto ne è la base.

25. I Teorema sul triangolo isoscele: un triangolo isoscele ha gli angoli alla base congruenti (secondo Proclo,V sec. d. C., fu Talete di Mileto, 624 -548 a.C., ad enunciare questo teorema);

26. II Teorema sul triangolo isoscele: in un triangolo isoscele l’altezza, la mediana relativa alla base, l’asse relativo alla base e la bisettrice dell’angolo al vertice coincidono.

27. III Teorema sul triangolo isoscele: un triangolo è isoscele se l’altezza e la mediana relative alla base coincidono, oppure se l’altezza relativa alla base e la bisettrice dell’angolo al vertice coincidono, oppure se la mediana relativa alla base e la bisettrice dell’angolo al vertice coincidono.

Altre proprietà dei triangoli isosceli

28. Gli angoli alla base sono acuti.

29. I punti medi dei lati di un triangolo isoscele sono i vertici di un altro triangolo isoscele.

30. Se un triangolo è isoscele allora le altezze e le mediane relative ai lati congruenti e le bisettrici relative agli angoli congruenti sono congruenti e si tagliano in parti congruenti.

31. Ortocentro, incentro, baricentro e circocentro sono allineati e appartengono alla retta dell’altezza.

Rette parallele e perpendicolari

32. Due rette sono parallele se e solo se, tagliate da una trasversale, formano:

a. angoli alterni (interni o esterni) congruenti, b. angoli corrispondenti congruenti,

c. angoli coniugati (interni o esterni) supplementari.

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33. Due perpendicolari ad una stessa retta sono parallele tra loro.

34. Se due rette sono parallele ogni perpendicolare ad una è perpendicolare all’altra.

35. Proprietà transitiva del parallelismo: due rette parallele a una terza sono parallele tra loro.

36. Due angoli aventi i lati paralleli concordi o paralleli discordi sono congruenti; due angoli aventi una coppia di lati paralleli concordi e una coppia di lati paralleli discordi sono supplementari.

37. Segmenti paralleli compresi tra rette parallele sono congruenti.

Teorema dell’angolo esterno e criteri particolari (2° criterio generalizzato e triangoli rettangoli)

38. Teorema dell’angolo esterno: in un triangolo l’angolo esterno è uguale alla somma degli angoli interni non adiacenti ad esso.

39. La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale ad un angolo piatto.

40. Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari.

41. Gli angoli di un triangoli equilatero sono congruenti ad un terzo di angolo piatto 42. Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti hanno congruenti

anche i terzi angoli.

43. Due triangoli isosceli hanno gli angoli al vertice congruenti se e solo se hanno gli angoli alla base congruenti.

44. II criterio generalizzato: se due triangolo hanno rispettivamente congruenti un lato e due angoli allora sono congruenti.

45. Criteri dei triangoli rettangoli: due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti:

a. un cateto e un angolo acuto, b. l’ipotenusa e un angolo acuto, c. i due cateti,

d. un cateto e l’ipotenusa

46. Un triangolo rettangolo ha un angolo acuto doppio dell’altro se e solo se l’ipotenusa è il doppio del cateto minore (cioè è la metà di un triangolo equilatero).

Parallelogrammi

47. Se un quadrilatero è un parallelogramma allora:

a. la diagonale lo divide in due triangoli congruenti, b. i lati opposti sono congruenti ,

c. gli angoli opposti sono congruenti,

d. gli angoli adiacenti ad uno stesso lato sono supplementari, 51. In un rombo le diagonali sono perpendicolari e bisettrici degli angoli.

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e. le diagonali hanno lo stesso punto medio.

48. Se in un quadrilatero:

a. i lati opposti sono congruenti a due a due, b. gli angoli opposti sono congruenti a due a due, c. ha una coppia di lati opposti paralleli e congruenti, d. le diagonali hanno lo stesso punto medio

allora il quadrilatero è un parallelogramma.

49. In un rettangolo le diagonali sono congruenti.

50. Se un parallelogramma ha le diagonali congruenti allora è un rettangolo.

Trapezi

56. Un trapezio è isoscele se e solo se gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti.

57. In un trapezio isoscele le diagonali sono congruenti e lo dividono in quattro triangoli di cui due congruenti e due isosceli.

58. In un trapezio isoscele gli angoli adiacenti ai lati obliqui e gli angoli opposti sono supplementari.

59. In un trapezio isoscele le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore sono congruenti.

Poligoni

60. La somma degli angoli interni di un poligono convesso è congruente con (n-2) angoli piatti, dove n rappresenta il numero dei lati del poligono.

