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Geometria Analitica Domande e Risposte
A. Distanza tra due punti
1. Qual è la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano?
Per calcolare la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano distinguiamo tre casi:
a) i due punti hanno la stessa ordinata, ovvero sono sulla stessa retta orizzontale
1 0
1
x ; y
P
P
2 x
2; y
0
;P
1P
2 x
2 x
1b) i due punti hanno la stessa ascissa, ovvero sono sulla stessa retta verticale
0 1
1
x ; y
P
P
2 x
0; y
2
;P
1P
2 y
2 y
1c) i due punti sono disposti genericamente nel piano
1 1
1
x ; y
P P
2 x
2; y
2
;P
1P
2 x
2 x
1
2 y
2 y
1
2B. Punto Medio tra due punti
2. Qual è la formula del punto medio di due punti nel piano cartesiano?
Dati i punti
P
1 x
1; y
1
eP
2 x
2; y
2
, il punto medio M tra essi ha coordinate:
; 2
; x
12 x
2y
1y
2y x
M
M MC. Triangolo nel piano cartesiano
3. Come si calcola l’area di un triangolo nel piano cartesiano a partire dalle coordinate dei suoi punti?
Dati i punti A
x1; y1
, B
x2; y2
e C
x3; y3
, disposti in senso antiorario, essi individuano un triangolo;l’area di tale triangolo può essere calcolata:
a) calcolando le lunghezze dei lati del triangolo, ovvero le tre distanze AB, BC, CA ed applicando la nota formula di Erone: indicate con a, b e c le misure dei tre lati e con p il
perimetro del triangolo, si ha:
p c
p b p a
A p
· 2
· 2
· 2 2
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b) molto più semplicemente mediante la seguente formula che fa uso di un determinante del 3° ordine:
1 1 1 2
1
3 3
2 2
1 1
y x
y x
y x
A .
Il determinante
1 1 1
3 3
2 2
1 1
y x
y x
y x
può essere calcolato con la nota regola di Sarrus:
3 2 1 3 3 2
3 2 1 3 2 1 3 3
2 2
1 1
3 3
2 2
1 1
3 3
2 2
1 1
·
·
·
·
·
· 1
1 1
1 1 1
y x y x y x y x y x y x y x
y x
y x
y x
y x
y x
y x
y x
y x