Circonferenze

61. Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza.

62. Due circonferenze o due cerchi sono congruenti se e solo se hanno i raggi 51. In un rombo le diagonali sono perpendicolari e bisettrici degli angoli.

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congruenti.

63. In una circonferenza o in circonferenze congruenti:

a. ad archi congruenti corrispondono corde e angoli al centro congruenti,

b. a corde congruenti corrispondono archi e angoli al centro congruenti, c. ad angoli al centro congruenti corrispondono archi e corde

congruenti.

d. In circonferenze congruenti o nella medesima circonferenza, angoli alla circonferenza che insistono su archi congruenti sono congruenti e, viceversa, angoli alla circonferenza congruenti insistono su archi congruenti.

64. In una circonferenza la bisettrice di un angolo al centro dimezza l’arco e la corda corrispondenti (e viceversa).

65. In circonferenze congruenti o nella stessa circonferenza, ad archi congruenti corrispondono angoli al centro congruenti.

66. In circonferenze congruenti o nella stessa circonferenza, a corde congruenti corrispondono archi congruenti.

67. Teorema della retta diametrale: in una circonferenza :

a. la retta passante per il centro e perpendicolare ad una corda passa per il punto medio della corda e dimezza pure l’arco e l’angolo al centro corrispondenti,

b. la retta passante per il centro e per il punto medio di una corda è perpendicolare alla corda stessa e dimezza l’arco e l’angolo al centro corrispondenti,

c. l’asse di una corda passa per il centro.

68. In una circonferenza o in circonferenze congruenti: due corde sono congruenti se e solo se congruenti hanno distanze congruenti dal centro,

69. Una retta è tangente ad una circonferenza se e solo se è perpendicolare al raggio nel punto di contatto.

70. Ogni angolo alla circonferenza è congruente con la metà dell’angolo al centro che insiste sullo stesso arco.

71. In una circonferenza o in circonferenze congruenti :

a. ad archi congruenti corrispondono angoli alla circonferenza congruenti,

b. ad angoli alla circonferenza congruenti corrispondono archi congruenti.

72. Ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo.

73. Teorema delle tangenti: se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono le due tangenti:

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a. i segmenti di tangente compresi fra tale punto e i punti di contatto sono congruenti.

b. la congiungente il punto esterno con il centro della circonferenza è bisettrice sia dell’angolo formato dalle due tangenti, sia dell’angolo formato dai raggi che vanno ai punti di tangenza,

c. la congiungente il punto esterno con il centro della circonferenza è asse della corda che unisce i due punti di tangenza.

74. Teorema del baricentro: il baricentro divide ciascuna mediana in due parti di cui quella contenente il vertice è doppia dell’altra.

75. Un quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza se e solo se ha gli angoli opposti supplementari.

76. Un quadrilatero è circoscrivibile in una circonferenza se e solo se la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due

Teorema di Talete e conseguenze

77. Teorema di Talete: un fascio di rette parallele determina su due trasversali due classi di segmenti direttamente proporzionali (e viceversa).

78. La parallela ad un lato di un triangolo divide gli altri due lati in parti proporzionali.

79. Se una retta divide in parti proporzionali due lati di un triangolo allora è parallela al terzo lato.

80. Se per il punto medio di un lato di un triangolo si conduce la parallela ad un altro lato, questa dimezza il lato rimanente.

81. In un triangolo qualunque il segmento che congiunge i punti medi di due lati è parallelo al terzo lato e congruente alla sua metà.

82. La congiungente i punti medi dei lati obliqui di un trapezio è parallela alle basi e congruente alla loro semisomma.

83. I punti medi dei lati di un quadrilatero sono vertici di un parallelogramma.

84. Teorema della bisettrice: la bisettrice di un angolo interno di un triangolo di vide il lato opposto in parti proporzionali agli due lati.

Equivalenza

85. Proprietà transitiva dell’equivalenza: due superficie equivalenti ad una terza sono equivalenti tra loro.

86. Somme o differenze di superficie equivalenti sono equivalenti.

87. Figure equicomposte (somme di figure congruenti) sono equivalenti.

88. Due parallelogrammi sono equivalenti se hanno basi e altezze corrispondenti congruenti.

89. Un rettangolo è equivalente ad un parallelogramma avente la stessa base e la stessa altezza.